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三、解答题(共50分)
11. (每小题8分,共16分)化简:
(1) $\frac{x+1}{2} - \frac{3x -5}{4}$；
(2) $2(a^2 + 2a - 3) - 3(a^2 - 2a + 1)$。
11. (每小题8分,共16分)化简:
(1) $\frac{x+1}{2} - \frac{3x -5}{4}$；
(2) $2(a^2 + 2a - 3) - 3(a^2 - 2a + 1)$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{2(x+1)}{4} - \frac{3x-5}{4}$
$=\frac{2x+2 - 3x +5}{4}$
$=\frac{-x+7}{4}$
$=\frac{7-x}{4}$
(2) 原式$=2a^2 +4a -6 -3a^2 +6a -3$
$=(2a^2-3a^2)+(4a+6a)+(-6-3)$
$=-a^2+10a-9$
(1) 原式$=\frac{2(x+1)}{4} - \frac{3x-5}{4}$
$=\frac{2x+2 - 3x +5}{4}$
$=\frac{-x+7}{4}$
$=\frac{7-x}{4}$
(2) 原式$=2a^2 +4a -6 -3a^2 +6a -3$
$=(2a^2-3a^2)+(4a+6a)+(-6-3)$
$=-a^2+10a-9$
12. (10分)先化简,再求值:$5x^2y - [x^2y - 3(xy - x^2y) + 4xy]$,其中$x=-1,y=3.$
答案
解：
原式$=5x^2y - [x^2y - 3xy + 3x^2y + 4xy]$
$=5x^2y - x^2y + 3xy - 3x^2y - 4xy$
$=(5x^2y - x^2y - 3x^2y) + (3xy - 4xy)$
$=x^2y - xy$
当$x=-1$，$y=3$时，
原式$=(-1)^2 × 3 - (-1) × 3$
$=1×3 + 3$
$=6$
原式$=5x^2y - [x^2y - 3xy + 3x^2y + 4xy]$
$=5x^2y - x^2y + 3xy - 3x^2y - 4xy$
$=(5x^2y - x^2y - 3x^2y) + (3xy - 4xy)$
$=x^2y - xy$
当$x=-1$，$y=3$时，
原式$=(-1)^2 × 3 - (-1) × 3$
$=1×3 + 3$
$=6$
13. (11分)类比同类项的概念,我们规定:所含字母相同,并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”.例如:$ab^2$与$-5a^2b^3$是“准同类项”.
(1) 给出下列三个单项式:① $ab^2$;② $2a^2b^4$;③ $-a^4b^3$.其中与 $a^3b^4$是“准同类项”的是(填序号).
(2) 已知 A,B,C 均为关于 a,b 的多项式,$A=a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m$,$B=2a^2b^3 - a^3b^m + a^{n+1}b^4$,且 $C=A-2B$.若 C 中的任意两项都是“准同类项”,求 m,n 的值.
(1) 给出下列三个单项式:① $ab^2$;② $2a^2b^4$;③ $-a^4b^3$.其中与 $a^3b^4$是“准同类项”的是(填序号).
(2) 已知 A,B,C 均为关于 a,b 的多项式,$A=a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m$,$B=2a^2b^3 - a^3b^m + a^{n+1}b^4$,且 $C=A-2B$.若 C 中的任意两项都是“准同类项”,求 m,n 的值.
答案
解：
(1) 对于单项式①$ab^2$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|1-3|=2＞1$，b的指数差的绝对值为$|2-4|=2＞1$，不是“准同类项”；
对于单项式②$2a^2b^4$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|2-3|=1≤1$，b的指数差的绝对值为$|4-4|=0≤1$，是“准同类项”；
对于单项式③$-a^4b^3$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|4-3|=1≤1$，b的指数差的绝对值为$|3-4|=1≤1$，是“准同类项”。
故答案为：②③。
(2) 计算$C=A-2B$：
$\begin{aligned}C&=(a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m) - 2(2a^2b^3 - a^3b^m + a^{n+1}b^4)\\&=a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m -4a^2b^3 + 2a^3b^m - 2a^{n+1}b^4\\&=-a^{n+1}b^4 -a^2b^3 +a^3b^m\end{aligned}$
C的项为$-a^{n+1}b^4$、$-a^2b^3$、$a^3b^m$，由C中任意两项都是“准同类项”可得：
1. 对$-a^{n+1}b^4$和$-a^2b^3$：
$|(n+1)-2|≤1$，即$|n-1|≤1$，解得$0≤ n≤2$；
2. 对$-a^2b^3$和$a^3b^m$：
$|3-m|≤1$，解得$2≤ m≤4$；
3. 对$-a^{n+1}b^4$和$a^3b^m$：
$|(n+1)-3|≤1$且$|4-m|≤1$，即$|n-2|≤1$，$|m-4|≤1$，解得$1≤ n≤3$，$3≤ m≤5$。
取上述范围的公共部分，得$1≤ n≤2$，$3≤ m≤4$。
因为m、n为正整数，所以符合条件的解为：
$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$，$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$，$\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases}$，$\begin{cases}m=4\\n=2\end{cases}$。
(1) 对于单项式①$ab^2$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|1-3|=2＞1$，b的指数差的绝对值为$|2-4|=2＞1$，不是“准同类项”；
对于单项式②$2a^2b^4$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|2-3|=1≤1$，b的指数差的绝对值为$|4-4|=0≤1$，是“准同类项”；
对于单项式③$-a^4b^3$，与$a^3b^4$相比，a的指数差的绝对值为$|4-3|=1≤1$，b的指数差的绝对值为$|3-4|=1≤1$，是“准同类项”。
故答案为：②③。
(2) 计算$C=A-2B$：
$\begin{aligned}C&=(a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m) - 2(2a^2b^3 - a^3b^m + a^{n+1}b^4)\\&=a^{n+1}b^4 + 3a^2b^3 - a^3b^m -4a^2b^3 + 2a^3b^m - 2a^{n+1}b^4\\&=-a^{n+1}b^4 -a^2b^3 +a^3b^m\end{aligned}$
C的项为$-a^{n+1}b^4$、$-a^2b^3$、$a^3b^m$，由C中任意两项都是“准同类项”可得：
1. 对$-a^{n+1}b^4$和$-a^2b^3$：
$|(n+1)-2|≤1$，即$|n-1|≤1$，解得$0≤ n≤2$；
2. 对$-a^2b^3$和$a^3b^m$：
$|3-m|≤1$，解得$2≤ m≤4$；
3. 对$-a^{n+1}b^4$和$a^3b^m$：
$|(n+1)-3|≤1$且$|4-m|≤1$，即$|n-2|≤1$，$|m-4|≤1$，解得$1≤ n≤3$，$3≤ m≤5$。
取上述范围的公共部分，得$1≤ n≤2$，$3≤ m≤4$。
因为m、n为正整数，所以符合条件的解为：
$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$，$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$，$\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases}$，$\begin{cases}m=4\\n=2\end{cases}$。
14. (13分)某商家以每件$a$元的成本价购进了30件甲种商品，以每件$b$元的成本价购进了40件乙种商品，且$a＞b$.
(1) 在销售前经市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津.为了尽快减少库存，但又不能亏本，此商家决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的7折出售，则甲种商品的每件售价可表示为（用含$a$的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为（用含$b$的代数式表示）.
(2) 在(1)的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含$a,b$的代数式表示商家的获利.
(3) 若此商家将两种商品都以$\frac{a+b}{2}$元/件的平均价格一次打包全部出售，判断他这次买卖是赚钱还是亏本，并说明理由.
(1) 在销售前经市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津.为了尽快减少库存，但又不能亏本，此商家决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的7折出售，则甲种商品的每件售价可表示为（用含$a$的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为（用含$b$的代数式表示）.
(2) 在(1)的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含$a,b$的代数式表示商家的获利.
(3) 若此商家将两种商品都以$\frac{a+b}{2}$元/件的平均价格一次打包全部出售，判断他这次买卖是赚钱还是亏本，并说明理由.
答案
解：
(1) $1.4a$元；$0.7b$元
(2) 总售价为：
$30×1.4a + 40×0.7b = 42a + 28b$
总成本为：
$30a + 40b$
商家的获利为：
$(42a + 28b) - (30a + 40b) = 12a - 12b$
答：商家的获利为$(12a-12b)$元。
(3) 这次买卖是赚钱，理由如下：
打包全部售出的总售价为：
$(30+40)×\frac{a+b}{2} = 35(a+b) = 35a + 35b$
总利润为：
$(35a + 35b) - (30a + 40b) = 5a - 5b = 5(a-b)$
已知$a＞b$，所以$a-b＞0$，则$5(a-b)＞0$，即总售价大于总成本，因此这次买卖是赚钱。
(1) $1.4a$元；$0.7b$元
(2) 总售价为：
$30×1.4a + 40×0.7b = 42a + 28b$
总成本为：
$30a + 40b$
商家的获利为：
$(42a + 28b) - (30a + 40b) = 12a - 12b$
答：商家的获利为$(12a-12b)$元。
(3) 这次买卖是赚钱，理由如下：
打包全部售出的总售价为：
$(30+40)×\frac{a+b}{2} = 35(a+b) = 35a + 35b$
总利润为：
$(35a + 35b) - (30a + 40b) = 5a - 5b = 5(a-b)$
已知$a＞b$，所以$a-b＞0$，则$5(a-b)＞0$，即总售价大于总成本，因此这次买卖是赚钱。
