26. (11分)对于任意四个有理数$a,b,c,d$,可以组成两个有理数对$(a,b)$与$(c,d)$,我们规定:$(a,b)□(c,d)=a^2 + d^2 - bc$.例如:$(1,2)□(3,4)=1^2 + 4^2 - 2×3 = 11$.
(1)若$(x,kx)□(y,-y)$是一个完全平方式,求常数$k$的值;
(2)若$2x + y = 10$,且$(3x + y,2x^2 + 3y^2)□(3,x - 3y)=84$,求$xy$的值;
(3)在(2)的条件下,将长方形$ABCD$及长方形$CEFG$按照如图方式放置,其中点$E,G$分别在边$CD,BC$上,连接$BD,BF,DF,EG$,若$AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y$,求图中阴影部分的面积.


无锡市天一实验学校七年级第一次月考数学真卷
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【点拨】本题考查整式混合运算,完全平方公式的应用,代数式求值等知识.
【解析】(1)根据题意,可得$(x ,kx)□(y ,-y) = x^2 + (-y)^2 - kx · y = x^2 - kxy + y^2$. 因为$(x ,kx)□(y ,-y)$是一个完全平方式,所以$-kxy = ±2xy$,解得$k = ±2$.
(2)根据题意,可得
$(3x + y ,2x^2 + 3y^2)□(3 ,x - 3y)$
$=(3x + y)^2 + (x - 3y)^2 - 3(2x^2 + 3y^2)$
$=(9x^2 + 6xy + y^2) + (x^2 - 6xy + 9y^2) - (6x^2 + 9y^2)$
$=4x^2 + y^2$
$=84$,
因为$2x + y = 10$,所以$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 = 100$,所以$4xy = 100 - 84 = 16$,所以$xy = 4$.
(3)由(2)可知,$2x + y = 10$,$xy = 4$,因为四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均为长方形,所以$CD = AB = 2x$,$BC = AD = 8x$,$CG = EF = 4y$,$CE = FG = y$,所以$DE = 2x - y$,$BG = 8x - 4y$,所以阴影部分的面积为
$S = S_{△BCD} - S_{△BFG} - S_{△DEF} - S_{△CEG}$
$=\frac{1}{2}BC · CD - \frac{1}{2}BG · FG - \frac{1}{2}EF · DE - \frac{1}{2}CG · CE$
$=\frac{1}{2} × 8x · 2x - \frac{1}{2}(8x - 4y) · y - \frac{1}{2} × 4y(2x - y) - \frac{1}{2} × 4y · y$
$=8x^2 - 4xy + 2y^2 - 4xy + 2y^2 - 2y^2$
$=8x^2 - 8xy + 2y^2$
$=2(4x^2 - 4xy + y^2)$
$=2(2x - y)^2$
$=2[(2x + y)^2 - 8xy]$
$=2(2x + y)^2 - 16xy$
$=2 × 10^2 - 16 × 4$
$=136$.