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12. 小红在解关于 $x$ 的一元一次方程 $5a - x = 13$ 时, 误将 $-x$ 看作 $+2x$, 得方程的解为 $x = -2$, 则原方程的解为 $x =$
4
.答案
12.4
[解析]把 $x=-2$ 代入 $5a+2x=13$,得 $5a-4=13$,解得 $a=\dfrac{17}{5}$,$\therefore$ 原方程为 $17-x=13$,解得 $x=4$.
[解析]把 $x=-2$ 代入 $5a+2x=13$,得 $5a-4=13$,解得 $a=\dfrac{17}{5}$,$\therefore$ 原方程为 $17-x=13$,解得 $x=4$.
13. 若关于 $x$ 的方程 $3x-7=5x+2$ 的解与关于$y$ 的方程 $4y+3a=7a-8$ 的解互为倒数，则 $a$ 的值为
$\dfrac{16}{9}$
。答案
13.$\dfrac{16}{9}$
14. 传统文化 《九章算术》（2025·泰州姜堰区期末）《九章算术》中有一个问题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭；所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）设经过$x$天相遇，则可列方程为
$\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{9}x=1$
.答案
14.$\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{9}x=1$
[解析]$\because$今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海,
$\therefore$当把南海到北海的路程看成 1 时,凫每天飞行的路程为$\dfrac{1}{7}$,雁每天飞行的路程为$\dfrac{1}{9}$.根据题意,得$\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{9}x=1$.
[解析]$\because$今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海,
$\therefore$当把南海到北海的路程看成 1 时,凫每天飞行的路程为$\dfrac{1}{7}$,雁每天飞行的路程为$\dfrac{1}{9}$.根据题意,得$\dfrac{1}{7}x+\dfrac{1}{9}x=1$.
15. 已知 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程 $ax-5=9x-a$ 的解，则关于 $x$ 的方程 $a(x-1)-5=9×$ $(x-1)-a$ 的解是 $x=$
4
。答案
15.4
[解析]把 $x=3$ 代入方程 $ax-5=9x-a$,
得 $3a-5=27-a$,解得 $a=8$,
把 $a=8$ 代入方程 $a(x-1)-5=9(x-1)-a$,
得 $8(x-1)-5=9(x-1)-8$,
移项,得 $8(x-1)-9(x-1)=5-8$,
合并同类项,得$-(x-1)=-3$,
即 $x-1=3$,解得 $x=4$.
[解析]把 $x=3$ 代入方程 $ax-5=9x-a$,
得 $3a-5=27-a$,解得 $a=8$,
把 $a=8$ 代入方程 $a(x-1)-5=9(x-1)-a$,
得 $8(x-1)-5=9(x-1)-8$,
移项,得 $8(x-1)-9(x-1)=5-8$,
合并同类项,得$-(x-1)=-3$,
即 $x-1=3$,解得 $x=4$.
16. 整体思想（2025·南京鼓楼区期末）已知关于$x$的一元一次方程$\dfrac{x}{99}+1=99x+m$的解为$x=2022$,那么关于$y$的一元一次方程$\dfrac{y-3}{99}+1=99(y-3)+m$的解为$y=$
2025
。答案
16.2025
[解析]$\because$ 关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{x}{99}+1=99x+m$ 的解为 $x=2022$,
$\therefore$关于 $y$ 的一元一次方程$\dfrac{y-3}{99}+1=99(y-3)+m$ 中的$y-3=2022,\therefore y=2025$.
[解析]$\because$ 关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{x}{99}+1=99x+m$ 的解为 $x=2022$,
$\therefore$关于 $y$ 的一元一次方程$\dfrac{y-3}{99}+1=99(y-3)+m$ 中的$y-3=2022,\therefore y=2025$.
17. 某商品每件标价为 150 元，若按标价打 8 折后，再降价 10 元销售，仍获利 $10\%$，则该商品每件的进价为
100
元.答案
17.100
[解析]设该商品每件的进价为 $x$ 元,
则 $150×80\%-10-x=10\%x$,解得 $x=100$.
[解析]设该商品每件的进价为 $x$ 元,
则 $150×80\%-10-x=10\%x$,解得 $x=100$.
18. 如图,在数轴上,O 为原点,点 A 对应的数为2,点 B 对应的数为-12. 在数轴上有两动点C 和 D,它们同时向右运动,点 C 从点 A 出发,速度为每秒 4 个单位长度,点 D 从点 B出发,速度为每秒 6 个单位长度,设运动时间为t秒,当点O,C,D中,其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时,t 的值为
$1或\dfrac{13}{4}$
.答案
18.$1或\dfrac{13}{4}$
[解析]由题意,得点 $C$ 表示的数是 $2+4t$,点 $D$表示的数是 $-12+6t$.
①$O$ 是$CD$ 中点,
依题意,得 $2+4t-12+6t=2×0$,解得 $t=1$;
②$D$ 是$OC$ 中点,
依题意,得 $2+4t+0=2×(-12+6t)$,解得 $t=\dfrac{13}{4}$;
③$C$ 是$OD$ 中点,
依题意,得 $-12+6t+0=2×(2+4t)$,
解得 $t=-8$(舍去).
故 $t$ 的值为 $1$ 或 $\dfrac{13}{4}$.
[解析]由题意,得点 $C$ 表示的数是 $2+4t$,点 $D$表示的数是 $-12+6t$.
①$O$ 是$CD$ 中点,
依题意,得 $2+4t-12+6t=2×0$,解得 $t=1$;
②$D$ 是$OC$ 中点,
依题意,得 $2+4t+0=2×(-12+6t)$,解得 $t=\dfrac{13}{4}$;
③$C$ 是$OD$ 中点,
依题意,得 $-12+6t+0=2×(2+4t)$,
解得 $t=-8$(舍去).
故 $t$ 的值为 $1$ 或 $\dfrac{13}{4}$.
三、解答题
19. 解方程：
(1) $3(x + 1) = 9$;
(2) $\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{2 + x}{3}$.
19. 解方程：
(1) $3(x + 1) = 9$;
(2) $\dfrac{x - 1}{2} - 1 = \dfrac{2 + x}{3}$.
答案
19.(1)去括号,得 $3x+3=9$,
移项、合并同类项,得 $3x=6$,
系数化为 1,得 $x=2$.
(2)去分母,得 $3(x-1)-6=2(2+x)$,
去括号,得 $3x-3-6=4+2x$,
移项、合并同类项,得 $x=13$.
移项、合并同类项,得 $3x=6$,
系数化为 1,得 $x=2$.
(2)去分母,得 $3(x-1)-6=2(2+x)$,
去括号,得 $3x-3-6=4+2x$,
移项、合并同类项,得 $x=13$.
20. (2025·扬州宝应期末改编)小明在学习解一元一次方程时, 遇到了这样一个方程$\dfrac{x-0.3}{0.4} = \dfrac{x+0.1}{0.5} +2$. 于是他尝试去解, 最后检验时他发现解是错误的, 他百思不得其解, 请帮助检查他下面的解法:
解: 原方程即$\dfrac{10x-3}{4} = \dfrac{10x+1}{5} +20 \quad···[A]$
去分母, 得$5(10x-3)=4(10x+1)-400$
$·[B]$
去括号, 得$50x-15=40x+4+400 \quad······[C]$
移项, 得$50x-40x=4+400+15 \quad······[D]$
合并同类项, 得$10x=419 \quad···············[F]$
系数化为1, 得$x=41.9. ··················[F]$
(1)他错在哪一步? 错误的原因是什么?
(2)请你帮助正确写出求解过程.
解: 原方程即$\dfrac{10x-3}{4} = \dfrac{10x+1}{5} +20 \quad···[A]$
去分母, 得$5(10x-3)=4(10x+1)-400$
$·[B]$
去括号, 得$50x-15=40x+4+400 \quad······[C]$
移项, 得$50x-40x=4+400+15 \quad······[D]$
合并同类项, 得$10x=419 \quad···············[F]$
系数化为1, 得$x=41.9. ··················[F]$
(1)他错在哪一步? 错误的原因是什么?
(2)请你帮助正确写出求解过程.
答案
20.(1)根据小明的解法可知,他错在 A 步,错误的原因是利用等式的基本性质,等式右边的 2 不能乘 10.
(2)原方程可变为$\dfrac{10x-3}{4}=\dfrac{10x+1}{5}+2$,
去分母,得 $5(10x-3)=4(10x+1)+40$,
去括号,得 $50x-15=40x+4+40$,
移项,得 $50x-40x=4+40+15$,
合并同类项,得 $10x=59$,
系数化为 1,得 $x=5.9$.
(2)原方程可变为$\dfrac{10x-3}{4}=\dfrac{10x+1}{5}+2$,
去分母,得 $5(10x-3)=4(10x+1)+40$,
去括号,得 $50x-15=40x+4+40$,
移项,得 $50x-40x=4+40+15$,
合并同类项,得 $10x=59$,
系数化为 1,得 $x=5.9$.
