1[中]若$(-2023)×100$的值记为$p$，则$(-2023)×99$的值可表示为（）

A.$p+1$
B.$p-1$
C.$p+2023$
D.$p-2023$

1.C 【解析】因为$(-2 023)×100$的值记为p,所以$(-2 023)×99 = (-2 023) × (100 - 1 ) = (-2 023)×100-(-2 023)×1 = (-2 023)×100+2 023=p+2 023$. 故选C.

2[2025江苏宿迁期末,中]若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0,则这个数是 ()

A.1
B.-1
C.0
D.1或-1

2.D 【解析】由题意可知这个数的倒数等于它本身,故这个数是1或-1. 故选D.

3[中]已知有理数$a,b$满足$ab ≤ 0,a+b＞0,7a+2b+1=-|b-a|$,则$(2a+b+\frac{1}{3})(a-b)$的值为.

3.0 【解析】因为$ab≤0,a+b＞0$,所以a,b异号或其中一个为0,另一个为正数. ①若$a＞0,b＜0$,因为$a+b＞0$,所以$7a+2b+1=5a+2a+2b+1=5a+2(a+b)+1＞0$. 因为$-|b-a|≤0$,所以这种情况不存在. ②若$a＜0,b＞0$,则$b-a＞0$. 因为$7a+2b+1=-|b-a|$,所以$7a+2b+1=-(b-a)$,所以$6a+3b+1=0$,所以$2a+b+\frac{1}{3}=0$,所以$(2a+b+\frac{1}{3})(a-b)=0$. ③若$a=0,b＞0$,因为$7a+2b+1=2b+1＞0,-|b-a|=-b＜0$,所以这种情况不存在. ④若$a＞0,b=0$,因为$7a+2b+1=7a+1＞0,-|b-a|=-a＜0$,所以这种情况不存在. 故答案为0.

4[2025湖南永州期末,较难]用$f(n)$表示组成$n$的所有数字的乘积,例如:$f(29)=2×9=18$, $f(207)=2×0×7=0$.则$f(1)+f(2)+··· +f(100)=$.

4.2 070 【解析】根据题意得$f(1)+f(2)+\dots +f(9)+f(10) = 1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 0$,$f(11) +f(12)+\dots+f(19)+f(20) = 1×1+1×2+1×3+\dots+1×9+2×0 = 1 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(21) +f(22)+\dots+f(29)+f(30) = 2×1+2×2+2×3+\dots+2×9+3×0 = 2 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(31) +f(32)+\dots+f(39)+f(40) = 3×1+3×2+3×3+\dots+3×9+4×0 = 3 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(41) +f(42)+\dots+f(49)+f(50) = 4×1+4×2+4×3+\dots+4×9+5×0 = 4 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(51) +f(52)+\dots+f(59)+f(60) = 5×1+5×2+5×3+\dots+5×9+6×0 = 5 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(61) +f(62)+\dots+f(69)+f(70) = 6×1+6×2+6×3+\dots+6×9+7×0 = 6 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(71) +f(72)+\dots+f(79)+f(80) = 7×1+7×2+7×3+\dots+7×9+8×0 = 7 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(81) +f(82)+\dots+f(89)+f(90) = 8×1+8×2+8×3+\dots+8×9+9×0 = 8 × ( 1 + 2 + 3 + \dots + 9 )$,$f(91) +f(92)+\dots+f(99)+f(100) = 9×1+9×2+9×3+\dots+9×9+1×0×0 = 9×(1+2+3+\dots+9)$,所以$f(1)+f(2)+\dots+f(100) = ( 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+9)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 46×45 = 2 070$,故答案为2 070.

5[2026江苏无锡期中,中]【阅读思考】设m是不为0和1的有理数,我们把1与m的倒数的差,即$1-\frac{1}{m}$称为m的“倒减数”,如3的“倒减数”是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,-2的“倒减数”是$1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$.
【探索理解】若$m=4$,$m_1=\frac{3}{4}$是m的“倒减数”,$m_2=-\frac{1}{3}$是$m_1$的“倒减数”,$m_3$是$m_2$的“倒减数”,…,以此类推.
(1)直接写出$m_3$的值为,$m_4$的值为.
(2)求$m_1·m_2·m_3·m_4·…·m_{97}·m_{98}·m_{99}$的值,并写出计算过程.
【拓展应用】
(3)老师将班上的同学分成A,B两个组,每组12名同学,并给每个组中任意一名同学一个初始数字分别为$\frac{1}{2}$和-1,其余同学按照规则计算新的数字,新数字=$1-\frac{1}{上一个数字}$(数字不为0和1),每名同学只参与一次计算.求所有同学计算完毕后,所有同学手中数字的总和.(即2个初始数字和22个计算出的数字的和)

5.【解】(1)由题意知$m_3=1-(-3)=4$,$m_4=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. 故答案为4,$\frac{3}{4}$.
(2)因为$m_1=\frac{3}{4},m_2=-\frac{1}{3},m_3=4,m_4=\frac{3}{4},\dots$,所以$m_1,m_2,m_3,\dots$以$\frac{3}{4},-\frac{1}{3},4$为一组不断循环,所以$m_1 · m_2 · m_3 · m_4 · \dots · m_{97} · m_{98} · m_{99} = \frac{3}{4} × (-\frac{1}{3}) ×4 ×\frac{3}{4} ×\dots ×\frac{3}{4} ×(-\frac{1}{3}) ×4 = (-1)×(-1)×\dots×(-1) = -1$.
(3)A组初始数字为$\frac{1}{2}$,第2个同学手中的数字为$1-2=-1$,第3个同学手中的数字为$1-(-1)=2$,第4个同学手中的数字为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,…,第12个同学手中的数字为2,所以A组同学手中的数字总和为$\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}+(-1)+2=6$;B组初始数字为-1,第2个同学手中的数字为$1-(-1)=2$,第3个同学手中的数字为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,第4个同学手中的数字为$1-2=-1$,…,第12个同学手中的数字为$\frac{1}{2}$,所以B组同学手中的数字总和为$-1+2+\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}+(-1)+2+\frac{1}{2}=6$. 所以所有同学手中数字的总和为$6+6=12$.

6 核心素养运算能力 [较难] 阅读理解: 计算
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$时,若把$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$与$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$各看作一个整体,再利用乘法分配律进行运算,可以大大降低难度.过程如下:
解:设$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$为$A$,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$为$B$,
则原式$=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=\frac{1}{5}$.请用上面方法计算:
(1)$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})$;
(2)$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n+1})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n+1})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})$.
视频解析鸭

6.【解】(1)设$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$为$A$,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$为$B$,则原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\frac{1}{7}.$
(2)设$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$为$A$,$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n+1}$为$B$,则原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\frac{1}{n+1}.$