1. 如图，甲楼AB上有一高为6.5 m的旗杆CA，从D处观测旗杆顶部C的仰角为48°，观测旗杆底部A的仰角为45°，则甲楼AB的高度为.(结果精确到1 m.参考数据：$\sin 48° \approx 0.74$，$\cos 48° \approx 0.67$，$\tan 48° \approx 1.11$)

1 59 m 在Rt△ABD 中, $∠ADB = 45°$, 则 $AB = BD$. 设 $AB = BD = x$ m, 则 $CB = (x + 6.5)\mathrm{m}$. 在Rt△CBD中, $\tan∠CDB = \dfrac{CB}{BD} = \dfrac{x + 6.5}{x}$, 则 $x + 6.5 = x · \tan 48°$, 解得 $x\approx59$. 故甲楼 AB 的高度约为 59 m.

【分析】
首先观察图形，存在共直角边BD的两个直角三角形Rt△ABD和Rt△CBD。先从特殊角入手：Rt△ABD中仰角为45°，可推出该三角形为等腰直角三角形，得到AB=BD的等量关系，这是解题的突破口。我们设AB的高度为x m，则BD也为x m，结合旗杆高度可表示出CB的长度，再在Rt△CBD中利用48°仰角的正切值列出关于x的方程，解方程即可求出AB的高度。
【解析】
设甲楼AB的高度为x m。
在Rt△ABD中，$∠ B=90°$，$∠ ADB=45°$，
$\therefore ∠ DAB=∠ ADB=45°$，即$AB=BD=x$ m。
$\because$ 旗杆$CA=6.5$ m，
$\therefore CB=CA+AB=(x+6.5)$ m。
在Rt△CBD中，$∠ B=90°$，$∠ CDB=48°$，
根据正切函数的定义得：$\tan∠ CDB=\frac{CB}{BD}$，
代入数据：$\tan48°=\frac{x+6.5}{x}$，
又$\tan48°\approx1.11$，因此：
$1.11x=x+6.5$
$0.11x=6.5$
$x=\frac{6.5}{0.11}\approx59$
【答案】
59 m
【知识点】
解直角三角形的应用、正切的应用、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是仰角类解直角三角形的典型题，核心是利用两个直角三角形的公共边建立等量关系，结合特殊角性质和锐角三角函数列方程求解，计算时注意按要求保留近似值。
【难度系数】
0.7

2. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB.测量方案如图所示:先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数,大楼底部点A的俯角∠2的度数.然后在点C正下方点D处,测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1 = 45°, ∠2 = 52°, ∠3 = 65°, CD = 10 m,求大楼的高度AB.(精确到1 m,参考数据:$\sin 52° \approx 0.8$, $\cos 52° \approx 0.6$, $\tan 52° \approx 1.3$, $\sin 65° \approx 0.9$, $\cos 65° \approx 0.4$, $\tan 65° \approx 2.1$)

2 解:如图,过点 C 作 $CG⊥AB$ 于点 G,过点 D 作 $DH⊥AB$ 于点 H, 则四边形 CDHG 是矩形,
∴ $GH = CD = 10$ m, $CG = DH$.
∵ $∠1 = 45°$,
∴ $CG = BG$.
在Rt△ACG 中, $\tan∠2 = \dfrac{AG}{CG}$,
∴ $CG = \dfrac{AG}{\tan∠2} = \dfrac{AG}{\tan 52°} = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°}$,
∴ $BG = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°}$,
∴ $BH = BG + GH = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°} + 10$,
在Rt△BDH 中, $\tan∠3 = \dfrac{BH}{DH} = \dfrac{\dfrac{AH + 10}{\tan 52°} + 10}{\dfrac{AH + 10}{\tan 52°}}$,
∴ $\dfrac{\dfrac{AH + 10}{1.3} + 10}{\dfrac{AH + 10}{1.3}} \approx 2.1$,
∴ $AH\approx1.8$ m,
∴ $BG\approx9.1$ m,
∴ $AB = AH + GH + BG \approx 1.8 + 10 + 9.1 \approx 21(\mathrm{m})$.
答:大楼的高度 AB 约为 21 m.

【分析】
本题是仰角俯角背景下的解直角三角形实际应用题。解题时首先要根据仰角、俯角的定义，过观测点作垂直于大楼高度的辅助线，构造直角三角形和矩形，将已知的竖直距离CD转化为矩形的边，得到水平距离$CG=DH$、竖直边$GH=CD$；再结合45°角的等腰直角三角形性质得到$CG=BG$，利用两个直角三角形中的锐角三角函数关系，用同一个未知数表示各相关边的长度，建立方程求解未知量，最后将各段竖直长度相加即可得到大楼高度AB。
【解析】
解：如图，过点C作$CG⊥AB$于点G，过点D作$DH⊥AB$于点H，则四边形CDHG是矩形，
∴ $GH = CD = 10\ \mathrm{m}$，$CG = DH$。
∵ $∠1 = 45°$，$△ BCG$为等腰直角三角形，
∴ $CG = BG$。
在$Rt△ ACG$中，$\tan∠2 = \dfrac{AG}{CG}$，$AG = AH + GH = AH + 10$，
∴ $CG = \dfrac{AG}{\tan∠2} = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°}$，
∴ $BG = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°}$，
∴ $BH = BG + GH = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°} + 10$，
在$Rt△ BDH$中，$\tan∠3 = \dfrac{BH}{DH}$，又$DH = CG = \dfrac{AH + 10}{\tan 52°}$，代入得：
$\tan65° = \dfrac{\dfrac{AH + 10}{\tan 52°} + 10}{\dfrac{AH + 10}{\tan 52°}}$，
代入参考数据$\tan 52° \approx 1.3$，$\tan 65° \approx 2.1$，得：
$\dfrac{\dfrac{AH + 10}{1.3} + 10}{\dfrac{AH + 10}{1.3}} \approx 2.1$，
解得$AH\approx1.8\ \mathrm{m}$，
∴ $BG\approx\dfrac{1.8 + 10}{1.3} \approx 9.1\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AH + GH + BG \approx 1.8 + 10 + 9.1 \approx 21(\mathrm{m})$。

【答案】
大楼的高度AB约为21 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，实现已知条件的转化，结合三角函数建立方程求解，侧重考查学生将实际问题转化为几何问题的能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

3. [2025滨州中考]【活动背景】
如图,建筑物AC,BD的高度不可直接测量.
为测量建筑物AC,BD的高度,技术员小李用皮尺测得A,B之间的水平距离为150 m,用测角仪在C处测得D点的俯角为$35°$,测得B点的俯角为$43°$.
【问题解决】
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC,BD的高度(结果保留整数);(参考数据:$\sin 35° \approx 0.57, \cos 35° \approx 0.82, \tan 35° \approx 0.70, \sin 43° \approx 0.68, \cos 43° \approx 0.73, \tan 43° \approx 0.93$)
(2)请再设计一种测量建筑物AC,BD高度的方案(建筑物的宽度忽略不计),画出平面示意图,把应测数据在示意图中用字母标记出来,并用含字母的式子表示出建筑物AC,BD的高度.(可提供的测量工具:皮尺、测角仪)

3 解:(1)如图1,延长 BD 交过点 C 的水平线于点 E, 则四边形 ABEC 为矩形,
∴ $CE = AB = 150$ m, $BE = AC$.
在Rt△CDE 中, $\tan∠DCE = \dfrac{DE}{CE}$,
∴ $DE = 150 × \tan 35° \approx 150 × 0.70 = 105(\mathrm{m})$.
在Rt△BCE 中, $\tan∠BCE = \dfrac{BE}{CE}$,
∴ $BE = 150 × \tan 43° \approx 150 × 0.93 \approx 140(\mathrm{m})$,
∴ $AC = BE = 140$ m, $BD = BE - DE = 140 - 105 = 35(\mathrm{m})$.
答:建筑物 AC 的高度约为 140 m, 建筑物 BD 的高度约为 35 m.

(2)为测量建筑物 AC,BD 的高度, 用皮尺测得 A,B 之间的水平距离为 a m, 用测角仪在 D 处测得点 A 处的俯角为 α, 测得点 C 处的仰角为 β.
如图2, 过点 D 的水平线交 AC 于点 E,
则 $DE = AB = a$ m, $BD = AE$.
在Rt△ADE 中, $\tan∠ADE = \dfrac{AE}{DE}$,
∴ $AE = a\tanα$ m,
∴ $BD = AE = a\tanα$ m.
在Rt△DEC 中, $\tan∠CDE = \dfrac{CE}{DE}$,
∴ $CE = a\tanβ$ m,
∴ $AC = AE + CE = a(\tanα + \tanβ)\mathrm{m}$.
答:建筑物 AC,BD 的高度分别为 $a(\tanα + \tanβ)\mathrm{m}, a\tanα$ m.

【分析】
(1) 要求AC、BD的高度，已知AB的水平距离和两个俯角，需构造直角三角形结合三角函数求解：过点C作水平线交BD延长线于点E，可得四边形ABEC是矩形，因此CE=AB=150m，且BE=AC。分别在Rt△CDE和Rt△BCE中利用正切函数求出DE、BE的长度，BE即为AC的高度，再用BE减去DE即可得到BD的高度。
(2) 设计测量方案时，可利用测角仪在一个建筑物顶端测量另一个建筑物顶端、底端的仰角、俯角，配合皮尺测得的水平距离，通过构造直角三角形，结合三角函数即可表示出两个建筑物的高度，方案合理即可。
【解析】
(1) 如图1，延长BD交过点C的水平线于点E，则四边形ABEC为矩形，
∴ $CE = AB = 150\ \mathrm{m}$，$BE = AC$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ DCE=35°$，$\tan∠ DCE = \dfrac{DE}{CE}$，
∴ $DE = CE·\tan35° \approx 150× 0.70 = 105(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$∠ BCE=43°$，$\tan∠ BCE = \dfrac{BE}{CE}$，
∴ $BE = CE·\tan43° \approx 150× 0.93 \approx 140(\mathrm{m})$，
∴ $AC = BE = 140\ \mathrm{m}$，$BD = BE - DE = 140 - 105 = 35(\mathrm{m})$。
(2) 示例方案：用皮尺测得A、B之间的水平距离为$a\ \mathrm{m}$，用测角仪在D处测得点A处的俯角为$α$，测得点C处的仰角为$β$。
如图2，过点D的水平线交AC于点E，则四边形ABDE为矩形，
∴ $DE = AB = a\ \mathrm{m}$，$BD = AE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\tan∠ ADE = \dfrac{AE}{DE}$，
∴ $AE = a\tanα\ \mathrm{m}$，即$BD = AE = a\tanα\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$\tan∠ CDE = \dfrac{CE}{DE}$，
∴ $CE = a\tanβ\ \mathrm{m}$，
∴ $AC = AE + CE = a(\tanα + \tanβ)\ \mathrm{m}$。
（方案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 建筑物AC的高度约为140 m，建筑物BD的高度约为35 m。

(2) 示例方案中AC的高度为$a(\tanα + \tanβ)\ \mathrm{m}$，BD的高度为$a\tanα\ \mathrm{m}$（方案合理即可）。

【知识点】
解直角三角形的应用；仰角俯角的概念；矩形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题中的长度、角度关系转化为直角三角形的边角关系求解，第二问为开放类问题，方案可操作、逻辑正确即可得分。
【难度系数】
0.7