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1.在$△ ABC$中，已知$∠ A=37°$，$∠ B=53°$，则$△ ABC$为 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
答案
1.C
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需先明确三角形三个内角的度数，再根据最大角的类型判断。解题思路为：首先利用三角形内角和为180°的性质，计算出第三个角∠C的度数，再根据角的分类确定三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=37°，∠B=53°，则：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 37° - 53° = 90°$
有一个角为直角（90°）的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，需先明确三角形三个内角的度数，再根据最大角的类型判断。解题思路为：首先利用三角形内角和为180°的性质，计算出第三个角∠C的度数，再根据角的分类确定三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=37°，∠B=53°，则：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 37° - 53° = 90°$
有一个角为直角（90°）的三角形是直角三角形，因此△ABC为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是(
A.$22.5°$
B.$45°$
C.$67.5°$
D.$135°$
A
)A.$22.5°$
B.$45°$
C.$67.5°$
D.$135°$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。题目给出两个锐角的倍数关系，我们可以结合两个锐角的和为90°这一条件，通过和倍关系计算或者设未知数列方程求解∠B的度数，也可以先根据锐角小于90°的特点排除明显错误的选项，缩小选择范围。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形
∴ 两个锐角∠A和∠B互余，即$∠ A + ∠ B = 90°$
又
∵ $∠ A$是$∠ B$的3倍，即$∠ A = 3∠ B$
将$∠ A = 3∠ B$代入$∠ A + ∠ B = 90°$，可得：
$3∠ B + ∠ B = 90°$
$4∠ B = 90°$
$∠ B = 90° ÷ 4 = 22.5°$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度和倍运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查对直角三角形锐角性质的掌握，解题时结合已知的角度倍数关系，利用两锐角和为90°的性质即可求解，做题时要注意看清所求的是∠B还是∠A，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆直角三角形的内角性质：直角三角形的两个锐角之和为90°（即两锐角互余）。题目给出两个锐角的倍数关系，我们可以结合两个锐角的和为90°这一条件，通过和倍关系计算或者设未知数列方程求解∠B的度数，也可以先根据锐角小于90°的特点排除明显错误的选项，缩小选择范围。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形
∴ 两个锐角∠A和∠B互余，即$∠ A + ∠ B = 90°$
又
∵ $∠ A$是$∠ B$的3倍，即$∠ A = 3∠ B$
将$∠ A = 3∠ B$代入$∠ A + ∠ B = 90°$，可得：
$3∠ B + ∠ B = 90°$
$4∠ B = 90°$
$∠ B = 90° ÷ 4 = 22.5°$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度和倍运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查对直角三角形锐角性质的掌握，解题时结合已知的角度倍数关系，利用两锐角和为90°的性质即可求解，做题时要注意看清所求的是∠B还是∠A，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.85
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=10°$，则$∠ A$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
3.A
解析
【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，根据直角三角形的性质，两个锐角的和为90°，即∠A+∠B=90°；同时题目给出了∠A与∠B的差为10°，即∠A-∠B=10°。我们可以将这两个等量关系联立，通过简单的代数运算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知 $∠ A - ∠ B = 10°$ ②
将①+②，等式左边为$∠ A+∠ B+∠ A-∠ B=2∠ A$，等式右边为$90°+10°=100°$
即 $2∠ A=100°$
解得 $∠ A=50°$
【答案】A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基础性质，结合题目给出的角度差关系即可快速求解，是对三角形内角相关知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，根据直角三角形的性质，两个锐角的和为90°，即∠A+∠B=90°；同时题目给出了∠A与∠B的差为10°，即∠A-∠B=10°。我们可以将这两个等量关系联立，通过简单的代数运算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$ ①
又已知 $∠ A - ∠ B = 10°$ ②
将①+②，等式左边为$∠ A+∠ B+∠ A-∠ B=2∠ A$，等式右边为$90°+10°=100°$
即 $2∠ A=100°$
解得 $∠ A=50°$
【答案】A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的基础性质，结合题目给出的角度差关系即可快速求解，是对三角形内角相关知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为D,则下列结论不一定成立的是 （
A.$∠1+∠2=90°$
B.$∠1=30°$
C.$∠1=∠4$
D.$∠2=∠3$
B
）A.$∠1+∠2=90°$
B.$∠1=30°$
C.$∠1=∠4$
D.$∠2=∠3$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先结合已知的直角条件，利用直角三角形两锐角和为90°的性质，再根据同角的余角相等的规律，逐个验证每个选项是否必然成立，排除一定成立的选项，即可得到不一定成立的答案。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠1+∠2=90°$，因此A选项结论一定成立，不符合题意；
又因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC=∠BDC=90°$：
在$Rt△ADC$中，$∠1+∠3=90°$；在$Rt△BDC$中，$∠2+∠4=90°$。
结合$∠1+∠2=90°$：
由$∠1+∠2=90°$、$∠2+∠4=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠1=∠4$，C选项结论一定成立，不符合题意；
由$∠1+∠3=90°$、$∠1+∠2=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠2=∠3$，D选项结论一定成立，不符合题意；
题干中未给出边的长度关系或特殊角的条件，无法推出$∠1=30°$，因此B选项结论不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查直角三角形内角相关性质，解题时需注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分，熟练掌握余角的性质是快速判断角的等量关系的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的直角条件，利用直角三角形两锐角和为90°的性质，再根据同角的余角相等的规律，逐个验证每个选项是否必然成立，排除一定成立的选项，即可得到不一定成立的答案。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠1+∠2=90°$，因此A选项结论一定成立，不符合题意；
又因为$CD⊥AB$，所以$∠ADC=∠BDC=90°$：
在$Rt△ADC$中，$∠1+∠3=90°$；在$Rt△BDC$中，$∠2+∠4=90°$。
结合$∠1+∠2=90°$：
由$∠1+∠2=90°$、$∠2+∠4=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠1=∠4$，C选项结论一定成立，不符合题意；
由$∠1+∠3=90°$、$∠1+∠2=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠2=∠3$，D选项结论一定成立，不符合题意；
题干中未给出边的长度关系或特殊角的条件，无法推出$∠1=30°$，因此B选项结论不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查直角三角形内角相关性质，解题时需注意题干要求选择“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分，熟练掌握余角的性质是快速判断角的等量关系的关键。
【难度系数】
0.7
5.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 （
A.∠A=60°,∠B=30°
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=90°−∠C
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
D
）A.∠A=60°,∠B=30°
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=90°−∠C
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
答案
5.D
解析
【分析】
要判断△ABC是不是直角三角形，核心依据是：直角三角形有一个内角为90°，且三角形三个内角和为180°。解题时我们可以逐个分析每个选项，通过已知的角的关系计算各角的度数，判断是否存在90°的角即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析各选项：
A选项：已知∠A=60°，∠B=30°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：已知∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知∠A=90°−∠C，变形得∠A+∠C=90°，则∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-90°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份对应度数为180°÷12=15°，则三个角分别为∠A=3×15°=45°，∠B=4×15°=60°，∠C=5×15°=75°，无90°角，△ABC不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的运用以及直角三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握内角和公式，结合已知条件准确计算各角的度数。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是不是直角三角形，核心依据是：直角三角形有一个内角为90°，且三角形三个内角和为180°。解题时我们可以逐个分析每个选项，通过已知的角的关系计算各角的度数，判断是否存在90°的角即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析各选项：
A选项：已知∠A=60°，∠B=30°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：已知∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知∠A=90°−∠C，变形得∠A+∠C=90°，则∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-90°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份对应度数为180°÷12=15°，则三个角分别为∠A=3×15°=45°，∠B=4×15°=60°，∠C=5×15°=75°，无90°角，△ABC不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的运用以及直角三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握内角和公式，结合已知条件准确计算各角的度数。
【难度系数】
0.8
6.如图，AD，CE是△ABC的两条高，若∠B=50°，则∠COD的度数是
50°
。答案
6.$50°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AD、CE是△ABC的高”入手，根据高的定义可得到两个90°的角，再利用直角三角形两锐角互余的性质，找到和∠COD、∠B都互余的角，最后根据同角的余角相等即可求出∠COD的度数。
【解析】
∵AD、CE是△ABC的两条高
∴∠ADB=∠CEB=90°
在Rt△BCE中，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B + ∠BCE = 90°
在Rt△COD中，同理可得：
∠COD + ∠BCE = 90°
根据同角的余角相等，可得∠COD=∠B
∵∠B=50°
∴∠COD=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是基础角度推导题，解题核心是利用高的性质得到直角，再通过余角的性质建立待求角和已知角的关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“AD、CE是△ABC的高”入手，根据高的定义可得到两个90°的角，再利用直角三角形两锐角互余的性质，找到和∠COD、∠B都互余的角，最后根据同角的余角相等即可求出∠COD的度数。
【解析】
∵AD、CE是△ABC的两条高
∴∠ADB=∠CEB=90°
在Rt△BCE中，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B + ∠BCE = 90°
在Rt△COD中，同理可得：
∠COD + ∠BCE = 90°
根据同角的余角相等，可得∠COD=∠B
∵∠B=50°
∴∠COD=50°
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题是基础角度推导题，解题核心是利用高的性质得到直角，再通过余角的性质建立待求角和已知角的关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
7.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为
75°
.答案
7.$75°$
解析
【分析】
解题时先挖掘隐含条件：直尺的对边互相平行，一副三角尺的各角度数固定。首先观察∠1的位置，结合平行线的性质，可将∠1转化为两三角尺与直尺上边围成的三角形的一个内角，二者是相等的同位角。接下来确定该三角形另外两个内角的度数：一个是等腰直角三角尺的45°锐角，另一个是含30°角的直角三角尺的60°锐角（由直角三角形两锐角互余可得90°-30°=60°），最后根据三角形内角和为180°即可求出目标角的度数。
【解析】
解：
∵直尺的上下对边互相平行，
∴∠1与两三角尺相交形成的三角形的一个内角为同位角，二者相等。
∵等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的另一个锐角为90°-30°=60°，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
∴该内角的度数为180°-45°-60°=75°，
∴∠1=75°。
【答案】
$75°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是常见的三角尺摆放类几何题，考查基础几何定理的实际应用，解题的关键是准确识别隐含条件，理清角与角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先挖掘隐含条件：直尺的对边互相平行，一副三角尺的各角度数固定。首先观察∠1的位置，结合平行线的性质，可将∠1转化为两三角尺与直尺上边围成的三角形的一个内角，二者是相等的同位角。接下来确定该三角形另外两个内角的度数：一个是等腰直角三角尺的45°锐角，另一个是含30°角的直角三角尺的60°锐角（由直角三角形两锐角互余可得90°-30°=60°），最后根据三角形内角和为180°即可求出目标角的度数。
【解析】
解：
∵直尺的上下对边互相平行，
∴∠1与两三角尺相交形成的三角形的一个内角为同位角，二者相等。
∵等腰直角三角尺的锐角为45°，含30°角的直角三角尺的另一个锐角为90°-30°=60°，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
∴该内角的度数为180°-45°-60°=75°，
∴∠1=75°。
【答案】
$75°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是常见的三角尺摆放类几何题，考查基础几何定理的实际应用，解题的关键是准确识别隐含条件，理清角与角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
8.求下列图中的x的值. (1) 
(2) 
(2) 答案
8.(1)40 (2)45
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角相关的核心性质：①任意三角形的内角和为180°；②直角三角形的两个锐角之和为90°（两锐角互余）。针对第(1)题，先找到三角形中已知的两个内角度数，利用内角和定理，用180°减去两个已知角的度数即可得到x的值；针对第(2)题，先识别图形是直角三角形，且两个锐角度数相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，列简单方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，结合图形已知的两个内角分别为100°、40°，列式计算：
$x = 180° - 100° - 40° = 40°$
(2) 观察图形可知该三角形为直角三角形，且两个锐角相等，根据直角三角形两锐角互余（和为90°），可得：
$2x = 90°$
解得 $x = 45°$
【答案】
(1)40 (2)45
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角性质的基础应用题，解题的关键是准确识别图形特征，匹配对应的性质列式计算，是巩固基础概念的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角相关的核心性质：①任意三角形的内角和为180°；②直角三角形的两个锐角之和为90°（两锐角互余）。针对第(1)题，先找到三角形中已知的两个内角度数，利用内角和定理，用180°减去两个已知角的度数即可得到x的值；针对第(2)题，先识别图形是直角三角形，且两个锐角度数相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，列简单方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，结合图形已知的两个内角分别为100°、40°，列式计算：
$x = 180° - 100° - 40° = 40°$
(2) 观察图形可知该三角形为直角三角形，且两个锐角相等，根据直角三角形两锐角互余（和为90°），可得：
$2x = 90°$
解得 $x = 45°$
【答案】
(1)40 (2)45
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角性质的基础应用题，解题的关键是准确识别图形特征，匹配对应的性质列式计算，是巩固基础概念的典型题型。
【难度系数】
0.8
