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1. 已知下列一组按规律排列的式子：$x,\dfrac{3x^{2}}{8},$
$\dfrac{5x^{3}}{27},\dfrac{7x^{4}}{64},\dfrac{9x^{5}}{125},\dots,$则第$n$个式子($n$为正整数，且$n ≥ 1$)为（
A.$\dfrac{(2n-1)x}{n}$
B.$\dfrac{(n^{2}-4)x^{n}}{n^{2}}$
C.$\dfrac{(2n+1)x^{n}}{n^{3}}$
D.$\dfrac{(2n-1)x^{n}}{n^{3}}$
$\dfrac{5x^{3}}{27},\dfrac{7x^{4}}{64},\dfrac{9x^{5}}{125},\dots,$则第$n$个式子($n$为正整数，且$n ≥ 1$)为（
D
）A.$\dfrac{(2n-1)x}{n}$
B.$\dfrac{(n^{2}-4)x^{n}}{n^{2}}$
C.$\dfrac{(2n+1)x^{n}}{n^{3}}$
D.$\dfrac{(2n-1)x^{n}}{n^{3}}$
答案
1. D 提示:因为当n=1时,式子为x=$\dfrac{(2×1-1)x^1}{1^3}$;当n=2时,式子为$\dfrac{3x^2}{8}=\dfrac{(2×2-1)x^2}{2^3}$;当n=3时,式子为$\dfrac{5x^3}{27}=\dfrac{(2×3-1)x^3}{3^3}$……所以第n个式子为$\dfrac{(2n-1)x^n}{n^3}$.
解析
【分析】
这道题是代数式规律探究题，我们可以用两种思路解题：第一种是拆分各部分分别找规律，把每个式子拆成分子的数字系数、x的指数、分母三个独立部分，分别推导第n项对应的表达式再合并；第二种是特殊值代入排除法，把n=1、n=2依次代入四个选项，和题干给出的对应式子比对，不符合的直接排除，快速锁定正确答案。先尝试拆分法：首先看x的指数，第1个式子是x¹，第2个是x²，第3个是x³，显然指数等于项数n；再看分子的数字系数，依次是1、3、5、7、9，是连续的正奇数，正奇数的通用表达式就是2n-1；最后看分母，依次是1、8、27、64、125，刚好对应1³、2³、3³、4³、5³，也就是第n项的分母是n³，把三部分组合起来就能得到第n个式子。
【解析】
方法一：拆分推导通项
1. 分析x的指数：第1项x的指数为1，第2项为2，第3项为3，……，可得第n项中x的指数为n；
2. 分析分子的数字系数：各项分子的数字依次为1、3、5、7、9，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为2n-1；
3. 分析分母：各项分母依次为$1=1^3$，$8=2^3$，$27=3^3$，$64=4^3$，$125=5^3$，可得第n项的分母为$n^3$；
将三部分组合，得到第n个式子为$\dfrac{(2n-1)x^{n}}{n^{3}}$。
方法二：特殊值排除法
当n=1时，题干第1个式子为x：
代入选项B：$\dfrac{(1^2-4)x^1}{1^2}=-3x$，和题干不符，排除B；
代入选项C：$\dfrac{(2×1+1)x^1}{1^3}=3x$，和题干不符，排除C；
当n=2时，题干第2个式子为$\dfrac{3x^2}{8}$：
代入选项A：$\dfrac{(2×2-1)x}{2}=\dfrac{3x}{2}$，和题干不符，排除A；
剩余选项D符合所有已知式子。
【答案】
D
【知识点】
代数式规律探究，奇数的表示，立方数特征
【点评】
本题属于基础的代数式规律探究题型，将式子拆分为多个独立部分分别推导规律的思路是解决这类题的通用方法，特殊值代入排除法可以大幅降低解题难度，避免推导通项时出现疏漏，能帮助学生快速验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
这道题是代数式规律探究题，我们可以用两种思路解题：第一种是拆分各部分分别找规律，把每个式子拆成分子的数字系数、x的指数、分母三个独立部分，分别推导第n项对应的表达式再合并；第二种是特殊值代入排除法，把n=1、n=2依次代入四个选项，和题干给出的对应式子比对，不符合的直接排除，快速锁定正确答案。先尝试拆分法：首先看x的指数，第1个式子是x¹，第2个是x²，第3个是x³，显然指数等于项数n；再看分子的数字系数，依次是1、3、5、7、9，是连续的正奇数，正奇数的通用表达式就是2n-1；最后看分母，依次是1、8、27、64、125，刚好对应1³、2³、3³、4³、5³，也就是第n项的分母是n³，把三部分组合起来就能得到第n个式子。
【解析】
方法一：拆分推导通项
1. 分析x的指数：第1项x的指数为1，第2项为2，第3项为3，……，可得第n项中x的指数为n；
2. 分析分子的数字系数：各项分子的数字依次为1、3、5、7、9，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为2n-1；
3. 分析分母：各项分母依次为$1=1^3$，$8=2^3$，$27=3^3$，$64=4^3$，$125=5^3$，可得第n项的分母为$n^3$；
将三部分组合，得到第n个式子为$\dfrac{(2n-1)x^{n}}{n^{3}}$。
方法二：特殊值排除法
当n=1时，题干第1个式子为x：
代入选项B：$\dfrac{(1^2-4)x^1}{1^2}=-3x$，和题干不符，排除B；
代入选项C：$\dfrac{(2×1+1)x^1}{1^3}=3x$，和题干不符，排除C；
当n=2时，题干第2个式子为$\dfrac{3x^2}{8}$：
代入选项A：$\dfrac{(2×2-1)x}{2}=\dfrac{3x}{2}$，和题干不符，排除A；
剩余选项D符合所有已知式子。
【答案】
D
【知识点】
代数式规律探究，奇数的表示，立方数特征
【点评】
本题属于基础的代数式规律探究题型，将式子拆分为多个独立部分分别推导规律的思路是解决这类题的通用方法，特殊值代入排除法可以大幅降低解题难度，避免推导通项时出现疏漏，能帮助学生快速验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
2. 在同一平面内,我们把$n$条直线中任意一条直线都和其余的直线相交叫作直线两两相交.两条直线相交,最多有1个交点;三条直线两两相交,最多有3个交点;四条直线两两相交,最多有6个交点……按照此规律,$n$条直线两两相交,交点个数最多是（
A.$\dfrac{1}{2}n(n-1)$
B.$\dfrac{1}{2}n(n+1)$
C.$n(n+1)$
D.$(n-1)(n+1)$
A
）A.$\dfrac{1}{2}n(n-1)$
B.$\dfrac{1}{2}n(n+1)$
C.$n(n+1)$
D.$(n-1)(n+1)$
答案
2. A 提示:两条直线相交,最多有$\dfrac{1}{2}×2×(2-1)=1$个交点;三条直线两两相交,最多有$\dfrac{1}{2}×3×(3-1)=3$个交点;四条直线两两相交,最多有$\dfrac{1}{2}×4×(4-1)=6$个交点……按照此规律,n条直线两两相交,交点个数最多是$\dfrac{1}{2}n(n-1)$.
解析
【分析】
我们可以从题目给出的已知案例入手推导规律：首先要得到最多交点数，需要满足任意三条直线都不会交于同一点，避免交点重合，这样每新增一条直线，都能和之前所有已有的直线都产生全新的交点。先对照已知条件：2条直线最多1个交点，新增第3条直线时，它可以和前2条直线各交1次，新增2个交点，总交点数1+2=3；新增第4条直线时，它可以和前3条直线各交1次，新增3个交点，总交点数1+2+3=6。以此类推，新增第n条直线时，会新增n-1个交点，总交点数就是从1加到n-1的和，用等差数列求和公式就能算出结果，也可以把题目给出的n=2、n=3的数值代入四个选项验证，快速排除错误选项。
【解析】
步骤1：明确最多交点的前提：n条直线两两相交要得到最多交点，需任意三条直线不经过同一个公共交点，不存在重合的交点。
步骤2：累加交点数推导：
2条直线时，交点数为1；
加入第3条直线，它和前2条直线都相交，新增2个交点，总交点数=1+2=3；
加入第4条直线，它和前3条直线都相交，新增3个交点，总交点数=1+2+3=6；
……
加入第n条直线，它和前n-1条直线都相交，新增n-1个交点，总交点数为：
$S = 1 + 2 + 3 + … + (n-1)$
根据等差数列求和公式，首项为1，末项为n-1，项数为n-1，可得：
$S = \frac{(1 + n - 1) × (n-1)}{2} = \frac{1}{2}n(n-1)$
步骤3：代入验证排除错误选项：
当n=2时，B选项结果为$\frac{1}{2}×2×3=3$，不符合已知的1个交点；C选项结果为2×3=6，不符合；D选项结果为1×3=3，不符合，只有A符合所有已知案例。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相交线交点规律；等差数列求和；规律探究
【点评】
本题是相交线章节的基础规律探究题，核心是理解“最多交点”的约束条件，通过累加新增交点的思路推导求和公式，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，难度较低，适合巩固相交线相关基础概念。
【难度系数】
0.8
我们可以从题目给出的已知案例入手推导规律：首先要得到最多交点数，需要满足任意三条直线都不会交于同一点，避免交点重合，这样每新增一条直线，都能和之前所有已有的直线都产生全新的交点。先对照已知条件：2条直线最多1个交点，新增第3条直线时，它可以和前2条直线各交1次，新增2个交点，总交点数1+2=3；新增第4条直线时，它可以和前3条直线各交1次，新增3个交点，总交点数1+2+3=6。以此类推，新增第n条直线时，会新增n-1个交点，总交点数就是从1加到n-1的和，用等差数列求和公式就能算出结果，也可以把题目给出的n=2、n=3的数值代入四个选项验证，快速排除错误选项。
【解析】
步骤1：明确最多交点的前提：n条直线两两相交要得到最多交点，需任意三条直线不经过同一个公共交点，不存在重合的交点。
步骤2：累加交点数推导：
2条直线时，交点数为1；
加入第3条直线，它和前2条直线都相交，新增2个交点，总交点数=1+2=3；
加入第4条直线，它和前3条直线都相交，新增3个交点，总交点数=1+2+3=6；
……
加入第n条直线，它和前n-1条直线都相交，新增n-1个交点，总交点数为：
$S = 1 + 2 + 3 + … + (n-1)$
根据等差数列求和公式，首项为1，末项为n-1，项数为n-1，可得：
$S = \frac{(1 + n - 1) × (n-1)}{2} = \frac{1}{2}n(n-1)$
步骤3：代入验证排除错误选项：
当n=2时，B选项结果为$\frac{1}{2}×2×3=3$，不符合已知的1个交点；C选项结果为2×3=6，不符合；D选项结果为1×3=3，不符合，只有A符合所有已知案例。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相交线交点规律；等差数列求和；规律探究
【点评】
本题是相交线章节的基础规律探究题，核心是理解“最多交点”的约束条件，通过累加新增交点的思路推导求和公式，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，难度较低，适合巩固相交线相关基础概念。
【难度系数】
0.8
3. 第①行:$2,4,6,8,10,12,···$；
第②行:$3,5,7,9,11,13,···$；
第③行:$1,4,9,16,25,36,···.$
设$x,y,z$分别为第①,②,③行的第 100
个数,则$2x-y+2z$的值为 （
A.9 999
B.10 001
C.20 199
D.20 001
第②行:$3,5,7,9,11,13,···$；
第③行:$1,4,9,16,25,36,···.$
设$x,y,z$分别为第①,②,③行的第 100
个数,则$2x-y+2z$的值为 （
C
）A.9 999
B.10 001
C.20 199
D.20 001
答案
3. C 提示:观察第①行:2,4,6,8,10,12,…,所以第100个数为$100×2=200$.观察第②行:3,5,7,9,11,13,…,所以第100个数为$100×2+1=201$.观察第③行:1,4,9,16,25,36,…,所以第100个数是$100^2=10\ 000$.即$x=200,y=201,z=10\ 000$,所以$2x-y+2z=20\ 199$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是先分别找出三行数列的通用规律，得到第n个数的表达式，再代入n=100求出x、y、z三个值，最后代入代数式计算结果。首先观察第①行都是连续偶数，很容易得到第n个数是2n；第②行是从3开始的连续奇数，对比第①行同位置的数，发现每个数都比第①行对应数大1，就能得到它的通项；第③行是典型的平方数列，第n个数就是n的平方。得到三个通项后代入n=100算出三个数，最后代入2x-y+2z计算即可得到答案。
【解析】
1. 推导第①行第n个数的表达式：
第①行的数是2,4,6,8…，均为连续正偶数，因此第n个数为2n，当n=100时，x=2×100=200。
2. 推导第②行第n个数的表达式：
第②行的数是3,5,7,9…，对比第①行对应位置的数，每个数都比第①行同位置的数大1，因此第n个数为2n+1，当n=100时，y=2×100+1=201。
3. 推导第③行第n个数的表达式：
第③行的数是1,4,9,16…，均为连续正整数的平方，因此第n个数为n²，当n=100时，z=100²=10000。
4. 代入代数式计算：
将x=200，y=201，z=10000代入2x-y+2z，得：
2x - y + 2z = 2×200 - 201 + 2×10000 = 400 - 201 + 20000 = 20199。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，涉及的都是初中阶段最常见的三类基础数列：偶数列、奇数列、平方数列，难度不高，只要能通过前几个数总结出通项规律即可快速求解，解题时可以先代入前几个n值验证规律是否正确，避免通项写错导致后续计算出错。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是先分别找出三行数列的通用规律，得到第n个数的表达式，再代入n=100求出x、y、z三个值，最后代入代数式计算结果。首先观察第①行都是连续偶数，很容易得到第n个数是2n；第②行是从3开始的连续奇数，对比第①行同位置的数，发现每个数都比第①行对应数大1，就能得到它的通项；第③行是典型的平方数列，第n个数就是n的平方。得到三个通项后代入n=100算出三个数，最后代入2x-y+2z计算即可得到答案。
【解析】
1. 推导第①行第n个数的表达式：
第①行的数是2,4,6,8…，均为连续正偶数，因此第n个数为2n，当n=100时，x=2×100=200。
2. 推导第②行第n个数的表达式：
第②行的数是3,5,7,9…，对比第①行对应位置的数，每个数都比第①行同位置的数大1，因此第n个数为2n+1，当n=100时，y=2×100+1=201。
3. 推导第③行第n个数的表达式：
第③行的数是1,4,9,16…，均为连续正整数的平方，因此第n个数为n²，当n=100时，z=100²=10000。
4. 代入代数式计算：
将x=200，y=201，z=10000代入2x-y+2z，得：
2x - y + 2z = 2×200 - 201 + 2×10000 = 400 - 201 + 20000 = 20199。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，涉及的都是初中阶段最常见的三类基础数列：偶数列、奇数列、平方数列，难度不高，只要能通过前几个数总结出通项规律即可快速求解，解题时可以先代入前几个n值验证规律是否正确，避免通项写错导致后续计算出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图,有一个起点为0的数轴,现有同学将它弯折,虚线上从下往上第一个数为0,第二个数为6,第三个数为21……则第十个数是 （
A.378
B.351
C.702
D.756
A
）A.378
B.351
C.702
D.756
答案
4. A 提示:第一个数是0,第二个数是6,第三个数是$0+6+15=21$,第四个数是$0+6+15+24=45$,第五个数是$0+6+15+24+33=78$……第n个数是$0+9×0+6+9×1+6+9×2+6+\dots+9(n-2)+6=6(n-1)+9(0+1+2+\dots+n-2)=6(n-1)+\dfrac{9(n-1)(n-2)}{2}$.当n=10时,代入上式,得$6(n-1)+\dfrac{9(n-1)(n-2)}{2}=6×9+\dfrac{9×9×8}{2}=378$.
解析
【分析】
我们先从题目给出的虚线上的已知数入手：第1个数是0，第2个数是6，第3个数是21，先计算相邻两个数的差值：6-0=6，21-6=15，观察差值的特征，发现两个差值相差9，结合数轴弯折的数字排布规律，可以确定后续相邻数的差值是公差为9的等差数列。接下来我们把所有差值累加，推导得到第n个数的通用计算公式，最后将n=10代入公式计算，就能得到第十个数的结果。
【解析】
设虚线上第k个数为$a_k$：
1. 整理相邻数的差值规律：
已知$a_1=0$，$a_2-a_1=6$，$a_3-a_2=15$，$a_4-a_3=24$……
当$k≥2$时，差值$a_k - a_{k-1}=6+9(k-2)=9k-12$，该差值序列是首项为6、公差为9的等差数列。
2. 累加推导通项公式：
$ \begin{aligned} a_n&=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})\\ &=0+6+15+24+\dots+[9(n-1)-12]\\ &=6(n-1)+9×[0+1+2+\dots+(n-2)]\\ &=6(n-1)+\frac{9(n-1)(n-2)}{2} \end{aligned} $
3. 代入n=10计算：
$ \begin{aligned} a_{10}&=6×(10-1)+\frac{9×(10-1)×(10-2)}{2}\\ &=6×9+\frac{9×9×8}{2}\\ &=54+324\\ &=378 \end{aligned} $
【答案】A.378
【知识点】数字规律探究，等差数列求和
【点评】本题将数列规律隐藏在弯折的数轴排布中，核心是把陌生的图形类数字问题转化为熟悉的等差数列求和问题，推导通项时要注意累加的项数不要出错，代入数值计算时仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】0.4
我们先从题目给出的虚线上的已知数入手：第1个数是0，第2个数是6，第3个数是21，先计算相邻两个数的差值：6-0=6，21-6=15，观察差值的特征，发现两个差值相差9，结合数轴弯折的数字排布规律，可以确定后续相邻数的差值是公差为9的等差数列。接下来我们把所有差值累加，推导得到第n个数的通用计算公式，最后将n=10代入公式计算，就能得到第十个数的结果。
【解析】
设虚线上第k个数为$a_k$：
1. 整理相邻数的差值规律：
已知$a_1=0$，$a_2-a_1=6$，$a_3-a_2=15$，$a_4-a_3=24$……
当$k≥2$时，差值$a_k - a_{k-1}=6+9(k-2)=9k-12$，该差值序列是首项为6、公差为9的等差数列。
2. 累加推导通项公式：
$ \begin{aligned} a_n&=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})\\ &=0+6+15+24+\dots+[9(n-1)-12]\\ &=6(n-1)+9×[0+1+2+\dots+(n-2)]\\ &=6(n-1)+\frac{9(n-1)(n-2)}{2} \end{aligned} $
3. 代入n=10计算：
$ \begin{aligned} a_{10}&=6×(10-1)+\frac{9×(10-1)×(10-2)}{2}\\ &=6×9+\frac{9×9×8}{2}\\ &=54+324\\ &=378 \end{aligned} $
【答案】A.378
【知识点】数字规律探究，等差数列求和
【点评】本题将数列规律隐藏在弯折的数轴排布中，核心是把陌生的图形类数字问题转化为熟悉的等差数列求和问题，推导通项时要注意累加的项数不要出错，代入数值计算时仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】0.4
5. 已知整数 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},···,$ 满足下列条件：
$a_{1}=0,a_{2}=-|a_{1}+1|,a_{3}=-|a_{2}+2|,$
$a_{4}=-|a_{3}+3|,···,$ 以此类推, 则 $a_{2025}$ 的值为
$a_{1}=0,a_{2}=-|a_{1}+1|,a_{3}=-|a_{2}+2|,$
$a_{4}=-|a_{3}+3|,···,$ 以此类推, 则 $a_{2025}$ 的值为
-1 012
.答案
5. -1 012 提示$:a_1=0,a_2=-$|$a_1+1$|=-|0+1|$=-1,a_3=-$|$a_2+2$|=-|-1+2|$=-1,a_4=-$|$a_3+3$|=-|-1+3|$=-2,a_5=-$|$a_4+4$|=-|-2+4|$=-2,a_6=-$|$a_5+5$|=-|-2+5|$=-3,a_7=-$|$a_6+6$|=-|-3+6|=-3,…,以此类推,所以当n为偶数时$,a_n=-\dfrac{n}{2},$当n为奇数时$,a_n=-\dfrac{n-1}{2},$所以$a_{2025}=-\dfrac{2025-1}{2}=-1\ 012.$
解析
【分析】
这道题给出递推关系求第2025项，直接逐项计算到2025显然不现实，解题思路为：先按照给定的递推公式依次计算出前若干项的数值，观察数值的排布特征，分别总结出n为奇数、n为偶数时对应的通项规律，验证规律成立后，判断2025的奇偶性，代入对应规律即可算出结果。
【解析】
第一步：根据递推公式依次计算前若干项：
已知$a_1=0$，
$a_2=-|a_1+1|=-|0+1|=-1$，
$a_3=-|a_2+2|=-|-1+2|=-1$，
$a_4=-|a_3+3|=-|-1+3|=-2$，
$a_5=-|a_4+4|=-|-2+4|=-2$，
$a_6=-|a_5+5|=-|-2+5|=-3$，
$a_7=-|a_6+6|=-|-3+6|=-3$，
……
第二步：观察数值总结规律：
可以发现数值每两个重复出现一次，分奇偶归纳：
当n为偶数时：$a_2=-\frac{2}{2}=-1$，$a_4=-\frac{4}{2}=-2$，$a_6=-\frac{6}{2}=-3$，可得规律$a_n=-\frac{n}{2}$；
当n为奇数时：$a_1=-\frac{1-1}{2}=0$，$a_3=-\frac{3-1}{2}=-1$，$a_5=-\frac{5-1}{2}=-2$，可得规律$a_n=-\frac{n-1}{2}$。
第三步：代入计算$a_{2025}$：
2025是奇数，代入奇数项对应的规律：
$a_{2025}=-\frac{2025-1}{2}=-\frac{2024}{2}=-1012$。
【答案】
-1012
【知识点】
绝对值运算，数列规律探究，归纳推理
【点评】
本题属于初中常见的数列规律探究题，核心思路是通过有限项的计算归纳通用规律，避免了复杂的递推推导，解题门槛不高，易错点是混淆奇偶项对应的公式，代入前需要先判断所求项的下标是奇数还是偶数，再选择对应表达式计算即可。
【难度系数】
0.7
这道题给出递推关系求第2025项，直接逐项计算到2025显然不现实，解题思路为：先按照给定的递推公式依次计算出前若干项的数值，观察数值的排布特征，分别总结出n为奇数、n为偶数时对应的通项规律，验证规律成立后，判断2025的奇偶性，代入对应规律即可算出结果。
【解析】
第一步：根据递推公式依次计算前若干项：
已知$a_1=0$，
$a_2=-|a_1+1|=-|0+1|=-1$，
$a_3=-|a_2+2|=-|-1+2|=-1$，
$a_4=-|a_3+3|=-|-1+3|=-2$，
$a_5=-|a_4+4|=-|-2+4|=-2$，
$a_6=-|a_5+5|=-|-2+5|=-3$，
$a_7=-|a_6+6|=-|-3+6|=-3$，
……
第二步：观察数值总结规律：
可以发现数值每两个重复出现一次，分奇偶归纳：
当n为偶数时：$a_2=-\frac{2}{2}=-1$，$a_4=-\frac{4}{2}=-2$，$a_6=-\frac{6}{2}=-3$，可得规律$a_n=-\frac{n}{2}$；
当n为奇数时：$a_1=-\frac{1-1}{2}=0$，$a_3=-\frac{3-1}{2}=-1$，$a_5=-\frac{5-1}{2}=-2$，可得规律$a_n=-\frac{n-1}{2}$。
第三步：代入计算$a_{2025}$：
2025是奇数，代入奇数项对应的规律：
$a_{2025}=-\frac{2025-1}{2}=-\frac{2024}{2}=-1012$。
【答案】
-1012
【知识点】
绝对值运算，数列规律探究，归纳推理
【点评】
本题属于初中常见的数列规律探究题，核心思路是通过有限项的计算归纳通用规律，避免了复杂的递推推导，解题门槛不高，易错点是混淆奇偶项对应的公式，代入前需要先判断所求项的下标是奇数还是偶数，再选择对应表达式计算即可。
【难度系数】
0.7
6. 观察一组数：$2,-5,10,-17,26,-37,\dots,$按此规律，则第 $n$ 个数是
$(-1)^{n+1}(n^2+1)$
.答案
6. $(-1)^{n+1}(n^2+1)$ 提示:因为该组数的第奇数个数是正数,第偶数个数是负数,且绝对值为$n^2+1$,所以第n个数为$(-1)^{n+1}(n^2+1)$.
解析
【分析】
拿到这组交替正负的数列，我们可以把规律拆成两部分分别推导：第一部分先看符号的变化，观察数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，要表示这种交替的符号，我们可以借助-1的整数次幂来实现，调整指数让n为奇数时符号为正，n为偶数时符号为负。第二部分单独看每个数的绝对值，依次是2、5、10、17、26、37，对应n=1到6代入验证，就能发现绝对值和n的平方的对应关系，最后把符号部分和绝对值的表达式相乘，就能得到第n个数的通式。
【解析】
解：① 分析符号规律：
数列的项符号按正、负交替出现，奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号：
当n为奇数时，$n+1$为偶数，$(-1)^{n+1}=1$，对应符号为正；当n为偶数时，$n+1$为奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，对应符号为负，完全符合数列的符号特征。
② 分析绝对值的规律：
各项的绝对值依次为2，5，10，17，26，37：
n=1时，绝对值$2=1^2+1$；
n=2时，绝对值$5=2^2+1$；
n=3时，绝对值$10=3^2+1$；
n=4时，绝对值$17=4^2+1$；
……
可推得第n项的绝对值为$n^2+1$。
③ 合并符号和绝对值的规律，得到第n个数为$(-1)^{n+1}(n^2+1)$。
【答案】
$(-1)^{n+1}(n^2+1)$
【知识点】
数列规律探究，乘方的符号性质
【点评】
本题是初中典型的数字规律探究题，核心解题技巧是将交替正负的数列拆分为符号、绝对值两个独立部分分别推导规律，避免直接整体凑数提升思考难度，需要熟练掌握用-1的幂次表示交替符号的常用方法，注意不要搞错指数的取值导致符号规律出错。
【难度系数】
0.6
拿到这组交替正负的数列，我们可以把规律拆成两部分分别推导：第一部分先看符号的变化，观察数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，要表示这种交替的符号，我们可以借助-1的整数次幂来实现，调整指数让n为奇数时符号为正，n为偶数时符号为负。第二部分单独看每个数的绝对值，依次是2、5、10、17、26、37，对应n=1到6代入验证，就能发现绝对值和n的平方的对应关系，最后把符号部分和绝对值的表达式相乘，就能得到第n个数的通式。
【解析】
解：① 分析符号规律：
数列的项符号按正、负交替出现，奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号：
当n为奇数时，$n+1$为偶数，$(-1)^{n+1}=1$，对应符号为正；当n为偶数时，$n+1$为奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，对应符号为负，完全符合数列的符号特征。
② 分析绝对值的规律：
各项的绝对值依次为2，5，10，17，26，37：
n=1时，绝对值$2=1^2+1$；
n=2时，绝对值$5=2^2+1$；
n=3时，绝对值$10=3^2+1$；
n=4时，绝对值$17=4^2+1$；
……
可推得第n项的绝对值为$n^2+1$。
③ 合并符号和绝对值的规律，得到第n个数为$(-1)^{n+1}(n^2+1)$。
【答案】
$(-1)^{n+1}(n^2+1)$
【知识点】
数列规律探究，乘方的符号性质
【点评】
本题是初中典型的数字规律探究题，核心解题技巧是将交替正负的数列拆分为符号、绝对值两个独立部分分别推导规律，避免直接整体凑数提升思考难度，需要熟练掌握用-1的幂次表示交替符号的常用方法，注意不要搞错指数的取值导致符号规律出错。
【难度系数】
0.6
7. 小明同学利用计算机设计了一个程序,输入和输出的情况如下表.他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关.按此规律,当输入9时,输出结果为
$76a^{13}b^{42}$
;从1开始一直输入到2 026后,输出项的系数与次数均为奇数的项共有676
个.答案
7. $76a^{13}b^{42}$ 676 提示:因为根据表格中输出项的规律:从第三个输出项起的每一项的系数都是前两项的和,每个字母的指数都是前两项相同字母的指数之和,所以当输入9时,输出结果为$76a^{13}b^{42}$.输入1时,输出项的系数与次数均为奇数,输入4时,输出项的系数与次数均为奇数,输入7时,输出项的系数与次数均为奇数……输入的数为$3n+1$(n为自然数)时,输出项的系数与次数均为奇数.因为$2\ 026=3×675+1$,所以从1开始一直输入到2 026后,输出项的系数与次数均为奇数的项共有676个.
解析
【分析】
这是一道规律探究题，解题思路可以拆分为两步走：
1. 首先根据题干提示“从第三个输出项起每一项和前两个输出项有关”，把输出的单项式拆成三部分：数字系数、字母a的指数、字母b的指数，分别列出每部分对应输入1到8的数值，验证发现三部分都满足“从第三项起，当前项数值等于前两项对应数值之和”的递推规律，据此直接计算输入9时三部分的数值，组合得到输出结果。
2. 接着逐个验证输入1到7的输出项，筛选出“系数与次数均为奇数”的项对应的输入值，发现符合条件的输入值是公差为3的等差数列，最后根据等差数列的项数公式，计算从1到2026范围内符合条件的总项数即可。
【解析】
1. 计算输入9的输出结果：
① 数字系数：输入1~8对应的系数依次为1、3、4、7、11、18、29、47，满足递推关系$c_n = c_{n-1}+c_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的系数为$29+47=76$；
② a的指数：输入1~8对应的a的指数依次为1、0、1、1、2、3、5、8，满足递推关系$a_n = a_{n-1}+a_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的a的指数为$5+8=13$；
③ b的指数：输入1~8对应的b的指数依次为0、2、2、4、6、10、16、26，满足递推关系$b_n = b_{n-1}+b_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的b的指数为$16+26=42$；
组合得到输入9的输出为$76a^{13}b^{42}$。
2. 计算符合条件的总项数：
逐个验证可得，输出项的系数与次数均为奇数的输入值为1、4、7……，是首项为1、公差为3的等差数列，通项公式为$n=3k+1$（k为非负整数）。
令$3k+1 ≤ 2026$，解得$k≤ 675$，k可取0到675共676个整数，因此总共有676个符合条件的项。
【答案】
$76a^{13}b^{42}$；676
【知识点】
递推数列，规律探究，等差数列计数
【点评】
本题属于整式相关的规律探究题，核心技巧是将单项式拆分为多个独立部分分别找递推关系，第二问的难点是发现符合奇偶条件的项的周期为3，计数时要注意不要漏算首项n=1的情况，整体对学生的归纳观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
这是一道规律探究题，解题思路可以拆分为两步走：
1. 首先根据题干提示“从第三个输出项起每一项和前两个输出项有关”，把输出的单项式拆成三部分：数字系数、字母a的指数、字母b的指数，分别列出每部分对应输入1到8的数值，验证发现三部分都满足“从第三项起，当前项数值等于前两项对应数值之和”的递推规律，据此直接计算输入9时三部分的数值，组合得到输出结果。
2. 接着逐个验证输入1到7的输出项，筛选出“系数与次数均为奇数”的项对应的输入值，发现符合条件的输入值是公差为3的等差数列，最后根据等差数列的项数公式，计算从1到2026范围内符合条件的总项数即可。
【解析】
1. 计算输入9的输出结果：
① 数字系数：输入1~8对应的系数依次为1、3、4、7、11、18、29、47，满足递推关系$c_n = c_{n-1}+c_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的系数为$29+47=76$；
② a的指数：输入1~8对应的a的指数依次为1、0、1、1、2、3、5、8，满足递推关系$a_n = a_{n-1}+a_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的a的指数为$5+8=13$；
③ b的指数：输入1~8对应的b的指数依次为0、2、2、4、6、10、16、26，满足递推关系$b_n = b_{n-1}+b_{n-2} \ (n≥3)$，因此输入9的b的指数为$16+26=42$；
组合得到输入9的输出为$76a^{13}b^{42}$。
2. 计算符合条件的总项数：
逐个验证可得，输出项的系数与次数均为奇数的输入值为1、4、7……，是首项为1、公差为3的等差数列，通项公式为$n=3k+1$（k为非负整数）。
令$3k+1 ≤ 2026$，解得$k≤ 675$，k可取0到675共676个整数，因此总共有676个符合条件的项。
【答案】
$76a^{13}b^{42}$；676
【知识点】
递推数列，规律探究，等差数列计数
【点评】
本题属于整式相关的规律探究题，核心技巧是将单项式拆分为多个独立部分分别找递推关系，第二问的难点是发现符合奇偶条件的项的周期为3，计数时要注意不要漏算首项n=1的情况，整体对学生的归纳观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
8. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.关于凸$n(n ≥ 3)$边形的三角剖分,有下列说法:
①三角剖分后得到的三角形个数为$(n-1)$;
②凸5边形的三角剖分方法数为5;
③凸6边形的三角剖分方法数为14,会得到4个三角形;
④凸7边形的三角剖分方法数为42;
⑤一个凸$n$边形的三角剖分方法数$D_{n}$满足关系$\dfrac{D_{n+1}}{D_{n}}=\dfrac{4n-2}{n+1}.$
其中正确的说法为
①三角剖分后得到的三角形个数为$(n-1)$;
②凸5边形的三角剖分方法数为5;
③凸6边形的三角剖分方法数为14,会得到4个三角形;
④凸7边形的三角剖分方法数为42;
⑤一个凸$n$边形的三角剖分方法数$D_{n}$满足关系$\dfrac{D_{n+1}}{D_{n}}=\dfrac{4n-2}{n+1}.$
其中正确的说法为
②③④
(填序号).答案
8. ②③④ 提示:依题意,得当n=3时,三角剖分后得到的三角形个数为1,即3-2=1,此时凸3边形的三角剖分方法数为1;当n=4时,三角剖分后得到的三角形个数为2,即4-2=2,此时凸4边形的三角剖分方法数为2,设凸n边形的三角剖分方法数为$D_n$,所以$\dfrac{D_4}{D_3}=\dfrac{2}{1}=2=\dfrac{3×4-6}{3}$;当n=5时,三角剖分后得到的三角形个数为3,即5-2=3,此时凸5边形的三角剖分方法数为5,所以$\dfrac{D_5}{D_4}=\dfrac{5}{2}=\dfrac{4×4-6}{4}$……依次类推,所以对于凸n边形,三角剖分后得到的三角形个数为$(n-2)$,且$D_{n+1}$与$D_n$满足关系$\dfrac{D_{n+1}}{D_n}=\dfrac{4n-6}{n}(n≥3)$,故①⑤错误,②正确;当n=5时,$\dfrac{D_6}{D_5}=\dfrac{4×5-6}{5}=\dfrac{14}{5}$,因为$D_5=5$,所以$D_6=14$,当n=6时,n-2=6-2=4,即凸6边形的三角剖分方法数为14,会得到4个三角形,故③正确;当n=6时,$\dfrac{D_7}{D_6}=\dfrac{4×6-6}{6}=\dfrac{18}{6}=3$,因为$D_6=14$,所以$D_7=3D_6=3×14=42$,即凸7边形的三角剖分方法数为42,故④正确.
解析
【分析】
我们可以从基础定义出发逐个验证5个说法：首先利用内角和性质推导凸n边形三角剖分后的三角形总数，快速判断①的正误；再从n=3、n=4等小值凸多边形入手枚举三角剖分的方法数，结合凸多边形三角剖分对应的规律，依次验证②③④的数值是否正确，最后代入小值n检验⑤给出的递推关系是否成立，即可筛选出所有正确的说法。
【解析】
1. 判断①：设三角剖分后得到的三角形总数为k，所有三角形的内角和总和等于原凸n边形的内角和，即$k·180°=(n-2)·180°$，解得$k=n-2$，并非$n-1$，故①错误。
2. 枚举基础情况：当n=3时，凸3边形本身就是三角形，三角剖分方法数$D_3=1$；当n=4时，凸4边形仅需连接1条对角线即可完成剖分，共2种方法，即$D_4=2$。
3. 判断②：凸5边形三角剖分后三角形个数为$5-2=3$，枚举可得其剖分方法数为5，即$D_5=5$，故②正确。
4. 判断③：凸n边形三角剖分数的递推关系为$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(n≥3)$，代入n=5得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，结合$D_5=5$得$D_6=14$，凸6边形剖分后三角形个数为$6-2=4$，故③正确。
5. 判断④：代入n=6到递推式中，得$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，结合$D_6=14$得$D_7=3×14=42$，故④正确。
6. 判断⑤：将n=3代入给出的递推式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-2}{n+1}$，左边$\frac{D_4}{D_3}=2$，右边$\frac{4×3-2}{3+1}=\frac{10}{4}=2.5$，左右不相等，该递推关系不成立，故⑤错误。
综上正确的说法是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
凸多边形三角剖分，卡特兰数，递推关系
【点评】
本题是卡特兰数经典应用场景的考察，不需要提前记忆卡特兰数结论，仅通过小值枚举结合内角和性质就可以推导验证各结论，易错点是混淆三角剖分的三角形数量公式和卡特兰数的递推形式，逐个代入小值检验即可规避错误。
【难度系数】
0.4
我们可以从基础定义出发逐个验证5个说法：首先利用内角和性质推导凸n边形三角剖分后的三角形总数，快速判断①的正误；再从n=3、n=4等小值凸多边形入手枚举三角剖分的方法数，结合凸多边形三角剖分对应的规律，依次验证②③④的数值是否正确，最后代入小值n检验⑤给出的递推关系是否成立，即可筛选出所有正确的说法。
【解析】
1. 判断①：设三角剖分后得到的三角形总数为k，所有三角形的内角和总和等于原凸n边形的内角和，即$k·180°=(n-2)·180°$，解得$k=n-2$，并非$n-1$，故①错误。
2. 枚举基础情况：当n=3时，凸3边形本身就是三角形，三角剖分方法数$D_3=1$；当n=4时，凸4边形仅需连接1条对角线即可完成剖分，共2种方法，即$D_4=2$。
3. 判断②：凸5边形三角剖分后三角形个数为$5-2=3$，枚举可得其剖分方法数为5，即$D_5=5$，故②正确。
4. 判断③：凸n边形三角剖分数的递推关系为$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}(n≥3)$，代入n=5得$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，结合$D_5=5$得$D_6=14$，凸6边形剖分后三角形个数为$6-2=4$，故③正确。
5. 判断④：代入n=6到递推式中，得$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6-6}{6}=3$，结合$D_6=14$得$D_7=3×14=42$，故④正确。
6. 判断⑤：将n=3代入给出的递推式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-2}{n+1}$，左边$\frac{D_4}{D_3}=2$，右边$\frac{4×3-2}{3+1}=\frac{10}{4}=2.5$，左右不相等，该递推关系不成立，故⑤错误。
综上正确的说法是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
凸多边形三角剖分，卡特兰数，递推关系
【点评】
本题是卡特兰数经典应用场景的考察，不需要提前记忆卡特兰数结论，仅通过小值枚举结合内角和性质就可以推导验证各结论，易错点是混淆三角剖分的三角形数量公式和卡特兰数的递推形式，逐个代入小值检验即可规避错误。
【难度系数】
0.4
9. 有一列数：$\dfrac{1}{1},-\dfrac{2}{1},-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{1},\dfrac{2}{2},\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{1},-\dfrac{3}{2},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{4},\dots,$这列数的前4 755个数的乘积是
4 753
.答案
9. 4 753 提示:观察这列数,可发现第1个数为$\dfrac{1}{1}=1$,第2个数和第3个数的乘积为$(-\dfrac{2}{1})×(-\dfrac{1}{2})=1$,第4个数、第5个数和第6个数的乘积为$\dfrac{3}{1}×\dfrac{2}{2}×\dfrac{1}{3}=1$……可发现,按照每n个数,n从1开始逐次加1,其乘积为1,因此可按照这种规律分组观察规律,当n=1时,数为$\dfrac{1}{1}$;当n=2时,数为$-\dfrac{2}{1},-\dfrac{1}{2}$;当n=3时,数为$\dfrac{3}{1},\dfrac{2}{2},\dfrac{1}{3}$……所以,当n为奇数时,第n组数都为正数,当n为偶数时,第n组数都为负数,且每组数中每个数的绝对值,呈现分子从n开始,一直到1,分母从1开始,一直到n的规律排列.因为$1+2+3+4+\dots+97=4\ 753$,所以这列数前4 755个数的乘积等于97组乘积为1的数相乘,再乘第4 754,4 755个数.由上可知,第4 754,4 755个数分别对应第98组的第1个数和第2个数,根据规律,当n=98时,符号为负,第1个数为$-\dfrac{98}{1}$,第2个数为$-\dfrac{97}{2}$,故这列数的前4 755个数的乘积为$1×(-\dfrac{98}{1})×(-\dfrac{97}{2})=49×97=4\ 753$.
解析
【分析】
拿到这道题不要直接硬算所有数的乘积，先观察数列的排列特征，第一步先尝试分组：可以发现数列的个数依次累加，第1组有1个数，第2组有2个数，第3组有3个数……第n组就有n个数。接下来逐一验证每组的规律：先看符号，n为奇数时整组都是正数，n为偶数时整组都是负数；再看每组数的绝对值，分子从n递减到1，分母从1递增到n，计算后能发现每组所有数相乘的结果刚好是1，直接把复杂的连乘问题大幅简化。接下来用等差数列求和公式，计算前k组的总个数S_k=1+2+…+k =k(k+1)/2，找到最接近4755的k值，算出前多少组的总个数小于等于4755，剩下不足一组的数单独找出来相乘，最后和前面所有组的总乘积相乘就能得到结果。
【解析】
步骤1：分组总结规律
将数列按组划分，第n组包含n个数：
① 符号规律：n为奇数时，组内所有数均为正；n为偶数时，组内所有数均为负
② 数值规律：组内数的绝对值依次为$\frac{n}{1},\frac{n-1}{2},\dots,\frac{1}{n}$
③ 每组乘积：第n组所有数相乘为$\frac{n}{1} × \frac{n-1}{2} × \dots × \frac{1}{n} = 1$，即每组的乘积恒为1。
步骤2：计算前k组的总个数
前k组的数的总个数为等差数列求和：
$S_k = 1+2+3+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}$
代入计算得：当k=97时，$S_{97}=\frac{97×98}{2}=4753$，即前97组共有4753个数，这4753个数的总乘积为$1^{97}=1$。
步骤3：找出剩余的两个数
题目要求前4755个数，减去前4753个数，还剩2个数，这两个数就是第98组的前2个数：
第98组n=98是偶数，组内数均为负，因此第98组第1个数为$-\frac{98}{1}$，第2个数为$-\frac{97}{2}$。
步骤4：计算最终乘积
前4755个数的总乘积 = 前4753个数的乘积 × 第4754个数 × 第4755个数
代入计算得：
$1 × (-\frac{98}{1}) × (-\frac{97}{2}) = 49 × 97 = 4753$
【答案】4753
【知识点】
数列规律探究，等差数列求和，有理数乘法
【点评】
本题属于数列规律探究类的拓展题，核心技巧是通过分组发现每组乘积恒为1的特点，大幅简化了大量数连乘的复杂计算，避免了硬算的繁琐。解题时容易出错的点是分组后总个数的计算、第98组的符号判断，需要仔细核对规律避免失误。
【难度系数】
0.2
拿到这道题不要直接硬算所有数的乘积，先观察数列的排列特征，第一步先尝试分组：可以发现数列的个数依次累加，第1组有1个数，第2组有2个数，第3组有3个数……第n组就有n个数。接下来逐一验证每组的规律：先看符号，n为奇数时整组都是正数，n为偶数时整组都是负数；再看每组数的绝对值，分子从n递减到1，分母从1递增到n，计算后能发现每组所有数相乘的结果刚好是1，直接把复杂的连乘问题大幅简化。接下来用等差数列求和公式，计算前k组的总个数S_k=1+2+…+k =k(k+1)/2，找到最接近4755的k值，算出前多少组的总个数小于等于4755，剩下不足一组的数单独找出来相乘，最后和前面所有组的总乘积相乘就能得到结果。
【解析】
步骤1：分组总结规律
将数列按组划分，第n组包含n个数：
① 符号规律：n为奇数时，组内所有数均为正；n为偶数时，组内所有数均为负
② 数值规律：组内数的绝对值依次为$\frac{n}{1},\frac{n-1}{2},\dots,\frac{1}{n}$
③ 每组乘积：第n组所有数相乘为$\frac{n}{1} × \frac{n-1}{2} × \dots × \frac{1}{n} = 1$，即每组的乘积恒为1。
步骤2：计算前k组的总个数
前k组的数的总个数为等差数列求和：
$S_k = 1+2+3+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}$
代入计算得：当k=97时，$S_{97}=\frac{97×98}{2}=4753$，即前97组共有4753个数，这4753个数的总乘积为$1^{97}=1$。
步骤3：找出剩余的两个数
题目要求前4755个数，减去前4753个数，还剩2个数，这两个数就是第98组的前2个数：
第98组n=98是偶数，组内数均为负，因此第98组第1个数为$-\frac{98}{1}$，第2个数为$-\frac{97}{2}$。
步骤4：计算最终乘积
前4755个数的总乘积 = 前4753个数的乘积 × 第4754个数 × 第4755个数
代入计算得：
$1 × (-\frac{98}{1}) × (-\frac{97}{2}) = 49 × 97 = 4753$
【答案】4753
【知识点】
数列规律探究，等差数列求和，有理数乘法
【点评】
本题属于数列规律探究类的拓展题，核心技巧是通过分组发现每组乘积恒为1的特点，大幅简化了大量数连乘的复杂计算，避免了硬算的繁琐。解题时容易出错的点是分组后总个数的计算、第98组的符号判断，需要仔细核对规律避免失误。
【难度系数】
0.2
