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1. 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上任取一点，过这个点向$x$轴和$y$轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值
$|k|$
。答案
1. $|k|$
解析
【分析】
解题时可先从反比例函数上点的坐标特征切入：第一步先设出函数图象上任意一点的坐标，利用点在函数图象上则坐标满足函数解析式，推导出该点横、纵坐标的乘积和参数k的关系；第二步分析所作矩形的边长和点的横、纵坐标绝对值的对应关系（坐标有正负，但线段长度为非负数，因此要取绝对值）；最后通过矩形面积公式计算就能得到对应的定值。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点的坐标为$(m,n)$
∵ 该点在反比例函数图象上
∴ 将$(m,n)$代入解析式可得：$n=\frac{k}{m}$，整理得$mn=k$
过该点分别向$x$轴、$y$轴作垂线，垂线段的长度分别为$|n|$、$|m|$（坐标的绝对值对应线段的长度，恒为非负）
则垂线与坐标轴围成的矩形面积$S=|m|×|n|=|mn|$
将$mn=k$代入上式可得：$S=|k|$
因此围成的矩形的面积是定值$|k|$。
【答案】
$|k|$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 点的坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查对反比例函数中参数k的几何意义的理解，牢记该结论可以大幅提升同类反比例函数面积问题的解题效率，需注意面积为非负数，因此结果要带上绝对值符号。
【难度系数】
0.85
解题时可先从反比例函数上点的坐标特征切入：第一步先设出函数图象上任意一点的坐标，利用点在函数图象上则坐标满足函数解析式，推导出该点横、纵坐标的乘积和参数k的关系；第二步分析所作矩形的边长和点的横、纵坐标绝对值的对应关系（坐标有正负，但线段长度为非负数，因此要取绝对值）；最后通过矩形面积公式计算就能得到对应的定值。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点的坐标为$(m,n)$
∵ 该点在反比例函数图象上
∴ 将$(m,n)$代入解析式可得：$n=\frac{k}{m}$，整理得$mn=k$
过该点分别向$x$轴、$y$轴作垂线，垂线段的长度分别为$|n|$、$|m|$（坐标的绝对值对应线段的长度，恒为非负）
则垂线与坐标轴围成的矩形面积$S=|m|×|n|=|mn|$
将$mn=k$代入上式可得：$S=|k|$
因此围成的矩形的面积是定值$|k|$。
【答案】
$|k|$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 点的坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，核心考查对反比例函数中参数k的几何意义的理解，牢记该结论可以大幅提升同类反比例函数面积问题的解题效率，需注意面积为非负数，因此结果要带上绝对值符号。
【难度系数】
0.85
2. 过反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这个点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
$\dfrac{1}{2}|k|$
，且保持不变。答案
2. $\dfrac{1}{2}|k|$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先设出反比例函数图象上任意一点的坐标，结合反比例函数解析式得到该点横、纵坐标的乘积关系；再根据坐标的几何意义，明确所构成直角三角形的两条直角边的长度（注意坐标有正负，边长为正需加绝对值）；最后代入三角形面积公式计算，即可得到与点位置无关的固定面积值。
【解析】
解：设反比例函数$ y=\frac{k}{x} $图象上任意一点的坐标为$ P(x,y) $。
∵点$ P $在反比例函数图象上，代入解析式得$ y=\frac{k}{x} $，即$ xy=k $。
过点$ P $向$ x $轴作垂线，垂足为$ A $，则直角三角形$ POA $的两条直角边长分别为$ OA=|x| $，$ PA=|y| $。
根据三角形面积公式：
$ S_{△ POA}=\frac{1}{2} × OA × PA=\frac{1}{2} × |x| × |y| $
将$ xy=k $代入上式得：
$ S_{△ POA}=\frac{1}{2} × |xy|=\frac{1}{2}|k| $
同理，过点$ P $向$ y $轴作垂线构成的三角形面积也为$ \frac{1}{2}|k| $，该面积不受点的位置影响，保持不变。
【答案】
$\dfrac{1}{2}|k|$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是反比例函数基础性质的推导题，核心考查反比例函数中$ k $的几何意义，该结论是解决反比例函数相关面积问题的常用依据，需熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，我们可以按以下思路推导：首先设出反比例函数图象上任意一点的坐标，结合反比例函数解析式得到该点横、纵坐标的乘积关系；再根据坐标的几何意义，明确所构成直角三角形的两条直角边的长度（注意坐标有正负，边长为正需加绝对值）；最后代入三角形面积公式计算，即可得到与点位置无关的固定面积值。
【解析】
解：设反比例函数$ y=\frac{k}{x} $图象上任意一点的坐标为$ P(x,y) $。
∵点$ P $在反比例函数图象上，代入解析式得$ y=\frac{k}{x} $，即$ xy=k $。
过点$ P $向$ x $轴作垂线，垂足为$ A $，则直角三角形$ POA $的两条直角边长分别为$ OA=|x| $，$ PA=|y| $。
根据三角形面积公式：
$ S_{△ POA}=\frac{1}{2} × OA × PA=\frac{1}{2} × |x| × |y| $
将$ xy=k $代入上式得：
$ S_{△ POA}=\frac{1}{2} × |xy|=\frac{1}{2}|k| $
同理，过点$ P $向$ y $轴作垂线构成的三角形面积也为$ \frac{1}{2}|k| $，该面积不受点的位置影响，保持不变。
【答案】
$\dfrac{1}{2}|k|$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是反比例函数基础性质的推导题，核心考查反比例函数中$ k $的几何意义，该结论是解决反比例函数相关面积问题的常用依据，需熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.75
例2 若图中各双曲线的解析式均为$y=\frac{6}{x}$，则阴影部分的面积为12的是（
解析 A，C中阴影部分的面积为6，不符合题意；
B中阴影部分的面积为3，不符合题意；
D中两个小三角形的面积和为6，正方形的面积为6，故阴影部分的面积为12，符合题意。
答案 D
D
）解析 A，C中阴影部分的面积为6，不符合题意；
B中阴影部分的面积为3，不符合题意；
D中两个小三角形的面积和为6，正方形的面积为6，故阴影部分的面积为12，符合题意。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是运用反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，若连接该点与原点，则围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。本题中$k=6$，先明确基础图形的面积，再逐个计算各选项阴影部分的总面积，对比是否等于12即可得到答案。
【解析】
已知双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$，即$k=6$，根据反比例函数$k$的几何意义逐一计算：
1. 选项A：阴影为第一象限内双曲线上点向坐标轴作垂线围成的矩形，面积$S=|k|=6$，不符合题意；
2. 选项B：阴影为直角顶点在原点、另一顶点在双曲线上的直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}|k|=3$，不符合题意；
3. 选项C：两个阴影三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|=3$，总面积$S=3+3=6$，不符合题意；
4. 选项D：两个阴影三角形的面积和为$\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=6$，第一象限的矩形面积为$|k|=6$，阴影总面积$S=6+6=12$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.反比例函数的图象
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题，重点考查k的几何意义的应用，熟练掌握双曲线上点与坐标轴围成的图形面积和k值的对应关系，就能快速完成计算求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是运用反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，若连接该点与原点，则围成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。本题中$k=6$，先明确基础图形的面积，再逐个计算各选项阴影部分的总面积，对比是否等于12即可得到答案。
【解析】
已知双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$，即$k=6$，根据反比例函数$k$的几何意义逐一计算：
1. 选项A：阴影为第一象限内双曲线上点向坐标轴作垂线围成的矩形，面积$S=|k|=6$，不符合题意；
2. 选项B：阴影为直角顶点在原点、另一顶点在双曲线上的直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}|k|=3$，不符合题意；
3. 选项C：两个阴影三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|=3$，总面积$S=3+3=6$，不符合题意；
4. 选项D：两个阴影三角形的面积和为$\frac{1}{2}|k|+\frac{1}{2}|k|=6$，第一象限的矩形面积为$|k|=6$，阴影总面积$S=6+6=12$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义 2.反比例函数的图象
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题，重点考查k的几何意义的应用，熟练掌握双曲线上点与坐标轴围成的图形面积和k值的对应关系，就能快速完成计算求解。
【难度系数】
0.7
例3 为做好校园流感防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，在喷雾阶段，教室内每立方米空气中含药量 $ y $（单位：mg）与时间 $ x $（单位：min）成正比例；喷雾完成后，$ y $ 与 $ x $ 成反比例（如图所示）。当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用，则下列说法中正确的是 （
—特别提醒
在利用图形面积确定反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的解析式时，一定要先根据图象所在象限确定 $ k $ 的正负。
—解题要点
本题考查反比例函数系数 $ k $ 的几何意义。对于反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，在图象上任取一点，过这个点向 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是 $ |k| $，掌握这一结论是解题的关键。
A.每立方米空气中含药量从6 mg上升到8 mg需要2 min
B.在含药量下降的过程中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y=\frac{30}{x} $
C.为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25 min后学生才能进入教室
D.每立方米空气中含药量不低于4 mg的持续时间为10 min
解析 设喷雾阶段函数解析式为 $ y=kx $。
由题意得 $ 8=5k $，解得 $ k=\frac{8}{5} $。
所以此阶段函数解析式为 $ y=\frac{8}{5}x $（$ 0 ≤ x ≤5 $）。
设喷雾结束后函数解析式为 $ y=\frac{m}{x} $。
由题意得 $ 8=\frac{m}{5} $，解得 $ m=40 $。所以 $ y=\frac{40}{x} $（$ x ≥5 $）。
A项，在喷雾阶段，当 $ y=8 $ 时，$ x=5 $；当 $ y=6 $ 时，$ x=3.75 $，共需要 $ 5 - 3.75=1.25 $（min），故不符合题意。
B项，在含药量的下降过程中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y=\frac{40}{x} $，故不符合题意。
C项，喷雾结束后，当 $ y=1.6 $ 时，代入 $ y=\frac{40}{x} $，解得 $ x=25 $，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后25 min学生才能进入教室，故符合题意。
D项，在喷雾阶段，当 $ y=4 $ 时，代入 $ y=\frac{8}{5}x $，解得 $ x=2.5 $。在喷雾结束后，当 $ y=4 $ 时，代入 $ y=\frac{40}{x} $，解得 $ x=10 $，所以每立方米空气中含药量不低于4 mg的持续时间为 $ 10 - 2.5=7.5 $（min），故不符合题意。
答案 C
—解题要点
此类题解题的核心是函数建模与待定系数法的应用。通过分析题意，先确定函数类型，代入已知点求解析式，再逐项验证选项。需注意分段点、自变量的取值范围，结合图象分析函数的变化趋势，确保判断与计算准确。
C
）—特别提醒
在利用图形面积确定反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的解析式时，一定要先根据图象所在象限确定 $ k $ 的正负。
—解题要点
本题考查反比例函数系数 $ k $ 的几何意义。对于反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $，在图象上任取一点，过这个点向 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是 $ |k| $，掌握这一结论是解题的关键。
A.每立方米空气中含药量从6 mg上升到8 mg需要2 min
B.在含药量下降的过程中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y=\frac{30}{x} $
C.为了确保对人体无毒害作用，消毒开始25 min后学生才能进入教室
D.每立方米空气中含药量不低于4 mg的持续时间为10 min
解析 设喷雾阶段函数解析式为 $ y=kx $。
由题意得 $ 8=5k $，解得 $ k=\frac{8}{5} $。
所以此阶段函数解析式为 $ y=\frac{8}{5}x $（$ 0 ≤ x ≤5 $）。
设喷雾结束后函数解析式为 $ y=\frac{m}{x} $。
由题意得 $ 8=\frac{m}{5} $，解得 $ m=40 $。所以 $ y=\frac{40}{x} $（$ x ≥5 $）。
A项，在喷雾阶段，当 $ y=8 $ 时，$ x=5 $；当 $ y=6 $ 时，$ x=3.75 $，共需要 $ 5 - 3.75=1.25 $（min），故不符合题意。
B项，在含药量的下降过程中，$ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式是 $ y=\frac{40}{x} $，故不符合题意。
C项，喷雾结束后，当 $ y=1.6 $ 时，代入 $ y=\frac{40}{x} $，解得 $ x=25 $，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后25 min学生才能进入教室，故符合题意。
D项，在喷雾阶段，当 $ y=4 $ 时，代入 $ y=\frac{8}{5}x $，解得 $ x=2.5 $。在喷雾结束后，当 $ y=4 $ 时，代入 $ y=\frac{40}{x} $，解得 $ x=10 $，所以每立方米空气中含药量不低于4 mg的持续时间为 $ 10 - 2.5=7.5 $（min），故不符合题意。
答案 C
—解题要点
此类题解题的核心是函数建模与待定系数法的应用。通过分析题意，先确定函数类型，代入已知点求解析式，再逐项验证选项。需注意分段点、自变量的取值范围，结合图象分析函数的变化趋势，确保判断与计算准确。
答案
C
解析
【分析】
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意确定两个阶段的函数类型，喷雾阶段是正比例函数，喷雾结束后是反比例函数，两段函数的公共交点为$(5,8)$；接着用待定系数法分别求出两段函数的解析式及对应的自变量取值范围；最后将每个选项的条件代入对应解析式计算，验证选项是否正确。
【解析】
1. 求分段函数解析式：
① 设喷雾阶段（$0≤x≤5$）的正比例函数解析式为$y=kx$，将点$(5,8)$代入得：
$8=5k$，解得$k=\frac{8}{5}$，因此该段解析式为$y=\frac{8}{5}x\ (0≤x≤5)$。
② 设喷雾结束后（$x≥5$）的反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，将点$(5,8)$代入得：
$8=\frac{m}{5}$，解得$m=40$，因此该段解析式为$y=\frac{40}{x}\ (x≥5)$。
2. 逐项验证选项：
A选项：当$y=6$时，代入$y=\frac{8}{5}x$得$x=\frac{6×5}{8}=3.75\ \mathrm{min}$，从6mg上升到8mg的时长为$5-3.75=1.25\ \mathrm{min}$，不是2min，A错误。
B选项：含药量下降阶段的解析式为$y=\frac{40}{x}$，不是$y=\frac{30}{x}$，B错误。
C选项：当$y=1.6$时，代入$y=\frac{40}{x}$得$x=\frac{40}{1.6}=25\ \mathrm{min}$，即消毒开始25min后含药量低于1.6mg，对人体无毒害，学生可进入教室，C正确。
D选项：当$y=4$时，代入正比例函数得$x=\frac{4×5}{8}=2.5\ \mathrm{min}$，代入反比例函数得$x=\frac{40}{4}=10\ \mathrm{min}$，含药量不低于4mg的持续时间为$10-2.5=7.5\ \mathrm{min}$，不是10min，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 正比例函数应用
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，解题核心是先准确求出两段函数的解析式，再结合实际需求计算对应数值，解题时需注意不同解析式对应的自变量取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.6
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题意确定两个阶段的函数类型，喷雾阶段是正比例函数，喷雾结束后是反比例函数，两段函数的公共交点为$(5,8)$；接着用待定系数法分别求出两段函数的解析式及对应的自变量取值范围；最后将每个选项的条件代入对应解析式计算，验证选项是否正确。
【解析】
1. 求分段函数解析式：
① 设喷雾阶段（$0≤x≤5$）的正比例函数解析式为$y=kx$，将点$(5,8)$代入得：
$8=5k$，解得$k=\frac{8}{5}$，因此该段解析式为$y=\frac{8}{5}x\ (0≤x≤5)$。
② 设喷雾结束后（$x≥5$）的反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，将点$(5,8)$代入得：
$8=\frac{m}{5}$，解得$m=40$，因此该段解析式为$y=\frac{40}{x}\ (x≥5)$。
2. 逐项验证选项：
A选项：当$y=6$时，代入$y=\frac{8}{5}x$得$x=\frac{6×5}{8}=3.75\ \mathrm{min}$，从6mg上升到8mg的时长为$5-3.75=1.25\ \mathrm{min}$，不是2min，A错误。
B选项：含药量下降阶段的解析式为$y=\frac{40}{x}$，不是$y=\frac{30}{x}$，B错误。
C选项：当$y=1.6$时，代入$y=\frac{40}{x}$得$x=\frac{40}{1.6}=25\ \mathrm{min}$，即消毒开始25min后含药量低于1.6mg，对人体无毒害，学生可进入教室，C正确。
D选项：当$y=4$时，代入正比例函数得$x=\frac{4×5}{8}=2.5\ \mathrm{min}$，代入反比例函数得$x=\frac{40}{4}=10\ \mathrm{min}$，含药量不低于4mg的持续时间为$10-2.5=7.5\ \mathrm{min}$，不是10min，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 正比例函数应用
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的应用，解题核心是先准确求出两段函数的解析式，再结合实际需求计算对应数值，解题时需注意不同解析式对应的自变量取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.6
