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三、解答题(共35分)
14. (8分)按下列要求,给多项式$3x^3 -5x^2 -3x +4$添括号:
(1)把多项式后三项括起来,括号前面带有“+”号;
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面带有“-”号;
(3)把多项式后三项括起来,括号前面带有“-”号;
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面带有“-”号。
14. (8分)按下列要求,给多项式$3x^3 -5x^2 -3x +4$添括号:
(1)把多项式后三项括起来,括号前面带有“+”号;
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面带有“-”号;
(3)把多项式后三项括起来,括号前面带有“-”号;
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面带有“-”号。
答案
14. 解:(1)把多项式后三项括起来,括号前面带有“+”号,是 $3x^3+(-5x^2-3x+4)$。
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面带“-”号,是 $-(-3x^3+5x^2)-3x+4$。
(3)把多项式后三项括起来,括号前面带有“-”号,是 $3x^3-(5x^2+3x-4)$。
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面带有“-”号,是 $3x^3-(5x^2+3x)+4$。
(2)把多项式的前两项括起来,括号前面带“-”号,是 $-(-3x^3+5x^2)-3x+4$。
(3)把多项式后三项括起来,括号前面带有“-”号,是 $3x^3-(5x^2+3x-4)$。
(4)把多项式中间的两项括起来,括号前面带有“-”号,是 $3x^3-(5x^2+3x)+4$。
解析
【分析】
解题的核心依据是添括号法则：添括号时，若括号前是“+”号，括到括号内的各项符号都不改变；若括号前是“-”号，括到括号内的各项符号都要改变。解题时先明确每一问要求括起来的是哪几项，再根据括号前的符号判断括号内各项是否变号，最后写出变形后的式子即可。
【解析】
(1) 需括入的后三项为$-5x^2$、$-3x$、$+4$，括号前带“+”号，括号内各项符号不变，因此原式变形为：
$3x^3 + (-5x^2 -3x +4)$
(2) 需括入的前两项为$3x^3$、$-5x^2$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$3x^3$变为$-3x^3$，$-5x^2$变为$+5x^2$，剩余项$-3x+4$保持不变，因此原式变形为：
$-(-3x^3 +5x^2) -3x +4$
(3) 需括入的后三项为$-5x^2$、$-3x$、$+4$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$-5x^2$变为$+5x^2$，$-3x$变为$+3x$，$+4$变为$-4$，因此原式变形为：
$3x^3 - (5x^2 +3x -4)$
(4) 需括入的中间两项为$-5x^2$、$-3x$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$-5x^2$变为$+5x^2$，$-3x$变为$+3x$，剩余项$3x^3$和$+4$保持不变，因此原式变形为：
$3x^3 - (5x^2 +3x) +4$
【答案】
(1) $3x^3+(-5x^2-3x+4)$
(2) $-(-3x^3+5x^2)-3x+4$
(3) $3x^3-(5x^2+3x-4)$
(4) $3x^3-(5x^2+3x)+4$
【知识点】
添括号法则，多项式的项识别
【点评】
本题是添括号法则的基础应用，解题关键是准确识别需要括入括号的项，尤其注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免出现仅改变第一项符号的错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是添括号法则：添括号时，若括号前是“+”号，括到括号内的各项符号都不改变；若括号前是“-”号，括到括号内的各项符号都要改变。解题时先明确每一问要求括起来的是哪几项，再根据括号前的符号判断括号内各项是否变号，最后写出变形后的式子即可。
【解析】
(1) 需括入的后三项为$-5x^2$、$-3x$、$+4$，括号前带“+”号，括号内各项符号不变，因此原式变形为：
$3x^3 + (-5x^2 -3x +4)$
(2) 需括入的前两项为$3x^3$、$-5x^2$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$3x^3$变为$-3x^3$，$-5x^2$变为$+5x^2$，剩余项$-3x+4$保持不变，因此原式变形为：
$-(-3x^3 +5x^2) -3x +4$
(3) 需括入的后三项为$-5x^2$、$-3x$、$+4$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$-5x^2$变为$+5x^2$，$-3x$变为$+3x$，$+4$变为$-4$，因此原式变形为：
$3x^3 - (5x^2 +3x -4)$
(4) 需括入的中间两项为$-5x^2$、$-3x$，括号前带“-”号，括号内各项都要变号，$-5x^2$变为$+5x^2$，$-3x$变为$+3x$，剩余项$3x^3$和$+4$保持不变，因此原式变形为：
$3x^3 - (5x^2 +3x) +4$
【答案】
(1) $3x^3+(-5x^2-3x+4)$
(2) $-(-3x^3+5x^2)-3x+4$
(3) $3x^3-(5x^2+3x-4)$
(4) $3x^3-(5x^2+3x)+4$
【知识点】
添括号法则，多项式的项识别
【点评】
本题是添括号法则的基础应用，解题关键是准确识别需要括入括号的项，尤其注意括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，避免出现仅改变第一项符号的错误。
【难度系数】
0.8
15. (6分)合并同类项：
(1)$y^2 - 2xy - 3y^2 + 3xy$。
(2)$5(2a^2b + ab^2) - 2(3ab^2 - a^2b)$。
(1)$y^2 - 2xy - 3y^2 + 3xy$。
(2)$5(2a^2b + ab^2) - 2(3ab^2 - a^2b)$。
答案
15. 解:(1)$y^2-2xy-3y^2+3xy$
$=(1-3)y^2+(-2+3)xy$
$=-2y^2+xy$。
(2)$5(2a^2b+ab^2)-2(3ab^2-a^2b)$
$=10a^2b+5ab^2-6ab^2+2a^2b$
$=12a^2b-ab^2$。
$=(1-3)y^2+(-2+3)xy$
$=-2y^2+xy$。
(2)$5(2a^2b+ab^2)-2(3ab^2-a^2b)$
$=10a^2b+5ab^2-6ab^2+2a^2b$
$=12a^2b-ab^2$。
解析
【分析】
解决合并同类项类题目，遵循“先去括号，再合并同类项”的思路即可：①若式子含有括号，先去括号：括号前的系数要乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②识别同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也对应相同的项为同类项；③合并同类项：仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
本题(1)无括号，可直接找同类项合并；(2)有括号，先去括号再合并即可。
【解析】
(1) 对$y^2 - 2xy - 3y^2 + 3xy$合并同类项：
将同类项的系数分别相加，得
$\begin{aligned}原式&=(1-3)y^2 + (-2+3)xy\\&=-2y^2 + xy\end{aligned}$
(2) 对$5(2a^2b + ab^2) - 2(3ab^2 - a^2b)$计算：
第一步先去括号，注意系数乘遍每一项、符号变化：
$\begin{aligned}原式&=10a^2b +5ab^2 -6ab^2 +2a^2b\end{aligned}$
第二步合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(10+2)a^2b + (5-6)ab^2\\&=12a^2b - ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2y^2 + xy}$；(2) $\boldsymbol{12a^2b - ab^2}$
【知识点】
合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查去括号规则和合并同类项的方法，解题时需注意避免去括号时漏乘、符号错误，以及合并同类项时随意改变字母指数的常见误区。
【难度系数】
0.8
解决合并同类项类题目，遵循“先去括号，再合并同类项”的思路即可：①若式子含有括号，先去括号：括号前的系数要乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；②识别同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也对应相同的项为同类项；③合并同类项：仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
本题(1)无括号，可直接找同类项合并；(2)有括号，先去括号再合并即可。
【解析】
(1) 对$y^2 - 2xy - 3y^2 + 3xy$合并同类项：
将同类项的系数分别相加，得
$\begin{aligned}原式&=(1-3)y^2 + (-2+3)xy\\&=-2y^2 + xy\end{aligned}$
(2) 对$5(2a^2b + ab^2) - 2(3ab^2 - a^2b)$计算：
第一步先去括号，注意系数乘遍每一项、符号变化：
$\begin{aligned}原式&=10a^2b +5ab^2 -6ab^2 +2a^2b\end{aligned}$
第二步合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(10+2)a^2b + (5-6)ab^2\\&=12a^2b - ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2y^2 + xy}$；(2) $\boldsymbol{12a^2b - ab^2}$
【知识点】
合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，核心考查去括号规则和合并同类项的方法，解题时需注意避免去括号时漏乘、符号错误，以及合并同类项时随意改变字母指数的常见误区。
【难度系数】
0.8
16. (9分)已知两个多项式A和B。其中$A=3a^2b - 2ab^2$,小马在计算$2A - B$的值时不小心将$2A - B$错看成$2A + B$,得到的结果是$4a^2b - 3ab^2$。
(1)求多项式B。
(2)请帮他求出$2A - B$的正确答案。
(1)求多项式B。
(2)请帮他求出$2A - B$的正确答案。
答案
16. 解:(1)依题意得 $2A+B=2(3a^2b-2ab^2)+B=4a^2b-3ab^2$，
所以 $B=4a^2b-3ab^2-2(3a^2b-2ab^2)$
$=4a^2b-3ab^2-6a^2b+4ab^2$
$=-2a^2b+ab^2$。
(2)$2A-B$
$=2(3a^2b-2ab^2)-(-2a^2b+ab^2)$
$=6a^2b-4ab^2+2a^2b-ab^2$
$=8a^2b-5ab^2$。
所以 $B=4a^2b-3ab^2-2(3a^2b-2ab^2)$
$=4a^2b-3ab^2-6a^2b+4ab^2$
$=-2a^2b+ab^2$。
(2)$2A-B$
$=2(3a^2b-2ab^2)-(-2a^2b+ab^2)$
$=6a^2b-4ab^2+2a^2b-ab^2$
$=8a^2b-5ab^2$。
解析
【分析】
本题可根据看错的运算算式反推未知多项式B，再代入正确算式计算结果。
(1) 已知小马误算的是2A+B，且得到的结果和A的表达式均已知，因此可以通过移项得到B=错误运算结果-2A，代入A的表达式化简即可求出B；
(2) 求出B后，将A和B的表达式代入2A-B，按照去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到正确结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 依题意可知：$2A+B=4a^2b - 3ab^2$，已知$A=3a^2b - 2ab^2$，因此：
$B=4a^2b - 3ab^2 - 2A$
$=4a^2b - 3ab^2 - 2(3a^2b - 2ab^2)$
$=4a^2b - 3ab^2 - 6a^2b + 4ab^2$
$=-2a^2b + ab^2$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2$、$B=-2a^2b + ab^2$代入$2A-B$得：
$2A-B=2(3a^2b - 2ab^2) - (-2a^2b + ab^2)$
$=6a^2b - 4ab^2 + 2a^2b - ab^2$
$=8a^2b - 5ab^2$
【答案】
(1) $B=-2a^2b + ab^2$；(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$
【知识点】
整式的加减运算；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的常规应用题型，解题核心是利用错误的运算关系建立等式求出未知多项式，运算过程中需格外注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项规则是准确解题的基础。
【难度系数】
0.75
本题可根据看错的运算算式反推未知多项式B，再代入正确算式计算结果。
(1) 已知小马误算的是2A+B，且得到的结果和A的表达式均已知，因此可以通过移项得到B=错误运算结果-2A，代入A的表达式化简即可求出B；
(2) 求出B后，将A和B的表达式代入2A-B，按照去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到正确结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 依题意可知：$2A+B=4a^2b - 3ab^2$，已知$A=3a^2b - 2ab^2$，因此：
$B=4a^2b - 3ab^2 - 2A$
$=4a^2b - 3ab^2 - 2(3a^2b - 2ab^2)$
$=4a^2b - 3ab^2 - 6a^2b + 4ab^2$
$=-2a^2b + ab^2$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2$、$B=-2a^2b + ab^2$代入$2A-B$得：
$2A-B=2(3a^2b - 2ab^2) - (-2a^2b + ab^2)$
$=6a^2b - 4ab^2 + 2a^2b - ab^2$
$=8a^2b - 5ab^2$
【答案】
(1) $B=-2a^2b + ab^2$；(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$
【知识点】
整式的加减运算；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的常规应用题型，解题核心是利用错误的运算关系建立等式求出未知多项式，运算过程中需格外注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项规则是准确解题的基础。
【难度系数】
0.75
17. (12分)为了满足市场需求,某厂家生产A,B两种款式的布质环保购物袋,每天共生产3000个,两种购物袋的成本和售价如下表。设每天生产A种购物袋x个。
(1)用含x的整式表示每天的生产成本,并进行化简。
(2)用含x的整式表示每天获得的利润,并进行化简。(利润=售价-成本)
(3)当x=1000时,求每天的生产成本与每天获得的利润。
(1)用含x的整式表示每天的生产成本,并进行化简。
(2)用含x的整式表示每天获得的利润,并进行化简。(利润=售价-成本)
(3)当x=1000时,求每天的生产成本与每天获得的利润。
答案
17. 解:(1)$3x+4(3 000-x)=-x+12 000$，
即每天的生产成本为$(-x+12 000)$元。
(2)$(3.5-3)x+(4.8-4)×(3 000-x)$
$=-0.3x+2 400$，
即每天获得的利润为$(-0.3x+2 400)$元。
(3)当 $x=1 000$ 时，
每天的生产成本为$-x+12 000=11 000$(元)，
每天获得的利润为$-0.3x+2 400=-0.3×1 000+2 400=2 100$(元)。
答:每天的生产成本与每天获得的利润分别是11 000元,2 100元。
即每天的生产成本为$(-x+12 000)$元。
(2)$(3.5-3)x+(4.8-4)×(3 000-x)$
$=-0.3x+2 400$，
即每天获得的利润为$(-0.3x+2 400)$元。
(3)当 $x=1 000$ 时，
每天的生产成本为$-x+12 000=11 000$(元)，
每天获得的利润为$-0.3x+2 400=-0.3×1 000+2 400=2 100$(元)。
答:每天的生产成本与每天获得的利润分别是11 000元,2 100元。
解析
【分析】
解题时先梳理数量关系：每天共生产3000个购物袋，A款生产x个，则B款生产(3000-x)个。
(1) 生产成本为A、B两款成本之和，分别计算两款总成本后相加，再合并同类项化简即可；
(2) 总利润为两款利润之和，先算出单款的单个利润，再乘以对应生产数量求和，最后化简式子；
(3) 将x=1000分别代入前两问得到的化简后代数式，计算出对应数值即可。
【解析】
(1) A款x个的成本为3x元，B款(3000-x)个的成本为4(3000-x)元，总生产成本为：
$\begin{aligned}&3x+4(3000-x)\\=&3x+12000-4x\\=&-x+12000\end{aligned}$
(2) A款单个利润为(3.5-3)元，B款单个利润为(4.8-4)元，总利润为：
$\begin{aligned}&(3.5-3)x+(4.8-4)(3000-x)\\=&0.5x+0.8(3000-x)\\=&0.5x+2400-0.8x\\=&-0.3x+2400\end{aligned}$
(3) 当x=1000时：
生产成本：$-x+12000=-1000+12000=11000$（元）
总利润：$-0.3x+2400=-0.3×1000+2400=2100$（元）
【答案】
(1) 每天的生产成本为$\boldsymbol{(-x+12000)}$元；
(2) 每天获得的利润为$\boldsymbol{(-0.3x+2400)}$元；
(3) 当x=1000时，每天的生产成本是11000元，每天获得的利润是2100元。
【知识点】
列代数式；整式化简；代数式求值
【点评】
本题结合实际生产场景出题，需要准确梳理成本、售价、利润、数量之间的对应关系，核心考查整式的加减运算和代入求值的能力，解题时注意运算符号的正确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理数量关系：每天共生产3000个购物袋，A款生产x个，则B款生产(3000-x)个。
(1) 生产成本为A、B两款成本之和，分别计算两款总成本后相加，再合并同类项化简即可；
(2) 总利润为两款利润之和，先算出单款的单个利润，再乘以对应生产数量求和，最后化简式子；
(3) 将x=1000分别代入前两问得到的化简后代数式，计算出对应数值即可。
【解析】
(1) A款x个的成本为3x元，B款(3000-x)个的成本为4(3000-x)元，总生产成本为：
$\begin{aligned}&3x+4(3000-x)\\=&3x+12000-4x\\=&-x+12000\end{aligned}$
(2) A款单个利润为(3.5-3)元，B款单个利润为(4.8-4)元，总利润为：
$\begin{aligned}&(3.5-3)x+(4.8-4)(3000-x)\\=&0.5x+0.8(3000-x)\\=&0.5x+2400-0.8x\\=&-0.3x+2400\end{aligned}$
(3) 当x=1000时：
生产成本：$-x+12000=-1000+12000=11000$（元）
总利润：$-0.3x+2400=-0.3×1000+2400=2100$（元）
【答案】
(1) 每天的生产成本为$\boldsymbol{(-x+12000)}$元；
(2) 每天获得的利润为$\boldsymbol{(-0.3x+2400)}$元；
(3) 当x=1000时，每天的生产成本是11000元，每天获得的利润是2100元。
【知识点】
列代数式；整式化简；代数式求值
【点评】
本题结合实际生产场景出题，需要准确梳理成本、售价、利润、数量之间的对应关系，核心考查整式的加减运算和代入求值的能力，解题时注意运算符号的正确性即可。
【难度系数】
0.8
