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1. ★★(重庆中考)如图，AB为$\odot O$的直径，直线CD与$\odot O$相切于点C，连接AC，若$∠ ACD = 50°$，则$∠ BAC$的度数为 (
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
(第1题) (第2题)
B
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
(第1题) (第2题)
答案
1. B 解析:连接 OC,
∵ 直线 CD 与$ \odot O $相切于点 C,
∴ ∠OCD=90°.
∵ ∠ACD = 50°,
∴ ∠ACO = 90°-50° = 40°.
∵ OC=OA,
∴ ∠BAC=∠ACO=40°.故选 B.
∵ 直线 CD 与$ \odot O $相切于点 C,
∴ ∠OCD=90°.
∵ ∠ACD = 50°,
∴ ∠ACO = 90°-50° = 40°.
∵ OC=OA,
∴ ∠BAC=∠ACO=40°.故选 B.
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路推导：首先看到直线与圆相切的条件，优先联想到切线的性质——切线垂直于过切点的半径，因此作辅助线连接圆心O和切点C，即可得到直角∠OCD；再结合已知的∠ACD=50°，用直角减去∠ACD就能求出∠ACO的度数；最后根据同圆半径相等，可得OC=OA，△OAC是等腰三角形，利用等边对等角的性质，就能得到∠BAC与∠ACO相等，进而求出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ ACO=∠ OCD - ∠ ACD=90° - 50°=40°$，
又
∵ OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OA$，
∴ $∠ BAC=∠ ACO=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点构造垂直关系，再结合等腰三角形的性质即可快速求解，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路推导：首先看到直线与圆相切的条件，优先联想到切线的性质——切线垂直于过切点的半径，因此作辅助线连接圆心O和切点C，即可得到直角∠OCD；再结合已知的∠ACD=50°，用直角减去∠ACD就能求出∠ACO的度数；最后根据同圆半径相等，可得OC=OA，△OAC是等腰三角形，利用等边对等角的性质，就能得到∠BAC与∠ACO相等，进而求出∠BAC的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线CD与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ CD$，即$∠ OCD=90°$，
∵ $∠ ACD=50°$，
∴ $∠ ACO=∠ OCD - ∠ ACD=90° - 50°=40°$，
又
∵ OC、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OA$，
∴ $∠ BAC=∠ ACO=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点构造垂直关系，再结合等腰三角形的性质即可快速求解，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
2. ★★(2024·福建中考)如图,已知点A,B在$\odot O$上,$∠ AOB=72°$,直线MN与$\odot O$相切,切点为C,且为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$等于(
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
A
)A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
答案
2. A 解析:
∵ $∠AOB=72°$,C 为 $\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $∠AOC=36°$.
∵ OA=OC,
∴ $∠OCA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°.∵$ 直线 MN 与$\odot O$相切,
∴ $∠OCM=90°,∴ ∠ACM=∠OCM-∠OCA=18°$.故选 A.
∵ $∠AOB=72°$,C 为 $\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $∠AOC=36°$.
∵ OA=OC,
∴ $∠OCA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°.∵$ 直线 MN 与$\odot O$相切,
∴ $∠OCM=90°,∴ ∠ACM=∠OCM-∠OCA=18°$.故选 A.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤推导：首先根据弧中点的性质，可知弧AB被点C平分，对应的圆心角∠AOC是∠AOB的一半，求出∠AOC的度数；其次OA、OC都是圆的半径，长度相等，△OAC为等腰三角形，结合三角形内角和可算出底角∠OCA的度数；再根据切线的性质，过切点的半径垂直于切线，得到OC⊥MN，即∠OCM=90°；最后用∠OCM减去∠OCA即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB=72°，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=36°$。
∵OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴△OAC是等腰三角形，
∴$∠ OCA=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOC)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵直线MN与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥MN（圆的切线垂直于过切点的半径），即$∠ OCM=90°$。
∴$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；弧中点的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的相关性质和三角形内角和、等腰三角形性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础性质，逐步推导角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤推导：首先根据弧中点的性质，可知弧AB被点C平分，对应的圆心角∠AOC是∠AOB的一半，求出∠AOC的度数；其次OA、OC都是圆的半径，长度相等，△OAC为等腰三角形，结合三角形内角和可算出底角∠OCA的度数；再根据切线的性质，过切点的半径垂直于切线，得到OC⊥MN，即∠OCM=90°；最后用∠OCM减去∠OCA即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB=72°，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=36°$。
∵OA=OC（都是$\odot O$的半径），
∴△OAC是等腰三角形，
∴$∠ OCA=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOC)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$。
∵直线MN与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥MN（圆的切线垂直于过切点的半径），即$∠ OCM=90°$。
∴$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；弧中点的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的相关性质和三角形内角和、等腰三角形性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础性质，逐步推导角度，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. ★★（黑龙江中考）
，AB是$\odot O$的直径，PA切$\odot O$于点A，PO交$\odot O$于点C，连接BC，若$∠ B = 28°$，则$∠ P$ =
，AB是$\odot O$的直径，PA切$\odot O$于点A，PO交$\odot O$于点C，连接BC，若$∠ B = 28°$，则$∠ P$ = 34
°。答案
3. 34 解析:
∵ PA 切 $\odot O$ 于点 A,
∴ $∠OAP=90°.∵ ∠B= 28°,∴ ∠AOC=2∠B=56°,∴ ∠P=90°-∠AOC=34°.$
∵ PA 切 $\odot O$ 于点 A,
∴ $∠OAP=90°.∵ ∠B= 28°,∴ ∠AOC=2∠B=56°,∴ ∠P=90°-∠AOC=34°.$
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP为直角；其次观察到∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数；最后在直角三角形OAP中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠P的度数。
【解析】
∵ PA切$\odot O$于点A，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠OAP=90°$，
∵ $∠B$是弧AC所对的圆周角，$∠AOC$是弧AC所对的圆心角，
∴ $∠AOC=2∠B=2×28°=56°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠P=90°-∠AOC=90°-56°=34°$。
【答案】
34
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，将切线性质、圆周角定理和直角三角形角度性质结合考查，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，结合切线的垂直性质建立角度关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP为直角；其次观察到∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数；最后在直角三角形OAP中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠P的度数。
【解析】
∵ PA切$\odot O$于点A，
∴ $OA⊥ PA$，即$∠OAP=90°$，
∵ $∠B$是弧AC所对的圆周角，$∠AOC$是弧AC所对的圆心角，
∴ $∠AOC=2∠B=2×28°=56°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠P=90°-∠AOC=90°-56°=34°$。
【答案】
34
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，将切线性质、圆周角定理和直角三角形角度性质结合考查，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，结合切线的垂直性质建立角度关系求解。
【难度系数】
0.7
4. ★★ 下列命题中正确的是 (
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
)A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
答案
4. D 解析:根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故 A,B,C 错误;若圆心到某直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线,故 D 正确.故选 D.
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时首先要明确圆的切线的两个核心判定依据：一是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件必须同时满足才成立；二是若圆心到某条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线。接下来逐一核对每个选项是否符合判定条件即可得出结论。
【解析】
结合圆的切线的判定规则逐一分析选项：
A. 仅说明直线垂直于半径，未明确该直线经过半径的外端，不满足切线判定的全部条件，因此A错误；
B. 仅说明直线经过半径外端，未明确该直线垂直于这条半径，不满足切线判定的全部条件，因此B错误；
C. 经过切点的直线如果不垂直于过该切点的半径，就不属于圆的切线，因此C错误；
D. 圆心到某直线的距离等于半径，符合切线的判定规则，因此这条直线是圆的切线，D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对圆的切线判定条件的理解和记忆，需要准确掌握切线判定的必要条件，避免因遗漏限定条件误选错误选项。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的切线的判定，解题时首先要明确圆的切线的两个核心判定依据：一是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件必须同时满足才成立；二是若圆心到某条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线。接下来逐一核对每个选项是否符合判定条件即可得出结论。
【解析】
结合圆的切线的判定规则逐一分析选项：
A. 仅说明直线垂直于半径，未明确该直线经过半径的外端，不满足切线判定的全部条件，因此A错误；
B. 仅说明直线经过半径外端，未明确该直线垂直于这条半径，不满足切线判定的全部条件，因此B错误；
C. 经过切点的直线如果不垂直于过该切点的半径，就不属于圆的切线，因此C错误；
D. 圆心到某直线的距离等于半径，符合切线的判定规则，因此这条直线是圆的切线，D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对圆的切线判定条件的理解和记忆，需要准确掌握切线判定的必要条件，避免因遗漏限定条件误选错误选项。
【难度系数】
0.7
5. ★★★|教材P37练习T3变式 如图，$△ ABC$为等腰三角形，$O$是底边$BC$的中点，腰$AB$与$\odot O$相切于点$D$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ BAC=120°,BC=12$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ BAC=120°,BC=12$,求$\odot O$的半径.
答案
5. (1)过点 O 作 OE ⊥ AC 于点 E,连接 OD,OA.
∵ AB 与$ \odot O $相切于点 D,
∴ AB ⊥ OD.
∵ △ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,
∴ AO 是 ∠BAC 的平分线,
∴ OE=OD,即 OE 是$ \odot O $的半径.
∵ AC 经过$ \odot O $的半径 OE 的外端点且垂直于 OE,
∴ AC 是$ \odot O $的切线.
(2)如图
,∵ △ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,BC=12,
∴ AO ⊥ BC,BO=6.
∵ ∠BAC=120°,AB,AC 为$ \odot O $的切线,
∴ ∠BAO=∠CAO=60°,
∴ ∠B=30°.
∵ BO=6,∠B= 30°,OD ⊥ AB,
∴$ OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×6=3,$
∴$ \odot O $的半径是 3.
解析
【分析】
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，若未知直线与圆的交点，可过圆心作直线的垂线，只需证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知AB是$\odot O$的切线，可得$OD⊥ AB$，结合等腰三角形三线合一的性质，AO是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质即可得到O到AC的距离等于半径OD，从而证明结论。
(2) 求$\odot O$的半径，先利用等腰三角形三线合一的性质得到$AO⊥ BC$，求出BO的长度，再结合已知的$∠ BAC$的度数求出$∠ B$的度数，最后在$Rt△ BDO$中，利用30°角所对直角边等于斜边的性质即可求出OD的长度，也就是$\odot O$的半径。
【解析】
(1) 过点O作$OE⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $AB⊥ OD$。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO是$∠ BAC$的平分线，
∴ $OE=OD$，即OE是$\odot O$的半径。
∵ AC经过$\odot O$的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴ AC是$\odot O$的切线。
(2) 如图，
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，$BC=12$，
∴ $AO⊥ BC$，$BO=6$。
∵ $∠ BAC=120°$，AB、AC为$\odot O$的切线，
∴ $∠ BAO=∠ CAO=60°$，
∴ $∠ B=30°$。
∵ $BO=6$，$∠ B= 30°$，$OD⊥ AB$，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴ $\odot O$的半径是3。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\odot O$的半径为3，辅助线图。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础综合题，解题时需注意区分切线判定两种场景的用法，结合等腰三角形、特殊直角三角形的性质即可顺利求解，对逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，若未知直线与圆的交点，可过圆心作直线的垂线，只需证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知AB是$\odot O$的切线，可得$OD⊥ AB$，结合等腰三角形三线合一的性质，AO是$∠ BAC$的角平分线，根据角平分线的性质即可得到O到AC的距离等于半径OD，从而证明结论。
(2) 求$\odot O$的半径，先利用等腰三角形三线合一的性质得到$AO⊥ BC$，求出BO的长度，再结合已知的$∠ BAC$的度数求出$∠ B$的度数，最后在$Rt△ BDO$中，利用30°角所对直角边等于斜边的性质即可求出OD的长度，也就是$\odot O$的半径。
【解析】
(1) 过点O作$OE⊥ AC$于点E，连接OD，OA。
∵ AB与$\odot O$相切于点D，
∴ $AB⊥ OD$。
∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴ AO是$∠ BAC$的平分线，
∴ $OE=OD$，即OE是$\odot O$的半径。
∵ AC经过$\odot O$的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴ AC是$\odot O$的切线。
(2) 如图
，∵ $△ ABC$为等腰三角形，O是底边BC的中点，$BC=12$，
∴ $AO⊥ BC$，$BO=6$。
∵ $∠ BAC=120°$，AB、AC为$\odot O$的切线，
∴ $∠ BAO=∠ CAO=60°$，
∴ $∠ B=30°$。
∵ $BO=6$，$∠ B= 30°$，$OD⊥ AB$，
∴ $OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴ $\odot O$的半径是3。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\odot O$的半径为3，辅助线图
。【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础综合题，解题时需注意区分切线判定两种场景的用法，结合等腰三角形、特殊直角三角形的性质即可顺利求解，对逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
6. ★★ |原创题 如图,圆O的半径为1,P是圆O外一点,连接PO.过P引圆O的切线AP,BP,若AP⊥BP,则PO的长为
$\sqrt{2}$
.答案
6. $\sqrt{2}$ 解析:连接 OA,OB.
∵ PA,PB 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $∠PAO= ∠PBO=90°$.又
∵ $∠APB=90°$,
∴ 四边形 AOBP 是矩形.又 OA=OB,
∴ 四边形 OAPB 是正方形,
∴ $OP=\sqrt{2}OA=\sqrt{2}.$
∵ PA,PB 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $∠PAO= ∠PBO=90°$.又
∵ $∠APB=90°$,
∴ 四边形 AOBP 是矩形.又 OA=OB,
∴ 四边形 OAPB 是正方形,
∴ $OP=\sqrt{2}OA=\sqrt{2}.$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先利用切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB得到两个直角；再结合已知AP⊥BP的条件，可判断四边形AOBP的形状，先得出为矩形，再根据圆的半径相等推出是正方形，最后利用正方形对角线和边长的关系即可求出OP的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠PAO=∠PBO=90°$，
又
∵AP⊥BP，即$∠APB=90°$，
∴四边形AOBP是矩形，
∵OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴OA=OB=1，
∴矩形AOBP是正方形，
∴OP为正方形的对角线，故$OP=\sqrt{2}OA=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角，结合角的条件判断出四边形为正方形，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先利用切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB得到两个直角；再结合已知AP⊥BP的条件，可判断四边形AOBP的形状，先得出为矩形，再根据圆的半径相等推出是正方形，最后利用正方形对角线和边长的关系即可求出OP的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠PAO=∠PBO=90°$，
又
∵AP⊥BP，即$∠APB=90°$，
∴四边形AOBP是矩形，
∵OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴OA=OB=1，
∴矩形AOBP是正方形，
∴OP为正方形的对角线，故$OP=\sqrt{2}OA=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定与性质；矩形的判定
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角，结合角的条件判断出四边形为正方形，进而求解线段长度。
【难度系数】
0.7
7. |教材P38例5变式 如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和$\odot O$分别切于点L，M，N，P，且AB=10 cm，CD=5 cm，则四边形ABCD的周长为
30
cm.答案
7. 30 解析:由切线长定理,得,AL=AP,BL=BM,DN=PD, CN=CM,
∴ 四边形 ABCD 的周长为 AL+AP+BL+BM+CM+ CN+DN+DP=2AL+2BL+2CN+2DN= 2AB+2CD= 2( AB+ CD )= 2×( 10+5 )= 30( cm ).
∴ 四边形 ABCD 的周长为 AL+AP+BL+BM+CM+ CN+DN+DP=2AL+2BL+2CN+2DN= 2AB+2CD= 2( AB+ CD )= 2×( 10+5 )= 30( cm ).
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，四条边均与⊙O相切，解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以把四边形的四条边拆分为各切线段的和，再利用切线长相等的关系对周长的表达式进行转化，就能建立周长与已知的AB、CD长度的关系，进而求出周长。
【解析】
根据切线长定理可得：$AL=AP$，$BL=BM$，$CN=CM$，$DN=DP$。
四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+DA$
$=AL+BL+BM+CM+CN+DN+DP+AP$
将相等的切线段代入替换，得：
$=AL+BL+BL+CN+CN+DN+DN+AL$
$=2AL+2BL+2CN+2DN$
$=2(AL+BL)+2(CN+DN)$
$=2AB+2CD$
代入$AB=10\mathrm{cm}$，$CD=5\mathrm{cm}$，得：
$=2×(10+5)=30(\mathrm{cm})$
【答案】
30
【知识点】
切线长定理；周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是利用切线长相等的性质，将四边形的周长转化为两组对边和的2倍，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，四条边均与⊙O相切，解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以把四边形的四条边拆分为各切线段的和，再利用切线长相等的关系对周长的表达式进行转化，就能建立周长与已知的AB、CD长度的关系，进而求出周长。
【解析】
根据切线长定理可得：$AL=AP$，$BL=BM$，$CN=CM$，$DN=DP$。
四边形ABCD的周长为：
$AB+BC+CD+DA$
$=AL+BL+BM+CM+CN+DN+DP+AP$
将相等的切线段代入替换，得：
$=AL+BL+BL+CN+CN+DN+DN+AL$
$=2AL+2BL+2CN+2DN$
$=2(AL+BL)+2(CN+DN)$
$=2AB+2CD$
代入$AB=10\mathrm{cm}$，$CD=5\mathrm{cm}$，得：
$=2×(10+5)=30(\mathrm{cm})$
【答案】
30
【知识点】
切线长定理；周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是利用切线长相等的性质，将四边形的周长转化为两组对边和的2倍，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. |教材P40习题T5变式 如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点D，$DE ⊥ AC$于点E，要使DE是$\odot O$的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（
A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC // OD$
A
）A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC // OD$
答案
8. A 解析:当 AB = AC 时,连接 AD.
∵ AB 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $AD ⊥ BC,∴ CD=BD.∵ AO=BO,∴ OD$ 是 $△ABC$ 的中位线,
∴ $OD//AC.∵ DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ B 正确.当 CD = BD 时,
∵ AO = BO,
∴ OD 是 $△ABC$ 的中位线,
∴ $OD//AC.∵ DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ C 正确.当 $AC//OD$ 时,
∵ $DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ D 正确.故选 A.
∵ AB 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $AD ⊥ BC,∴ CD=BD.∵ AO=BO,∴ OD$ 是 $△ABC$ 的中位线,
∴ $OD//AC.∵ DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ B 正确.当 CD = BD 时,
∵ AO = BO,
∴ OD 是 $△ABC$ 的中位线,
∴ $OD//AC.∵ DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ C 正确.当 $AC//OD$ 时,
∵ $DE ⊥ AC,∴ DE ⊥ OD.∵ OD$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ DE 是 $\odot O$ 的切线,
∴ D 正确.故选 A.
解析
【分析】
本题考查切线的判定，解题核心是明确切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知DE⊥AC，要证DE是⊙O的切线，只需证DE⊥半径OD即可，进一步推导可得只需证OD//AC，接下来逐一验证每个选项能否推出OD//AC，找出无法推出DE为切线的选项即可。
【解析】
要使DE是⊙O的切线，需证明DE⊥OD（OD为⊙O的半径），已知DE⊥AC，因此只需证OD//AC。
验证选项B：当AB=AC时，连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
结合AB=AC，由等腰三角形三线合一得CD=BD。
又
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，B不符合题意。
验证选项C：当CD=DB时，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，C不符合题意。
验证选项D：当AC//OD时，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，D不符合题意。
验证选项A：当DE=DO时，仅能说明△DEO为等腰三角形，无法推出DE⊥OD，因此不能证明DE是⊙O的切线，A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础应用题型，解题时需牢牢抓住切线判定的核心条件：直线与过交点的半径垂直，结合几何图形的性质推导即可，解题时要注意题干要求选择不正确的条件，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查切线的判定，解题核心是明确切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知DE⊥AC，要证DE是⊙O的切线，只需证DE⊥半径OD即可，进一步推导可得只需证OD//AC，接下来逐一验证每个选项能否推出OD//AC，找出无法推出DE为切线的选项即可。
【解析】
要使DE是⊙O的切线，需证明DE⊥OD（OD为⊙O的半径），已知DE⊥AC，因此只需证OD//AC。
验证选项B：当AB=AC时，连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
结合AB=AC，由等腰三角形三线合一得CD=BD。
又
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，B不符合题意。
验证选项C：当CD=DB时，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，C不符合题意。
验证选项D：当AC//OD时，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，又OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，D不符合题意。
验证选项A：当DE=DO时，仅能说明△DEO为等腰三角形，无法推出DE⊥OD，因此不能证明DE是⊙O的切线，A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；三角形中位线定理；平行线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础应用题型，解题时需牢牢抓住切线判定的核心条件：直线与过交点的半径垂直，结合几何图形的性质推导即可，解题时要注意题干要求选择不正确的条件，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
