13. 如图18-38,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若$CE=1,DE=2$,求四边形ABCD的面积.

图18-38

13.(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC⊥BD.
∴ ∠COD=90°.
∵ CE//OD,DE//OC,
∴ 四边形OCED是平行四边形.又
∵ ∠COD=90°,
∴ 平行四边形OCED是矩形,即四边形OCED是矩形.
(2)由(1)知,四边形OCED是矩形.
∴ CE=OD=1,DE=OC=2.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC=2OC=4,BD=2OD=2.
∴ 菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×4×2=4$,即为所求.

【分析】
(1)要证明四边形OCED是矩形，可先证其为平行四边形，再证明存在一个内角为直角。首先由菱形的性质可知对角线互相垂直，可得∠COD=90°；再结合题中CE//BD、DE//AC的条件，可判定四边形OCED是平行四边形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
(2)求菱形ABCD的面积，可利用菱形面积公式“面积=对角线乘积的一半”求解，因此需要先求出两条对角线AC、BD的长度。由(1)的结论可知四边形OCED是矩形，根据矩形对边相等可得到OC、OD的长度，再结合菱形对角线互相平分的性质，即可求出AC、BD的长，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴ ∠COD=90°。
∵ CE//OD，DE//OC，
∴ 四边形OCED是平行四边形。
又
∵ ∠COD=90°，
∴ 平行四边形OCED是矩形，即四边形OCED是矩形。
(2)解：
由(1)知，四边形OCED是矩形，
∴ CE=OD=1，DE=OC=2。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC=2OC=4，BD=2OD=2。
∴ 菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1)四边形OCED是矩形得证；
(2)四边形ABCD的面积为4。
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；菱形面积计算
【点评】
本题是基础的特殊四边形综合题，主要考查菱形、矩形的相关性质和判定，解题时需紧扣特殊四边形的判定条件和性质逐步推导，对基础知识的掌握程度有一定要求。
【难度系数】
0.8