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5. (1)若$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+2x$，则$xy$的值为________。
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$a$，$b$满足$\sqrt{a-1}+b^2-4b+4=0$。求$c$的取值范围。
(2)已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$a$，$b$满足$\sqrt{a-1}+b^2-4b+4=0$。求$c$的取值范围。
答案
(1) 8
(2) $1＜c＜3$
(2) $1＜c＜3$
解析
【分析】
(1) 求解本题首先要依据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此列出关于x的不等式组，求出x的取值后确定x的值，再代入原式求出y的值，最后计算xy即可。
(2) 先将等式中的多项式部分利用完全平方公式变形，得到两个非负数相加等于0的形式，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求出c的取值范围。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0 \end{cases}$
解不等式组得$x≥2$且$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入原式得：$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+2×2=0+0+4=4$
所以$xy=2×4=8$。
(2) 先对等式变形：
$\sqrt{a-1}+b^2-4b+4=\sqrt{a-1}+(b-2)^2=0$
∵$\sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，两个非负数的和为0，
∴$\begin{cases}a-1=0 \\b-2=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\b=2 \end{cases}$
根据三角形三边关系，第三边c满足：$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入得$2-1 ＜ c ＜ 1+2$，即$1 ＜ c ＜ 3$。
【答案】
(1) 8
(2) $1＜c＜3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次根式相关性质的应用，解题的核心是熟练掌握二次根式被开方数非负、非负数和为0的性质，结合对应规则计算即可，易错点是求解三角形第三边范围时容易忽略两边之差大于第三边的限制。
【难度系数】
0.8
(1) 求解本题首先要依据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此列出关于x的不等式组，求出x的取值后确定x的值，再代入原式求出y的值，最后计算xy即可。
(2) 先将等式中的多项式部分利用完全平方公式变形，得到两个非负数相加等于0的形式，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，求出a、b的值，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求出c的取值范围。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足：
$\begin{cases}x-2≥0 \\2-x≥0 \end{cases}$
解不等式组得$x≥2$且$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入原式得：$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+2×2=0+0+4=4$
所以$xy=2×4=8$。
(2) 先对等式变形：
$\sqrt{a-1}+b^2-4b+4=\sqrt{a-1}+(b-2)^2=0$
∵$\sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，两个非负数的和为0，
∴$\begin{cases}a-1=0 \\b-2=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\b=2 \end{cases}$
根据三角形三边关系，第三边c满足：$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入得$2-1 ＜ c ＜ 1+2$，即$1 ＜ c ＜ 3$。
【答案】
(1) 8
(2) $1＜c＜3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次根式相关性质的应用，解题的核心是熟练掌握二次根式被开方数非负、非负数和为0的性质，结合对应规则计算即可，易错点是求解三角形第三边范围时容易忽略两边之差大于第三边的限制。
【难度系数】
0.8
6. 用4个边长为2的正方形，1个边长为1的正方形，4个长为2、宽为1的长方形可以拼成一个大正方形吗？如果能拼成，请画出所拼大正方形的示意图，并直接写出大正方形的边长.
答案
能，示意图略. 大正方形的边长为5.
解析
【分析】
要判断给定的图形能否拼成大正方形，核心依据是拼接前后图形的总面积保持不变。我们可以先计算所有小图形的总面积，若这个总面积是某个正有理数的平方，就存在对应边长的大正方形，即可实现拼接。接下来先计算各类图形的面积之和，再通过算术平方根的计算推导大正方形的边长，验证是否符合拼接要求。
【解析】
解：首先计算所有待拼接图形的总面积：
1. 4个边长为2的正方形的总面积：$4×(2×2)=4×4=16$
2. 1个边长为1的正方形的面积：$1×1=1$
3. 4个长为2、宽为1的长方形的总面积：$4×(2×1)=4×2=8$
所有图形的总面积为：$16+1+8=25$
设拼成的大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=25$。
由算术平方根的定义，得$a=\sqrt{25}=5$，边长为正整数，符合拼接要求。
因此可以拼成大正方形，示意图略。
【答案】
能，示意图略，大正方形的边长为5。
【知识点】
面积守恒原理，算术平方根计算，图形拼接
【点评】
本题通过图形拼接的场景考查对面积不变规律和算术平方根的应用，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的核心，将图形问题转化为算术平方根的计算问题，掌握该思路就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
要判断给定的图形能否拼成大正方形，核心依据是拼接前后图形的总面积保持不变。我们可以先计算所有小图形的总面积，若这个总面积是某个正有理数的平方，就存在对应边长的大正方形，即可实现拼接。接下来先计算各类图形的面积之和，再通过算术平方根的计算推导大正方形的边长，验证是否符合拼接要求。
【解析】
解：首先计算所有待拼接图形的总面积：
1. 4个边长为2的正方形的总面积：$4×(2×2)=4×4=16$
2. 1个边长为1的正方形的面积：$1×1=1$
3. 4个长为2、宽为1的长方形的总面积：$4×(2×1)=4×2=8$
所有图形的总面积为：$16+1+8=25$
设拼成的大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=25$。
由算术平方根的定义，得$a=\sqrt{25}=5$，边长为正整数，符合拼接要求。
因此可以拼成大正方形，示意图略。
【答案】
能，示意图略，大正方形的边长为5。
【知识点】
面积守恒原理，算术平方根计算，图形拼接
【点评】
本题通过图形拼接的场景考查对面积不变规律和算术平方根的应用，解题的关键是抓住拼接前后总面积不变的核心，将图形问题转化为算术平方根的计算问题，掌握该思路就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
7. (1)填写下表. 你发现了什么规律?
(2)利用规律计算: 已知$\sqrt{15}=k$，$\sqrt{0.15}=a$，$\sqrt{1500}=b$，则$a=$
(3)如果$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，那么$x$的值为
(2)利用规律计算: 已知$\sqrt{15}=k$，$\sqrt{0.15}=a$，$\sqrt{1500}=b$，则$a=$
$0.1k$
，$b=$$10k$
. (用含$k$的代数式分别表示)(3)如果$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，那么$x$的值为
70 000
.答案
(1) 0.01，0.1，1，10，100. 规律略.
(2) $0.1k$，$10k$
(3) 70 000
(2) $0.1k$，$10k$
(3) 70 000
解析
【分析】
第(1)问根据算术平方根的定义，分别计算每个a对应的算术平方根填入表格，再观察被开方数a和它的算术平方根√a的小数点移动规律即可；第(2)问直接使用第(1)问总结的规律，对比0.15、1500与15的小数点移动位数，就能得到a、b和k的关系；第(3)问可以逆用规律，也可以将100√7转化为带根号的形式，直接得到x的值。
【解析】
(1) 计算对应算术平方根：
$\sqrt{0.0001}=0.01$，$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{1}=1$，$\sqrt{100}=10$，$\sqrt{10000}=100$。
规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
(2) 已知$\sqrt{15}=k$，0.15是将15的小数点向左移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向左移动1位，故$a=0.1k$；1500是将15的小数点向右移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向右移动1位，故$b=10k$。
(3) 因为$100\sqrt{7}=\sqrt{100^2×7}=\sqrt{10000×7}=\sqrt{70000}$，又$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，所以$x=70000$。
【答案】
(1) 0.01，0.1，1，10，100；规律：被开方数小数点每向左/右移动2位，算术平方根小数点对应向左/右移动1位
(2) $0.1k$，$10k$
(3) $70000$
【知识点】
算术平方根的计算，算术平方根的变化规律
【点评】
本题围绕算术平方根的性质展开，核心是掌握被开方数和它的算术平方根的小数点移动的对应关系，熟练运用该规律可以快速解决根式换算类问题，也能为后续根式估算打下基础。
【难度系数】
0.7
第(1)问根据算术平方根的定义，分别计算每个a对应的算术平方根填入表格，再观察被开方数a和它的算术平方根√a的小数点移动规律即可；第(2)问直接使用第(1)问总结的规律，对比0.15、1500与15的小数点移动位数，就能得到a、b和k的关系；第(3)问可以逆用规律，也可以将100√7转化为带根号的形式，直接得到x的值。
【解析】
(1) 计算对应算术平方根：
$\sqrt{0.0001}=0.01$，$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{1}=1$，$\sqrt{100}=10$，$\sqrt{10000}=100$。
规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
(2) 已知$\sqrt{15}=k$，0.15是将15的小数点向左移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向左移动1位，故$a=0.1k$；1500是将15的小数点向右移动2位得到的，对应算术平方根的小数点向右移动1位，故$b=10k$。
(3) 因为$100\sqrt{7}=\sqrt{100^2×7}=\sqrt{10000×7}=\sqrt{70000}$，又$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，所以$x=70000$。
【答案】
(1) 0.01，0.1，1，10，100；规律：被开方数小数点每向左/右移动2位，算术平方根小数点对应向左/右移动1位
(2) $0.1k$，$10k$
(3) $70000$
【知识点】
算术平方根的计算，算术平方根的变化规律
【点评】
本题围绕算术平方根的性质展开，核心是掌握被开方数和它的算术平方根的小数点移动的对应关系，熟练运用该规律可以快速解决根式换算类问题，也能为后续根式估算打下基础。
【难度系数】
0.7
8. 如图，图①是由5个边长为1的小正方形组成的“十”字形，按图②所示的方式连线后，把图②中4个无底色直角三角形对应剪拼到4个涂色直角三角形的位置，从而得到图③。
(1)求图②中1个无底色直角三角形的面积。
(2)求图③中大正方形的边长。
(1)求图②中1个无底色直角三角形的面积。
(2)求图③中大正方形的边长。
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 求无底色直角三角形的面积，首先要确定它的两条直角边长度：观察图形可得，该直角三角形的一条直角边等于小正方形的边长1，另一条直角边为小正方形边长的一半即$\frac{1}{2}$，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 图形剪拼前后总面积不变，因此图③大正方形的面积等于图①“十”字形的总面积，先算出总面积后，再根据正方形面积与边长的关系，求总面积的算术平方根即可得到大正方形的边长。
【解析】
(1) 由题意可知，无底色直角三角形的两条直角边长度分别为$1$和$\frac{1}{2}$，
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为两条直角边），
可得单个三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
(2) 剪拼前后图形总面积不变，因此图③大正方形的面积等于图①中5个边长为1的小正方形的面积和：
$S_{\mathrm{大正方形}} = 5 × 1 × 1 = 5$，
设大正方形的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式$a^2=S$得：
$a=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
三角形面积计算，剪拼等积性，算术平方根应用
【点评】
本题结合图形剪拼考查基础的面积计算和平方根的实际应用，解题核心是抓住剪拼过程中面积不变的特点，同时需要准确观察图形得到直角三角形的边长，注重对基础概念和几何观察能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求无底色直角三角形的面积，首先要确定它的两条直角边长度：观察图形可得，该直角三角形的一条直角边等于小正方形的边长1，另一条直角边为小正方形边长的一半即$\frac{1}{2}$，再代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 图形剪拼前后总面积不变，因此图③大正方形的面积等于图①“十”字形的总面积，先算出总面积后，再根据正方形面积与边长的关系，求总面积的算术平方根即可得到大正方形的边长。
【解析】
(1) 由题意可知，无底色直角三角形的两条直角边长度分别为$1$和$\frac{1}{2}$，
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为两条直角边），
可得单个三角形的面积为：$\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
(2) 剪拼前后图形总面积不变，因此图③大正方形的面积等于图①中5个边长为1的小正方形的面积和：
$S_{\mathrm{大正方形}} = 5 × 1 × 1 = 5$，
设大正方形的边长为$a$（$a＞0$），由正方形面积公式$a^2=S$得：
$a=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\sqrt{5}$
【知识点】
三角形面积计算，剪拼等积性，算术平方根应用
【点评】
本题结合图形剪拼考查基础的面积计算和平方根的实际应用，解题核心是抓住剪拼过程中面积不变的特点，同时需要准确观察图形得到直角三角形的边长，注重对基础概念和几何观察能力的考查。
【难度系数】
0.7
