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活动一:想一想 说一说
预习课本第97页,说一说如何设未知数,如何找等量关系列方程.
预习课本第97页,说一说如何设未知数,如何找等量关系列方程.
答案
略;用勾股定理
解析
【分析】
本题是勾股定理应用的预习思考类问题，可从两方面梳理思路：首先是设未知数的思路，通常我们把要求的直角三角形未知边长设为核心未知数，若存在多个关联的未知量，可通过题目给出的和差、倍数等数量关系，用含未知数的代数式表示其余未知量；其次是找等量关系的思路，勾股定理是直角三角形天然的边长等量关系，我们只需先确认三角形为直角三角形，找准两条直角边和斜边的对应位置，即可将已知边和含未知数的边代入勾股定理公式得到方程。
【解析】
1. 设未知数的方法：一般将所求的直角三角形未知边长设为x，若有多个相关未知量，可结合已知的数量关系，用含x的代数式表示其他未知边长。
2. 列方程的方法：先判定目标三角形是直角三角形，明确两条直角边、斜边的对应长度，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的内容，将已知边长和含未知数的边长代入公式，即可列出方程。
【答案】
略；用勾股定理
【知识点】
勾股定理，等量关系识别，列方程
【点评】
本题属于入门引导类题目，旨在引导大家建立方程思想与几何定理结合的解题思维，是后续解决勾股定理相关实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理应用的预习思考类问题，可从两方面梳理思路：首先是设未知数的思路，通常我们把要求的直角三角形未知边长设为核心未知数，若存在多个关联的未知量，可通过题目给出的和差、倍数等数量关系，用含未知数的代数式表示其余未知量；其次是找等量关系的思路，勾股定理是直角三角形天然的边长等量关系，我们只需先确认三角形为直角三角形，找准两条直角边和斜边的对应位置，即可将已知边和含未知数的边代入勾股定理公式得到方程。
【解析】
1. 设未知数的方法：一般将所求的直角三角形未知边长设为x，若有多个相关未知量，可结合已知的数量关系，用含x的代数式表示其他未知边长。
2. 列方程的方法：先判定目标三角形是直角三角形，明确两条直角边、斜边的对应长度，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的内容，将已知边长和含未知数的边长代入公式，即可列出方程。
【答案】
略；用勾股定理
【知识点】
勾股定理，等量关系识别，列方程
【点评】
本题属于入门引导类题目，旨在引导大家建立方程思想与几何定理结合的解题思维，是后续解决勾股定理相关实际应用问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
1. 阅读课本第98页的例1，想一想：
（1）你能把这个实际问题转化为数学问题吗？说说你的想法.
（2）如何设未知数？如何找等量关系列方程？
（3）说一说勾股定理在问题解决过程中的作用.
（1）你能把这个实际问题转化为数学问题吗？说说你的想法.
（2）如何设未知数？如何找等量关系列方程？
（3）说一说勾股定理在问题解决过程中的作用.
答案
1.（1）略 （2）略;用勾股定理 （3）勾股定理反映直角三角形三边之间的等量关系
解析
【分析】
我们可按照3个小问依次梳理思考逻辑：
（1）实际问题转数学问题的核心是抽象几何要素：先定位实际场景里的垂直关系（比如课本例题中墙面和地面垂直），将对应实物抽象成线段：梯子作为斜边，墙面、地面上的支撑距离作为直角边，就能把实际问题转化为直角三角形的边长求解问题。
（2）设未知数遵循“问什么设什么”的原则即可；找等量关系的关键是抓不变量，比如梯子滑动问题里梯子总长度始终不变，结合直角三角形三边满足的勾股定理，就能列出对应方程。
（3）勾股定理是直角三角形特有的三边数量关系，是本题里连接已知边和未知边、搭建等量关系的核心依据，没有它就无法建立边长之间的等式求解未知量。
【解析】
（1）以课本梯子滑动的实际场景为例：墙面与地面互相垂直，因此墙面、地面、梯子刚好构成直角三角形，我们将梯子长度、梯子底端到墙根的水平距离、梯子顶端到地面的竖直距离分别对应为直角三角形的斜边和两条直角边，该实际问题就转化为已知直角三角形的部分边长，求解未知边长的数学问题。
（2）设未知数：通常直接设题目要求的未知量为x，比如设梯子底端向外滑动的距离为x米；找等量关系：梯子的长度始终保持不变，滑动前后两个直角三角形的斜边均为梯子长度，分别用勾股定理表示两个直角三角形的斜边长度，二者相等即可列出含x的方程。
（3）勾股定理明确了直角三角形三边的等量关系，我们可以利用这一关系将已知边长和未知边长纳入同一个等式中，为列方程求解未知量提供了依据。
【答案】
（1）略 （2）略;用勾股定理 （3）勾股定理反映直角三角形三边之间的等量关系
【知识点】
实际问题数学建模；勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理实际应用的基础思考题，侧重引导学生理解实际问题转化为几何问题的思路，掌握利用几何性质找等量关系列方程的方法，是后续解决复杂几何实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
我们可按照3个小问依次梳理思考逻辑：
（1）实际问题转数学问题的核心是抽象几何要素：先定位实际场景里的垂直关系（比如课本例题中墙面和地面垂直），将对应实物抽象成线段：梯子作为斜边，墙面、地面上的支撑距离作为直角边，就能把实际问题转化为直角三角形的边长求解问题。
（2）设未知数遵循“问什么设什么”的原则即可；找等量关系的关键是抓不变量，比如梯子滑动问题里梯子总长度始终不变，结合直角三角形三边满足的勾股定理，就能列出对应方程。
（3）勾股定理是直角三角形特有的三边数量关系，是本题里连接已知边和未知边、搭建等量关系的核心依据，没有它就无法建立边长之间的等式求解未知量。
【解析】
（1）以课本梯子滑动的实际场景为例：墙面与地面互相垂直，因此墙面、地面、梯子刚好构成直角三角形，我们将梯子长度、梯子底端到墙根的水平距离、梯子顶端到地面的竖直距离分别对应为直角三角形的斜边和两条直角边，该实际问题就转化为已知直角三角形的部分边长，求解未知边长的数学问题。
（2）设未知数：通常直接设题目要求的未知量为x，比如设梯子底端向外滑动的距离为x米；找等量关系：梯子的长度始终保持不变，滑动前后两个直角三角形的斜边均为梯子长度，分别用勾股定理表示两个直角三角形的斜边长度，二者相等即可列出含x的方程。
（3）勾股定理明确了直角三角形三边的等量关系，我们可以利用这一关系将已知边长和未知边长纳入同一个等式中，为列方程求解未知量提供了依据。
【答案】
（1）略 （2）略;用勾股定理 （3）勾股定理反映直角三角形三边之间的等量关系
【知识点】
实际问题数学建模；勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理实际应用的基础思考题，侧重引导学生理解实际问题转化为几何问题的思路，掌握利用几何性质找等量关系列方程的方法，是后续解决复杂几何实际应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 如图3-2，长方形纸片ABCD的边AB＝6 cm，BC＝10 cm，将纸片沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.求DE的长. 
答案
$DE=\frac{10}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，再结合矩形的性质得到已知边和直角的条件。第一步先利用矩形边长得到AF的长度，在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长，进而得到FC的长度；第二步设DE的长为未知数，用含未知数的式子表示出EC和EF的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=6cm，BC=AD=10cm，∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm。
∵将纸片沿AE折叠，点D落在BC上的F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=10cm，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$，
∴$FC=BC - BF=10 - 8=2\ \mathrm{cm}$。
设DE=x cm，则EF=x cm，$EC=CD - DE=(6 - x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$FC^2 + EC^2 = EF^2$，
即$2^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
展开得：$4 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
整理得：$12x=40$，
解得：$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$DE=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，核心是通过折叠的全等关系转化边的等量关系，再利用勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，需熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，再结合矩形的性质得到已知边和直角的条件。第一步先利用矩形边长得到AF的长度，在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长，进而得到FC的长度；第二步设DE的长为未知数，用含未知数的式子表示出EC和EF的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=6cm，BC=AD=10cm，∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm。
∵将纸片沿AE折叠，点D落在BC上的F处，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=10cm，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$，
∴$FC=BC - BF=10 - 8=2\ \mathrm{cm}$。
设DE=x cm，则EF=x cm，$EC=CD - DE=(6 - x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$FC^2 + EC^2 = EF^2$，
即$2^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
展开得：$4 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
整理得：$12x=40$，
解得：$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$DE=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，核心是通过折叠的全等关系转化边的等量关系，再利用勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，需熟练掌握这类解题思路。
【难度系数】
0.7
1. 要从电线杆上距离地面5 m处向地面拉一条长13 m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（
A.10 m
B.11 m
C.12 m
D.13 m
C
）A.10 m
B.11 m
C.12 m
D.13 m
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，首先可以从实际场景中抽象出几何模型：电线杆垂直于地面，因此距离地面5m的电缆上端点、电线杆底部、地面电缆固定点三个点可构成直角三角形。其中电线杆对应的竖直边长为5m（直角边），电缆长13m为斜边，要求的地面固定点与电线杆底部的距离是另一条直角边，解题时只需将已知边长代入勾股定理，即可求出未知边长。
【解析】
解：由题意可知，电线杆与地面垂直，本题可转化为直角三角形边长计算问题：
已知直角三角形的一条直角边长为5m，斜边长为13m，设地面电缆固定点与电线杆底部的距离为x m（即另一条直角边长）。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 5^2 = 13^2$
计算得：$x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为距离为正数，所以$x = \sqrt{144} = 12$（m）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是能从实际生活场景中提炼出直角三角形模型，明确各边对应的数据后直接代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
这是一道勾股定理的实际应用题，首先可以从实际场景中抽象出几何模型：电线杆垂直于地面，因此距离地面5m的电缆上端点、电线杆底部、地面电缆固定点三个点可构成直角三角形。其中电线杆对应的竖直边长为5m（直角边），电缆长13m为斜边，要求的地面固定点与电线杆底部的距离是另一条直角边，解题时只需将已知边长代入勾股定理，即可求出未知边长。
【解析】
解：由题意可知，电线杆与地面垂直，本题可转化为直角三角形边长计算问题：
已知直角三角形的一条直角边长为5m，斜边长为13m，设地面电缆固定点与电线杆底部的距离为x m（即另一条直角边长）。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 5^2 = 13^2$
计算得：$x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为距离为正数，所以$x = \sqrt{144} = 12$（m）
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是能从实际生活场景中提炼出直角三角形模型，明确各边对应的数据后直接代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
