4[2025广东潮州期末,中]如图(1),O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一直角边ON在射线OA上,另一直角边OM与OC都在直线AB的上方.(注:本题旋转角度最多为180°)
(1)将图(1)中的三角板绕点O以每秒3°的速度按顺时针方向旋转.如图(2),经过t秒后,∠AON=(用含t的式子表示),若OM恰好平分∠BOC,则t=.
(2)在(1)的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度按顺时针方向旋转,如图(3),经过t秒后,∠AOC的度数为多少(用含t的式子表示)?若OC平分∠MON,求t的值.

(1) 由旋转得∠AON = (3t)°. 因为∠AOC = 30°,所以∠BOC = 150°. 因为OM平分∠BOC,所以∠COM = 75°. 因为∠MON = 90°,所以∠CON = 15°,所以∠AON = ∠AOC - ∠CON = 30°-15° = 15°,所以(3t)° = 15°,所以t = 5. 故答案为(3t)°,5.
(2) ∠AOC = (30+6t)°. 因为∠MON = 90°,OC平分∠MON,所以∠CON = ∠COM = 45°,所以∠AOC - ∠AON = ∠CON = 45°,所以(30+6t)°-(3t)° = 45,解得t = 5.

5[2025安徽黄山期末,难]如图,已知∠AOB=120°.
(1)OC,OD是以O为顶点的两条射线,OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD.
①如图(1),当∠COD=50°,∠BOD=40°时,∠MON的度数为;
②如图(2),当0°＜∠BOD＜60°时,请写出∠AOD,∠BOC与∠MON之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图(3),当∠COD=50°时,∠AOC以每秒4.5°的速度整体绕点O顺时针旋转,同时,∠BOD也以每秒2°的速度整体绕点O顺时针旋转,当∠BOD刚好旋转一周时,两个角都停止旋转,求旋转过程中∠AOC与∠BOD有重叠部分的总时长.

(1) ①因为∠COD = 50°,∠BOD = 40°,所以∠BOC = ∠COD+∠BOD = 90°. 因为∠AOB = 120°,所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120°-90° = 30°. 因为OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD,所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC = 15°,∠DON = $\frac{1}{2}$∠DOB = 20°,所以∠MON = ∠COM+∠COD+∠DON = 15°+50°+20° = 85°,故答案为85°.
②2∠MON = ∠AOD+∠BOC. 理由:因为OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD,所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC,∠BON = $\frac{1}{2}$∠DOB,所以∠MON = ∠MOC+∠BOC+∠BON = $\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD+∠BOC)+$\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC,所以2∠MON = ∠AOD+∠BOC.
(2) 因为∠BOD以每秒2°的速度整体绕点O顺时针旋转,所以当∠BOD刚好旋转一周时,所用时间为$\frac{360}{2}$ = 180(s),所以第180 s时,两个角都停止旋转. 因为∠AOC以每秒4.5°的速度整体绕点O顺时针旋转,所以旋转过程中∠AOC,∠BOD同向旋转,且∠AOC的速度大于∠BOD的速度. 当第一次∠AOC追上∠BOD时,射线OC与射线OD重合,所用时间为50÷(4.5-2) = 20(s),即第20 s时,两角开始有重叠部分,继续旋转,射线OA与射线OB重合时,所用时间为120÷(4.5-2) = 48(s),即第48 s后,两角没有重叠部分,所以∠AOC与∠BOD有重叠部分的时间为48 - 20 = 28(s). 当第二次∠AOC追上∠BOD时,射线OC旋转了360°-(∠AOC+∠BOD) = 360°-(∠AOB-∠COD) = 360°-(120°-50°) = 290°,此时射线OC第二次与射线OD重合,从开始起到第二次重合开始所用时间为48+290÷(4.5-2) = 164(s),同理射线OA第二次与射线OB重合时,∠AOC与∠BOD有重叠部分的时间为28 s,即164+28 = 192(s). 又因为总时间为180 s,所以第二次有重叠部分的时间为180-164 = 16(s),所以旋转过程中∠AOC与∠BOD有重叠部分的总时长为28+16 = 44(s).