1.如图，在$\odot O$中，AB，CD为$\odot O$的两条弦，且$OE⊥ AB$于E，$OF⊥ CD$于F，且$OE=OF$.根据上述条件能推出________（至少写三条）.

1.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},AB=CD,AE=EB$

【分析】
解题时先观察已知条件：首先，OE⊥AB、OF⊥CD，可联想到垂径定理，能得到弦被垂线平分的结论；其次，OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距，且OE=OF，再结合同圆中弦、弧、弦心距的关系定理：同圆中若两条弦的弦心距相等，则对应的弦、对应的弧均相等，即可推导出相关结论，任选三条合理结论即可。
【解析】
1. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，已知OE⊥AB，因此可得$AE=EB$，同理可得$CF=FD$；
2. 在同圆$\odot O$中，弦心距相等则对应的弦相等，已知OE、OF是AB、CD的弦心距，且$OE=OF$，因此$AB=CD$；
3. 在同圆$\odot O$中，相等的弦对应的劣弧相等，结合$AB=CD$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
此外还可推出$∠ AOB=∠ COD$、$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$等结论，任选三条即可。
【答案】
$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},AB=CD,AE=EB$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
垂径定理；弦、弧、弦心距的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题，需要熟练掌握垂径定理和同圆中弦、弧、弦心距的等量转化规律，熟记相关定理就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法中，正确的是 （）

A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等
D.弦相等，所对的圆心角相等

2.B

【分析】
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题时首先要明确：除等弧外，圆心角、弧、弦的相等关系成立的前提是“在同圆或等圆中”。我们可以结合这个前提，对每个选项逐一分析判断，先回忆等弧的定义，再逐个验证选项是否满足前提条件、是否符合对应关系即可。
【解析】
对每个选项逐一判断如下：
A. 等弦所对的弧相等：错误。一条弦对应两条长度不同的弧（优弧和劣弧），且选项未说明在同圆或等圆中，因此等弦所对的弧不一定相等。
B. 等弧所对的弦相等：正确。等弧是指能够完全重合的弧，本身就隐含了“在同圆或等圆中”的条件，因此等弧所对的弦一定相等。
C. 圆心角相等，所对的弦相等：错误。缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中，相同度数的圆心角所对的弦长度不相等。
D. 弦相等，所对的圆心角相等：错误。缺少“在同圆或等圆中”的前提，且同圆中一条弦对应两个大小不同的圆心角（分别对应优弧和劣弧），因此弦相等时圆心角不一定相等。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等弧的定义
【点评】
本题属于圆的基础概念题，易错点是容易忽略圆心角、弧、弦相等关系成立的“同圆或等圆”前提，解题时要注意等弧的定义已经自带该前提，无需额外说明。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,那么（）

A.$AB＞2CD$
B.$AB＜2CD$
C.$AB=2CD$
D.$AB$与$2CD$的大小无法比较
（第3题）

3.B

【分析】
要比较弦AB与2CD的大小，可利用同圆中弧与弦的对应关系转化条件：已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，我们可以取$\overset{\frown}{AB}$的中点，将$\overset{\frown}{AB}$拆分为两段和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，对应得到两段长度等于CD的弦，再借助三角形三边关系比较AB和这两段弦的和的大小即可。
【解析】
取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE、BE。
∵E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”得：
$AE+BE＞AB$，
将$AE=BE=CD$代入得：$CD+CD＞AB$，即$2CD＞AB$，也就是$AB＜2CD$。
推导后得，本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
弧弦的关系、三角形三边关系
【点评】
本题解题核心是将弧的倍数关系转化为弦的等量关系，易错点是直接认为弧长是两倍时弦长也为两倍，通过作弧中点拆分弧、结合三角形三边关系即可快速判断。
【难度系数】
0.7

4. 如图，AB是$\overset{\frown}{AB}$所对的弦，AB的中垂线CD分别交$\overset{\frown}{AB}$于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交$\overset{\frown}{AB}$于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交$\overset{\frown}{AB}$于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）

A.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$
B.$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CG}$
C.$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{AE}$
D.$EF=GH$

4.C

【分析】
解题时结合垂径定理、圆的轴对称性、中垂线的性质逐个分析选项：首先利用弦的中垂线必过圆心的性质，判断CD过圆心，可直接推导弧AC和弧CB的关系；再由AD=DB，结合EF、GH分别是AD、DB的中垂线，可得两条直线关于CD对称，结合圆的轴对称性判断对应弧、线段的关系；最后根据垂径定理的适用条件（直线过圆心），判断C选项的结论是否成立。
【解析】
解：
1. 判断选项A：
∵CD是AB的中垂线，弦的中垂线必过圆心，
∴CD所在直线过圆心，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，A结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B、D：
∵CD平分AB，
∴AD=DB，又
∵EF是AD的中垂线，GH是DB的中垂线，
∴$AF=FD=DH=HB$，即EF、GH到对称轴CD的距离相等。
∵圆关于CD所在直线轴对称，
∴$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CG}$，且$EF=GH$，B、D结论正确，不符合题意。
3. 判断选项C：
垂径定理的适用条件是直线过圆心，EF仅为AD的中垂线，不经过圆心，无法推出$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{AE}$，C结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆的轴对称性，中垂线的性质
【点评】
本题重点考查垂径定理和圆的对称性的应用，解题时要注意垂径定理的适用条件，不要误用结论，同时要熟练掌握圆的轴对称性的特点，结合中垂线的性质分析线段和弧的对应关系。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$\odot O$中，弦AB与弦CD相交，且AB=CD. 求证:AC=BD. (第5题)

5.证明:$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC},即\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},AC=BD$

【分析】
要证明AC=BD，可借助同圆中弦与弧的对应关系推导：首先已知同圆内弦AB=CD，根据同圆的性质，相等的弦所对的弧相等，可先推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察图形可知$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$含有公共部分$\overset{\frown}{BC}$，将两个等弧同时减去公共的$\overset{\frown}{BC}$，就能得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，即可推出AC=BD。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，AB=CD，
∴ 同圆中相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ AC=BD。
【答案】
证明:$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC},即\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},AC=BD$
【知识点】
等弦对等弧，弧的和差运算，等弧对等弦
【点评】
本题是圆内弦弧关系的基础应用题，解题核心是灵活完成弦与弧的等价转换，通过减去公共弧得到待证线段对应的等弧即可完成证明，熟练掌握同圆内弦和弧的对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8