14. (1)用“＞”“＜”或“=”填空：
$\sqrt{1}$ $\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$。
(2)由(1)可知：①$|1-\sqrt{2}|=$ 。
②$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=$ 。
(3)计算：$|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{4}|+\dots+|\sqrt{2024}-\sqrt{2025}|$。
(结果保留根号)

14. 解：(1)$＜$ $＜$ (2)①$\sqrt{2}-1$ ②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(3)原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}=\sqrt{2025}-1$。

【分析】
解题思路可分三步梳理：①解决第(1)问：回忆算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根也越大，据此比较大小即可；②解决第(2)问：根据绝对值的化简规则，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，先判断绝对值内算式的正负，再去掉绝对值符号；③解决第(3)问：参考第(2)问的规律，先去掉每一项的绝对值，再观察式子特点，发现相邻项可相互抵消，最后合并剩余项得到结果。
【解析】
(1) 因为算术平方根随被开方数增大而增大，且$1＜2$，$2＜3$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{2}$，$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$。
(2) ①因为$1＜\sqrt{2}$，即$1-\sqrt{2}＜0$，所以$|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
②因为$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，即$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，所以$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(3) 按照上述绝对值化简规律，将原式每一项去绝对值可得：
原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$
观察发现$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$……$\sqrt{2024}$与$-\sqrt{2024}$均可相互抵消，最终剩余两项：
原式$=\sqrt{2025}-1$
【答案】
(1) $＜$；$＜$
(2) ①$\sqrt{2}-1$；②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{2025}-1$
【知识点】
算术平方根大小比较，绝对值化简，二次根式巧算
【点评】
本题考查基础运算与规律探究能力，解题核心是掌握绝对值的化简规则，通过观察抵消中间项可快速得到结果，是典型的规律类运算题。
【难度系数】
0.7

15. 根据下表回答下列问题：

(1)填表，并利用表中的规律，解决问题。
已知$\sqrt[3]{a}=900$，$\sqrt[3]{729}=9$，则a的值为。
(2)若a为实数，比较$\sqrt[3]{a}$与a的大小。

15. 解：(1)$\sqrt[3]{-0.000001}=-0.01$,
$\sqrt[3]{0.001}=0.1$,
$a=729\ 000\ 000$。
故答案为:$-0.01;0.1;729\ 000\ 000$。
(2)当$a＜-1$或$0＜a＜1$时,$\sqrt[3]{a}＞a$;
当$-1＜a＜0$或$a＞1$时,$\sqrt[3]{a}＜a$;
当$a=\pm1$或$a=0$时,$\sqrt[3]{a}=a$。

【分析】
(1) 首先根据立方根的定义计算表格中缺失的数值，总结得到立方根的变化规律：被开方数的小数点每向左/右移动3位，对应的立方根小数点就同向移动1位。已知$\sqrt[3]{729}=9$，$\sqrt[3]{a}=900$，立方根从9变为900小数点右移了2位，因此被开方数的小数点需要向右移动$2×3=6$位，即可求出$a$的值。
(2) 比较$\sqrt[3]{a}$和$a$的大小时，以特殊值$a=-1$、$a=0$、$a=1$为分界点，分区间通过举例验证或者直接推导即可得到两者的大小关系。
【解析】
(1) 计算表格空白处：
$\because (-0.01)^3=-0.000001$，$\therefore \sqrt[3]{-0.000001}=-0.01$；
$\because 0.1^3=0.001$，$\therefore \sqrt[3]{0.001}=0.1$；
根据立方根变化规律：立方根小数点右移$n$位，被开方数小数点右移$3n$位。立方根从9变为900小数点右移2位，因此729的小数点右移6位，得$a=729000000$。
(2) 分情况讨论：
① 当$a＜-1$时，举例$a=-8$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$-2＞-8$，故$\sqrt[3]{a}＞a$；
② 当$a=-1$时，$\sqrt[3]{-1}=-1$，故$\sqrt[3]{a}=a$；
③ 当$-1＜a＜0$时，举例$a=-0.125$，$\sqrt[3]{-0.125}=-0.5$，$-0.5＜-0.125$，故$\sqrt[3]{a}＜a$；
④ 当$a=0$时，$\sqrt[3]{0}=0$，故$\sqrt[3]{a}=a$；
⑤ 当$0＜a＜1$时，举例$a=0.001$，$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，$0.1＞0.001$，故$\sqrt[3]{a}＞a$；
⑥ 当$a=1$时，$\sqrt[3]{1}=1$，故$\sqrt[3]{a}=a$；
⑦ 当$a＞1$时，举例$a=8$，$\sqrt[3]{8}=2$，$2＜8$，故$\sqrt[3]{a}＜a$。
整理后得到最终大小关系。
【答案】
(1) 表格依次填$\boldsymbol{-0.01}$；$\boldsymbol{0.1}$；$a$的值为$\boldsymbol{729000000}$
(2) 当$a＜-1$或$0＜a＜1$时，$\sqrt[3]{a}＞a$；当$-1＜a＜0$或$a＞1$时，$\sqrt[3]{a}＜a$；当$a=\pm1$或$a=0$时，$\sqrt[3]{a}=a$。
【知识点】
立方根的计算；立方根的性质；实数大小比较
【点评】
本题围绕立方根的性质展开考查，第一问需要熟练掌握被开方数和立方根的小数点移动规律，第二问需要做到分类讨论不重不漏，对学生的逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.65