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4. 提升题▶请你根据图1提供的信息进行下面的计算。
(1)瓶子的容积是多少？
(2)金属球的密度是多少？
(1)瓶子的容积是多少？
(2)金属球的密度是多少？
答案
解：
(1) 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$
根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，瓶子的容积等于装满水时水的体积：
$V = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
(2) 金属球的质量：
$m_{\mathrm{球}} = m_3 - m_1 = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$
装入金属球后，瓶内剩余空间所装水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$
这部分水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积：
$V_{\mathrm{球}} = V - V_{\mathrm{水}}' = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的密度：
$\rho_{\mathrm{球}} = \frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
答：(1) 瓶子的容积是$3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2) 金属球的密度是$3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1) 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$
根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，瓶子的容积等于装满水时水的体积：
$V = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
(2) 金属球的质量：
$m_{\mathrm{球}} = m_3 - m_1 = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$
装入金属球后，瓶内剩余空间所装水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$
这部分水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积：
$V_{\mathrm{球}} = V - V_{\mathrm{水}}' = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的密度：
$\rho_{\mathrm{球}} = \frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
答：(1) 瓶子的容积是$3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2) 金属球的密度是$3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要解决这两个问题，需先明确各质量对应的物理量：
1. 求瓶子容积：空瓶装满水时，水的质量等于“瓶与水的总质量”减去“空瓶质量”，再利用水的密度，通过密度公式计算水的体积，该体积即为瓶子的容积。
2. 求金属球密度：先算出金属球的质量（“瓶与金属球总质量”减空瓶质量）；再算出装入金属球后，瓶内剩余空间装水的质量（“瓶、金属球和水总质量”减“瓶与金属球总质量”），进而算出这部分水的体积；金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积，最后用密度公式计算金属球的密度。
【解析】
解：
(1) 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$
已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，瓶子的容积等于装满水时水的体积：
$V = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
(2) 金属球的质量：
$m_{\mathrm{球}} = m_3 - m_1 = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$
装入金属球后，瓶内剩余空间所装水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$
这部分水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积：
$V_{\mathrm{球}} = V - V_{\mathrm{水}}' = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的密度：
$\rho_{\mathrm{球}} = \frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) 瓶子的容积是$3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2) 金属球的密度是$3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，关键是理清各状态下质量对应的物理量，明确金属球体积与瓶子容积、剩余水体积的关系，属于密度计算的典型提升题，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决这两个问题，需先明确各质量对应的物理量：
1. 求瓶子容积：空瓶装满水时，水的质量等于“瓶与水的总质量”减去“空瓶质量”，再利用水的密度，通过密度公式计算水的体积，该体积即为瓶子的容积。
2. 求金属球密度：先算出金属球的质量（“瓶与金属球总质量”减空瓶质量）；再算出装入金属球后，瓶内剩余空间装水的质量（“瓶、金属球和水总质量”减“瓶与金属球总质量”），进而算出这部分水的体积；金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积，最后用密度公式计算金属球的密度。
【解析】
解：
(1) 空瓶装满水时，水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = m_2 - m_1 = 0.4\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.3\ \mathrm{kg}$
已知水的密度$\rho_{\mathrm{水}}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$，瓶子的容积等于装满水时水的体积：
$V = V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.3\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
(2) 金属球的质量：
$m_{\mathrm{球}} = m_3 - m_1 = 0.8\ \mathrm{kg} - 0.1\ \mathrm{kg} = 0.7\ \mathrm{kg}$
装入金属球后，瓶内剩余空间所装水的质量：
$m_{\mathrm{水}}' = m_4 - m_3 = 0.9\ \mathrm{kg} - 0.8\ \mathrm{kg} = 0.1\ \mathrm{kg}$
这部分水的体积：
$V_{\mathrm{水}}' = \frac{m_{\mathrm{水}}'}{\rho_{\mathrm{水}}} = \frac{0.1\ \mathrm{kg}}{1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3} = 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的体积等于瓶子容积减去这部分水的体积：
$V_{\mathrm{球}} = V - V_{\mathrm{水}}' = 3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 - 1×10^{-4}\ \mathrm{m}^3 = 2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$
金属球的密度：
$\rho_{\mathrm{球}} = \frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{球}}} = \frac{0.7\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3} = 3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
(1) 瓶子的容积是$3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2) 金属球的密度是$3.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、质量体积计算
【点评】
本题考查密度公式的实际应用，关键是理清各状态下质量对应的物理量，明确金属球体积与瓶子容积、剩余水体积的关系，属于密度计算的典型提升题，需要学生具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
5.某同学在眼镜店配眼镜时，发现组成眼镜主要材料的部分技术参数如下表所示。通过性能、价格的比较，他最终选择了由树脂镜片和铜合金镜架组成的眼镜。该同学所戴的眼镜每块树脂镜片的体积为5 cm³，铜合金镜架的质量为16 g。
材料技术参数 | 树脂镜片 | 玻璃镜片 | 铜合金 | 钛合金
透光率 | 92% | 91% | — | —
密度/$(kg· m^{-3})$ | $1.3×10^3$ |
| $8.0×10^3$ | $4.5×10^3$
性能 | 较耐磨损 | 耐磨损 | 较耐腐蚀 | 耐腐蚀
（1）该同学所戴的眼镜的总质量为多少？
（2）该同学所戴的眼镜的镜架是铜合金材质的，若以同样形状的钛合金镜架代替铜合金镜架，镜架的质量可减少多少？
材料技术参数 | 树脂镜片 | 玻璃镜片 | 铜合金 | 钛合金
透光率 | 92% | 91% | — | —
密度/$(kg· m^{-3})$ | $1.3×10^3$ |
| $8.0×10^3$ | $4.5×10^3$性能 | 较耐磨损 | 耐磨损 | 较耐腐蚀 | 耐腐蚀
（1）该同学所戴的眼镜的总质量为多少？
（2）该同学所戴的眼镜的镜架是铜合金材质的，若以同样形状的钛合金镜架代替铜合金镜架，镜架的质量可减少多少？
答案
(1)$\rho_{树脂}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}$
一块树脂镜片的质量：$m_{片}=\rho_{树脂}V_{片}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}×5\ \mathrm{cm^3}=6.5\ \mathrm{g}$
两块镜片总质量：$m_{片总}=2×6.5\ \mathrm{g}=13\ \mathrm{g}$
眼镜总质量：$m_{总}=m_{片总}+m_{镜架}=13\ \mathrm{g}+16\ \mathrm{g}=29\ \mathrm{g}$
(2)$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=8.0\ \mathrm{g/cm^3}$
镜架的体积：$V_{镜架}=\frac{m_{铜架}}{\rho_{铜}}=\frac{16\ \mathrm{g}}{8.0\ \mathrm{g/cm^3}}=2\ \mathrm{cm^3}$
$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}$
同体积钛合金镜架的质量：$m_{钛架}=\rho_{钛}V_{镜架}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=9\ \mathrm{g}$
减少的质量：$\Delta m=m_{铜架}-m_{钛架}=16\ \mathrm{g}-9\ \mathrm{g}=7\ \mathrm{g}$
答：(1)眼镜的总质量为$\boldsymbol{29\ \mathrm{g}}$；(2)镜架的质量可减少$\boldsymbol{7\ \mathrm{g}}$。
一块树脂镜片的质量：$m_{片}=\rho_{树脂}V_{片}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}×5\ \mathrm{cm^3}=6.5\ \mathrm{g}$
两块镜片总质量：$m_{片总}=2×6.5\ \mathrm{g}=13\ \mathrm{g}$
眼镜总质量：$m_{总}=m_{片总}+m_{镜架}=13\ \mathrm{g}+16\ \mathrm{g}=29\ \mathrm{g}$
(2)$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=8.0\ \mathrm{g/cm^3}$
镜架的体积：$V_{镜架}=\frac{m_{铜架}}{\rho_{铜}}=\frac{16\ \mathrm{g}}{8.0\ \mathrm{g/cm^3}}=2\ \mathrm{cm^3}$
$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}$
同体积钛合金镜架的质量：$m_{钛架}=\rho_{钛}V_{镜架}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=9\ \mathrm{g}$
减少的质量：$\Delta m=m_{铜架}-m_{钛架}=16\ \mathrm{g}-9\ \mathrm{g}=7\ \mathrm{g}$
答：(1)眼镜的总质量为$\boldsymbol{29\ \mathrm{g}}$；(2)镜架的质量可减少$\boldsymbol{7\ \mathrm{g}}$。
解析
【分析】要解决这两个问题，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式$m=\rho V$、$V=\frac{m}{\rho}$计算。第(1)问中，眼镜总质量是两块树脂镜片总质量加铜合金镜架质量，需先统一密度与体积的单位，再计算镜片总质量；第(2)问中，镜架体积不变，先由铜合金镜架的质量和密度算出镜架体积，再计算同体积钛合金镜架的质量，两者差值即为减少的质量。
【解析】
(1) 单位转换：树脂镜片的密度$\rho_{树脂}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}$。
单块树脂镜片质量：$m_{片}=\rho_{树脂}V_{片}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}×5\ \mathrm{cm^3}=6.5\ \mathrm{g}$。
两块树脂镜片总质量：$m_{片总}=2×6.5\ \mathrm{g}=13\ \mathrm{g}$。
眼镜总质量：$m_{总}=m_{片总}+m_{镜架}=13\ \mathrm{g}+16\ \mathrm{g}=29\ \mathrm{g}$。
(2) 铜合金密度$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=8.0\ \mathrm{g/cm^3}$，镜架体积：$V_{镜架}=\frac{m_{铜架}}{\rho_{铜}}=\frac{16\ \mathrm{g}}{8.0\ \mathrm{g/cm^3}}=2\ \mathrm{cm^3}$。
钛合金密度$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}$，同体积钛合金镜架质量：$m_{钛架}=\rho_{钛}V_{镜架}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=9\ \mathrm{g}$。
镜架减少的质量：$\Delta m=m_{铜架}-m_{钛架}=16\ \mathrm{g}-9\ \mathrm{g}=7\ \mathrm{g}$。
【答案】(1)29 g；(2)7 g
【知识点】密度公式应用、质量计算
【点评】本题结合眼镜材料考查密度公式的实际应用，关键是统一单位和公式变形，属于基础力学题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 单位转换：树脂镜片的密度$\rho_{树脂}=1.3×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}$。
单块树脂镜片质量：$m_{片}=\rho_{树脂}V_{片}=1.3\ \mathrm{g/cm^3}×5\ \mathrm{cm^3}=6.5\ \mathrm{g}$。
两块树脂镜片总质量：$m_{片总}=2×6.5\ \mathrm{g}=13\ \mathrm{g}$。
眼镜总质量：$m_{总}=m_{片总}+m_{镜架}=13\ \mathrm{g}+16\ \mathrm{g}=29\ \mathrm{g}$。
(2) 铜合金密度$\rho_{铜}=8.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=8.0\ \mathrm{g/cm^3}$，镜架体积：$V_{镜架}=\frac{m_{铜架}}{\rho_{铜}}=\frac{16\ \mathrm{g}}{8.0\ \mathrm{g/cm^3}}=2\ \mathrm{cm^3}$。
钛合金密度$\rho_{钛}=4.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}$，同体积钛合金镜架质量：$m_{钛架}=\rho_{钛}V_{镜架}=4.5\ \mathrm{g/cm^3}×2\ \mathrm{cm^3}=9\ \mathrm{g}$。
镜架减少的质量：$\Delta m=m_{铜架}-m_{钛架}=16\ \mathrm{g}-9\ \mathrm{g}=7\ \mathrm{g}$。
【答案】(1)29 g；(2)7 g
【知识点】密度公式应用、质量计算
【点评】本题结合眼镜材料考查密度公式的实际应用，关键是统一单位和公式变形，属于基础力学题，难度适中。
【难度系数】0.7
