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二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.观察下列立体图形,从正面和上面看到的平面图形相同的是
7.观察下列立体图形,从正面和上面看到的平面图形相同的是
②⑤
.(填序号)答案
7.②⑤
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：从正面看到的平面图形是主视图，从上面看到的平面图形是俯视图。解题思路为：先回忆常见立体图形的三视图特征，再逐个分析5个立体图形的主视图和俯视图，对比二者是否一致，最终筛选出符合要求的序号。
【解析】
我们逐一分析每个立体图形的主视图和俯视图：
1. ①圆锥：主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，二者不相同，不符合要求；
2. ②球：无论从哪个方向观察，看到的平面图形都是圆，因此主视图和俯视图均为圆，二者相同，符合要求；
3. ③三棱锥：主视图是三角形，俯视图是中心带顶点、内部有连线的三角形，二者不相同，不符合要求；
4. ④五棱柱：主视图是三个相邻的矩形，俯视图是五边形，二者不相同，不符合要求；
5. ⑤正方体：六个面都是正方形，主视图是正方形，俯视图也是正方形，二者相同，符合要求。
综上，从正面和上面看到的平面图形相同的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
简单几何体的三视图，主视图识别，俯视图识别
【点评】
本题是三视图基础题，重点考查对常见立体图形三视图的掌握程度，只要熟悉各类几何体的视图特征，逐一判断即可得出正确答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确：从正面看到的平面图形是主视图，从上面看到的平面图形是俯视图。解题思路为：先回忆常见立体图形的三视图特征，再逐个分析5个立体图形的主视图和俯视图，对比二者是否一致，最终筛选出符合要求的序号。
【解析】
我们逐一分析每个立体图形的主视图和俯视图：
1. ①圆锥：主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，二者不相同，不符合要求；
2. ②球：无论从哪个方向观察，看到的平面图形都是圆，因此主视图和俯视图均为圆，二者相同，符合要求；
3. ③三棱锥：主视图是三角形，俯视图是中心带顶点、内部有连线的三角形，二者不相同，不符合要求；
4. ④五棱柱：主视图是三个相邻的矩形，俯视图是五边形，二者不相同，不符合要求；
5. ⑤正方体：六个面都是正方形，主视图是正方形，俯视图也是正方形，二者相同，符合要求。
综上，从正面和上面看到的平面图形相同的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
简单几何体的三视图，主视图识别，俯视图识别
【点评】
本题是三视图基础题，重点考查对常见立体图形三视图的掌握程度，只要熟悉各类几何体的视图特征，逐一判断即可得出正确答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
8. 若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为
AB≥CD
.答案
8.AB≥CD
解析
【分析】
解决本题首先要回忆正投影的相关知识，线段的正投影长度和线段与投影面的位置关系有关，我们需要分类讨论所有符合“CD是线段”的位置情况，分别推导AB和CD的长度关系，最后整合结论即可。
【解析】
解：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，结合题意分情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，它的正投影CD与AB长度相等，即AB=CD；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影CD的长度小于AB的长度，即AB＞CD；
3. 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点，不符合“CD是线段”的条件，该情况不成立。
综上可得AB与CD的大小关系为AB≥CD。
【答案】
AB≥CD
【知识点】
正投影的定义，线段正投影的规律
【点评】
本题主要考查正投影的性质，需要结合分类讨论思想分析线段在不同位置下的正投影长度变化，易错点是容易遗漏线段平行于投影面时投影与原线段等长的情况，考虑全面即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆正投影的相关知识，线段的正投影长度和线段与投影面的位置关系有关，我们需要分类讨论所有符合“CD是线段”的位置情况，分别推导AB和CD的长度关系，最后整合结论即可。
【解析】
解：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，结合题意分情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，它的正投影CD与AB长度相等，即AB=CD；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影CD的长度小于AB的长度，即AB＞CD；
3. 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点，不符合“CD是线段”的条件，该情况不成立。
综上可得AB与CD的大小关系为AB≥CD。
【答案】
AB≥CD
【知识点】
正投影的定义，线段正投影的规律
【点评】
本题主要考查正投影的性质，需要结合分类讨论思想分析线段在不同位置下的正投影长度变化，易错点是容易遗漏线段平行于投影面时投影与原线段等长的情况，考虑全面即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
9. 广场上一个直立在地面上的大型字母广告牌的投影如图所示，则该投影属于
中心投影
.(填“平行投影”或“中心投影”) 答案
9.中心投影
解析
【分析】
要判断投影类型，首先需明确平行投影和中心投影的核心区别：平行投影由平行光线（如太阳光）照射形成，同一时刻所有直立在地面的物体影子朝向一致，物高与影长成正比；中心投影由点光源（如灯光）照射形成，光线从同一点发散，不同位置的直立物体影子朝向可能不同，影子的反向延长线会交于光源点。接下来观察题图中字母广告牌的投影，其不同竖直部位的影子朝向明显不同，符合中心投影的特征，由此可判断投影类型。
【解析】
我们根据两类投影的特征来判断：
1. 平行投影的光线为平行光线，同一时刻直立物体的影子朝向相同；
2. 中心投影的光线是从一点发出的发散光线，不同位置的直立物体影子朝向可能不同。
观察题图可知，该字母广告牌的不同竖直部分的影子朝向不一致，因此该投影属于中心投影。
【答案】
中心投影
【知识点】
1. 中心投影的特征
2. 平行投影与中心投影的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握平行投影和中心投影的本质差异，结合投影的朝向特点就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断投影类型，首先需明确平行投影和中心投影的核心区别：平行投影由平行光线（如太阳光）照射形成，同一时刻所有直立在地面的物体影子朝向一致，物高与影长成正比；中心投影由点光源（如灯光）照射形成，光线从同一点发散，不同位置的直立物体影子朝向可能不同，影子的反向延长线会交于光源点。接下来观察题图中字母广告牌的投影，其不同竖直部位的影子朝向明显不同，符合中心投影的特征，由此可判断投影类型。
【解析】
我们根据两类投影的特征来判断：
1. 平行投影的光线为平行光线，同一时刻直立物体的影子朝向相同；
2. 中心投影的光线是从一点发出的发散光线，不同位置的直立物体影子朝向可能不同。
观察题图可知，该字母广告牌的不同竖直部分的影子朝向不一致，因此该投影属于中心投影。
【答案】
中心投影
【知识点】
1. 中心投影的特征
2. 平行投影与中心投影的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握平行投影和中心投影的本质差异，结合投影的朝向特点就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
10.如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么它的左视图的高是
2√3
。答案
10.2√3
解析
【分析】
解题时先从已知的俯视图信息入手，首先根据圆的面积公式求出圆锥底面圆的半径，进而得到底面直径；再结合主视图是等边三角形的条件，可知等边三角形的边长等于底面圆的直径，而圆锥左视图的高对应圆锥的高，也就是这个等边三角形的高，最后利用等边三角形的高的计算方法求出结果即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$ r $，
1. 由俯视图是面积为$ 4π $的圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，可得：
$ π r^2 = 4π $，
两边同时除以$ π $得$ r^2=4 $，解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负根），
因此底面圆的直径为$ 2r=4 $。
2. 因为圆锥的主视图是等边三角形，所以该等边三角形的边长等于底面圆的直径，即边长为$ 4 $。
3. 圆锥左视图的高等于圆锥的高，也等于该等边三角形的高，等边三角形的高计算公式为$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}× \mathrm{边长} $，代入边长4得：
$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}× 4=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的三视图；圆的面积计算；等边三角形的性质
【点评】
本题主要考查三视图与几何体性质的结合应用，解题关键是明确三视图各部分对应几何体的实际参数，属于基础综合题，掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的俯视图信息入手，首先根据圆的面积公式求出圆锥底面圆的半径，进而得到底面直径；再结合主视图是等边三角形的条件，可知等边三角形的边长等于底面圆的直径，而圆锥左视图的高对应圆锥的高，也就是这个等边三角形的高，最后利用等边三角形的高的计算方法求出结果即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$ r $，
1. 由俯视图是面积为$ 4π $的圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，可得：
$ π r^2 = 4π $，
两边同时除以$ π $得$ r^2=4 $，解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负根），
因此底面圆的直径为$ 2r=4 $。
2. 因为圆锥的主视图是等边三角形，所以该等边三角形的边长等于底面圆的直径，即边长为$ 4 $。
3. 圆锥左视图的高等于圆锥的高，也等于该等边三角形的高，等边三角形的高计算公式为$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}× \mathrm{边长} $，代入边长4得：
$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}× 4=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的三视图；圆的面积计算；等边三角形的性质
【点评】
本题主要考查三视图与几何体性质的结合应用，解题关键是明确三视图各部分对应几何体的实际参数，属于基础综合题，掌握相关几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,在一个正方体的上底面中间位置挖去一个长和宽均为6 cm、深为4 cm的长方体形状的洞,得到的几何体的三视图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
俯视图
.答案
11.俯视图
解析
【分析】解题时首先要明确主视图、左视图、俯视图的定义，再结合轴对称图形、中心对称图形的特征逐一判断三个视图是否符合要求即可。思路步骤：第一步先确定该几何体三个视图的形状，第二步分别判断每个视图是否同时满足轴对称、中心对称的要求，最终得出结论。
【解析】先明确相关定义：
1. 三视图：主视图是从物体正面观察得到的图形，左视图是从物体左面观察得到的图形，俯视图是从物体上面观察得到的图形；
2. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合的图形；
3. 中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能和自身重合的图形。
再逐一分析三个视图：
主视图：整体是边长10cm的正方形，上方可见长6cm、高4cm的凹形轮廓，仅为轴对称图形，旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
左视图：和主视图形状一致，仅为轴对称图形，不是中心对称图形；
俯视图：是边长10cm的正方形，内部中间有一个边长6cm的小正方形，沿对边中点连线、对角线折叠都可重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和原图完全重合，属于中心对称图形。
因此符合要求的是俯视图。
【答案】俯视图
【知识点】三视图的识别,轴对称与中心对称图形判定
【点评】本题将三视图和图形对称性的知识点结合考查，只要能准确判断几何体各视图的形状，结合对称性定义即可顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】先明确相关定义：
1. 三视图：主视图是从物体正面观察得到的图形，左视图是从物体左面观察得到的图形，俯视图是从物体上面观察得到的图形；
2. 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合的图形；
3. 中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能和自身重合的图形。
再逐一分析三个视图：
主视图：整体是边长10cm的正方形，上方可见长6cm、高4cm的凹形轮廓，仅为轴对称图形，旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
左视图：和主视图形状一致，仅为轴对称图形，不是中心对称图形；
俯视图：是边长10cm的正方形，内部中间有一个边长6cm的小正方形，沿对边中点连线、对角线折叠都可重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和原图完全重合，属于中心对称图形。
因此符合要求的是俯视图。
【答案】俯视图
【知识点】三视图的识别,轴对称与中心对称图形判定
【点评】本题将三视图和图形对称性的知识点结合考查，只要能准确判断几何体各视图的形状，结合对称性定义即可顺利求解。
【难度系数】0.7
12. 
，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成（
所示），左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带（）包扎礼盒，估计所需胶带长度至少为
，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成（所示），左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带（）包扎礼盒，估计所需胶带长度至少为297.8 cm
.(结果精确到0.1 cm)答案
12.297.8 cm
解析
【分析】
要计算所需胶带的最小长度，首先要明确胶带的构成：包含沿礼盒侧面竖直方向的6条棱的长度，以及覆盖上下底面正六边形对应边长的总长度。解题思路如下：1. 结合三视图得到正六边形的对边距离和礼盒的高度；2. 利用正六边形的边角性质求出正六边形的边长；3. 分别计算两部分胶带的长度，求和后按要求取近似值即可。
【解析】
由题意结合视图可知，正六边形礼盒的对边距离为60cm，礼盒高度为15cm。
正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，其边心距为对边距离的一半，即$60÷2=30\mathrm{cm}$。
设正六边形边长为$a$，边心距为等边三角形的高，由三角函数关系得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=30$，解得$a=\frac{60}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
胶带总长度分为两部分：
1. 上下底面沿正六边形边长的部分：共覆盖6条正六边形边长，长度为$6a=6×20\sqrt{3}\approx207.84\mathrm{cm}$；
2. 侧面竖直方向的部分：共6条高，长度为$6×15=90\mathrm{cm}$。
总长度为$207.84+90\approx297.8\mathrm{cm}$。
【答案】
297.8 cm
【知识点】
正六边形的性质、解直角三角形、几何体的三视图
【点评】
本题是几何与生活实际结合的题型，解题核心是理清胶带的组成部分，熟练运用正六边形的边角关系计算边长，需要学生具备一定的空间想象能力和视图转化能力。
【难度系数】
0.6
要计算所需胶带的最小长度，首先要明确胶带的构成：包含沿礼盒侧面竖直方向的6条棱的长度，以及覆盖上下底面正六边形对应边长的总长度。解题思路如下：1. 结合三视图得到正六边形的对边距离和礼盒的高度；2. 利用正六边形的边角性质求出正六边形的边长；3. 分别计算两部分胶带的长度，求和后按要求取近似值即可。
【解析】
由题意结合视图可知，正六边形礼盒的对边距离为60cm，礼盒高度为15cm。
正六边形可拆分为6个全等的等边三角形，其边心距为对边距离的一半，即$60÷2=30\mathrm{cm}$。
设正六边形边长为$a$，边心距为等边三角形的高，由三角函数关系得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=30$，解得$a=\frac{60}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
胶带总长度分为两部分：
1. 上下底面沿正六边形边长的部分：共覆盖6条正六边形边长，长度为$6a=6×20\sqrt{3}\approx207.84\mathrm{cm}$；
2. 侧面竖直方向的部分：共6条高，长度为$6×15=90\mathrm{cm}$。
总长度为$207.84+90\approx297.8\mathrm{cm}$。
【答案】
297.8 cm
【知识点】
正六边形的性质、解直角三角形、几何体的三视图
【点评】
本题是几何与生活实际结合的题型，解题核心是理清胶带的组成部分，熟练运用正六边形的边角关系计算边长，需要学生具备一定的空间想象能力和视图转化能力。
【难度系数】
0.6
13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法. 如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，设AB=36 cm，A'B'=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则△OA'B'的面积为
240
cm².答案
13.240
解析
【分析】
首先根据蜡烛和像均竖直放置，可得AB//A'B'，进而判定△OAB与△OA'B'相似；再利用相似三角形对应高的比等于相似比，结合已知的AB长度、A'B'长度和小孔到AB的距离，求出小孔到A'B'的距离；最后根据三角形面积公式计算△OA'B'的面积即可。
【解析】
∵AB、A'B'均竖直放置，
∴AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，
∴△OAB∽△OA'B'。
设小孔O到A'B'的距离为$ h $ cm，
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，即：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{O到AB的距离}}{\mathrm{O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入数据$ AB=36\mathrm{cm} $，$ A'B'=24\mathrm{cm} $，O到AB的距离为30cm，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{h}$
解得$ h=20 $。
则$△ OA'B'$的面积为：
$ S=\frac{1}{2}× A'B'× h=\frac{1}{2}×24×20=240(\mathrm{cm}^2) $
【答案】
240
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合物理中小孔成像的生活场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题关键是准确判断相似三角形，利用相似的性质求出对应高的长度，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据蜡烛和像均竖直放置，可得AB//A'B'，进而判定△OAB与△OA'B'相似；再利用相似三角形对应高的比等于相似比，结合已知的AB长度、A'B'长度和小孔到AB的距离，求出小孔到A'B'的距离；最后根据三角形面积公式计算△OA'B'的面积即可。
【解析】
∵AB、A'B'均竖直放置，
∴AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，
∴△OAB∽△OA'B'。
设小孔O到A'B'的距离为$ h $ cm，
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，即：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{O到AB的距离}}{\mathrm{O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入数据$ AB=36\mathrm{cm} $，$ A'B'=24\mathrm{cm} $，O到AB的距离为30cm，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{h}$
解得$ h=20 $。
则$△ OA'B'$的面积为：
$ S=\frac{1}{2}× A'B'× h=\frac{1}{2}×24×20=240(\mathrm{cm}^2) $
【答案】
240
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合物理中小孔成像的生活场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题关键是准确判断相似三角形，利用相似的性质求出对应高的长度，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
14.如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面展开图的面积为
24π
.(结果保留π)答案
14.24π
解析
【分析】
首先根据三视图判断几何体的形状：若三视图中有两个矩形、一个圆，对应几何体为圆柱。再从视图中提取对应数据：主视图中水平方向的4为圆柱的底面直径，竖直方向的6为圆柱的高。要求侧面展开图的面积，回忆圆柱侧面积公式为底面周长×高，因此先计算底面圆的周长，再和高相乘即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体是圆柱，
可得圆柱底面直径$d=4$，高$h=6$，
圆柱侧面展开图为矩形，面积等于圆柱侧面积，公式为$S_{\mathrm{侧}}=π d · h$，
代入数据计算：$S=π × 4 × 6=24π$。
【答案】
$24π$
【知识点】
三视图识别、圆柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查三视图与几何体的对应关系，以及圆柱侧面积公式的应用，解题核心是准确从三视图中获取圆柱的底面直径和高的数值，牢记公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
首先根据三视图判断几何体的形状：若三视图中有两个矩形、一个圆，对应几何体为圆柱。再从视图中提取对应数据：主视图中水平方向的4为圆柱的底面直径，竖直方向的6为圆柱的高。要求侧面展开图的面积，回忆圆柱侧面积公式为底面周长×高，因此先计算底面圆的周长，再和高相乘即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体是圆柱，
可得圆柱底面直径$d=4$，高$h=6$，
圆柱侧面展开图为矩形，面积等于圆柱侧面积，公式为$S_{\mathrm{侧}}=π d · h$，
代入数据计算：$S=π × 4 × 6=24π$。
【答案】
$24π$
【知识点】
三视图识别、圆柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查三视图与几何体的对应关系，以及圆柱侧面积公式的应用，解题核心是准确从三视图中获取圆柱的底面直径和高的数值，牢记公式即可正确求解。
【难度系数】
0.8
