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9. 已知$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$，小明计算“$2A+B$”，算得结果$C=4a^2b - 3ab^2 + 4abc$。
(1) 计算$B$的表达式。
(2) 求出$2A - B$的结果。
(3) 小强同学说(2)中的结果大小与$c$的取值无关，对吗？若$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$，求(2)中式子的值。
(1) 计算$B$的表达式。
(2) 求出$2A - B$的结果。
(3) 小强同学说(2)中的结果大小与$c$的取值无关，对吗？若$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$，求(2)中式子的值。
答案
解：
(1) 由题意得：
$\begin{aligned}B&=C - 2A\\&=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)\\&=4a^2b - 3ab^2 + 4abc - 6a^2b + 4ab^2 - 2abc\\&=-2a^2b + ab^2 + 2abc\end{aligned}$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$、$B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A - B&=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)\\&=6a^2b - 4ab^2 + 2abc + 2a^2b - ab^2 - 2abc\\&=8a^2b - 5ab^2\end{aligned}$
(3) 因为化简后的$2A-B$的表达式中不含字母$c$，所以小强的说法是对的，结果大小与$c$的取值无关。
将$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$代入$8a^2b - 5ab^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2\\&=8×\frac{1}{64}×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×\frac{1}{25}\\&=\frac{1}{40} - \frac{1}{40}\\&=0\end{aligned}$
综上，(1) $B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$；(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$；(3) 小强的说法正确，式子的值为0。
(1) 由题意得：
$\begin{aligned}B&=C - 2A\\&=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)\\&=4a^2b - 3ab^2 + 4abc - 6a^2b + 4ab^2 - 2abc\\&=-2a^2b + ab^2 + 2abc\end{aligned}$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$、$B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A - B&=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)\\&=6a^2b - 4ab^2 + 2abc + 2a^2b - ab^2 - 2abc\\&=8a^2b - 5ab^2\end{aligned}$
(3) 因为化简后的$2A-B$的表达式中不含字母$c$，所以小强的说法是对的，结果大小与$c$的取值无关。
将$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$代入$8a^2b - 5ab^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2\\&=8×\frac{1}{64}×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×\frac{1}{25}\\&=\frac{1}{40} - \frac{1}{40}\\&=0\end{aligned}$
综上，(1) $B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$；(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$；(3) 小强的说法正确，式子的值为0。
解析
【分析】
(1) 已知$2A+B=C$，根据加法各部分的关系可得$B=C-2A$，将已知的$A$、$C$表达式代入，先利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可求出$B$，注意去括号时括号前为负号，括号内各项要变号。
(2) 求$2A-B$时，将$A$和第(1)问求出的$B$代入式子，同样先去括号再合并同类项得到化简结果。
(3) 判断结果与$c$是否有关，只需看化简后的$2A-B$中是否含有字母$c$，若不含则与$c$取值无关；再将$a$、$b$的值代入化简后的式子，按有理数运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得$2A+B=C$，因此：
$\begin{aligned}B&=C - 2A\\&=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)\\&=4a^2b - 3ab^2 + 4abc - 6a^2b + 4ab^2 - 2abc\\&=-2a^2b + ab^2 + 2abc\end{aligned}$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$、$B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A - B&=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)\\&=6a^2b - 4ab^2 + 2abc + 2a^2b - ab^2 - 2abc\\&=8a^2b - 5ab^2\end{aligned}$
(3) 化简后的$2A-B=8a^2b - 5ab^2$，式子中不含字母$c$，因此结果的大小与$c$的取值无关，小强的说法正确。
将$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$代入$8a^2b - 5ab^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2\\&=8×\frac{1}{64}×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×\frac{1}{25}\\&=\frac{1}{40} - \frac{1}{40}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$；
(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$；
(3) 小强的说法正确，式子的值为$0$。
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，解题时需注意代入多项式运算时要先给多项式加括号，避免出现符号错误；判断代数式与某个字母取值无关的关键是看化简后的代数式中是否含有该字母，是整式加减应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$2A+B=C$，根据加法各部分的关系可得$B=C-2A$，将已知的$A$、$C$表达式代入，先利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可求出$B$，注意去括号时括号前为负号，括号内各项要变号。
(2) 求$2A-B$时，将$A$和第(1)问求出的$B$代入式子，同样先去括号再合并同类项得到化简结果。
(3) 判断结果与$c$是否有关，只需看化简后的$2A-B$中是否含有字母$c$，若不含则与$c$取值无关；再将$a$、$b$的值代入化简后的式子，按有理数运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得$2A+B=C$，因此：
$\begin{aligned}B&=C - 2A\\&=(4a^2b - 3ab^2 + 4abc) - 2(3a^2b - 2ab^2 + abc)\\&=4a^2b - 3ab^2 + 4abc - 6a^2b + 4ab^2 - 2abc\\&=-2a^2b + ab^2 + 2abc\end{aligned}$
(2) 将$A=3a^2b - 2ab^2 + abc$、$B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$代入$2A-B$：
$\begin{aligned}2A - B&=2(3a^2b - 2ab^2 + abc) - (-2a^2b + ab^2 + 2abc)\\&=6a^2b - 4ab^2 + 2abc + 2a^2b - ab^2 - 2abc\\&=8a^2b - 5ab^2\end{aligned}$
(3) 化简后的$2A-B=8a^2b - 5ab^2$，式子中不含字母$c$，因此结果的大小与$c$的取值无关，小强的说法正确。
将$a=\frac{1}{8}, b=\frac{1}{5}$代入$8a^2b - 5ab^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2\\&=8×\frac{1}{64}×\frac{1}{5} - 5×\frac{1}{8}×\frac{1}{25}\\&=\frac{1}{40} - \frac{1}{40}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $B=-2a^2b + ab^2 + 2abc$；
(2) $2A-B=8a^2b - 5ab^2$；
(3) 小强的说法正确，式子的值为$0$。
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的常规题型，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，解题时需注意代入多项式运算时要先给多项式加括号，避免出现符号错误；判断代数式与某个字母取值无关的关键是看化简后的代数式中是否含有该字母，是整式加减应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
10. 阅读与思考
下面是小颖同学数学小论文的一部分,请你认真阅读,并完成相应的任务。
高明的“字母表示数”
张景中院士说:“代数比算术高明,高明在一个‘代’字上,用字母来代替数,会使我们打开眼界……‘代’的方法用途很广,它可以把已知与未知联系起来,把普遍与特殊联系起来,把复杂的式子变得简单而易于观察,把平凡的事实弄得花样翻新便于应用。”
例如,很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律,这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示。
半和数:一个三位正整数,如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半,我们称这个三位正整数为半和数。
例如,三位正整数234中,因为 $3=\frac{1}{2}×(2+4)$,所以234是半和数;又如369中,因为 $6=\frac{1}{2}×(3+9)$,所以369也是半和数……
任务:
(1)已知一个三位数是“半和数”,若它的百位数字是7,个位数字是1,则这个数是;若它的百位数字为$a$,个位数字为0,则十位数字为,这个数为(用含$a$的代数式表示)。
(2)请从下面A、B两题中任选一题作答。我选择题。
A. 小颖发现任意一个“半和数”都能被3整除。请你判断这一结论是否正确,并说明理由。
B. 小颖发现任意一个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”,然后将新“半和数”与原“半和数”相加,结果都是111的倍数。请你判断这一结论是否正确,并说明理由。
下面是小颖同学数学小论文的一部分,请你认真阅读,并完成相应的任务。
高明的“字母表示数”
张景中院士说:“代数比算术高明,高明在一个‘代’字上,用字母来代替数,会使我们打开眼界……‘代’的方法用途很广,它可以把已知与未知联系起来,把普遍与特殊联系起来,把复杂的式子变得简单而易于观察,把平凡的事实弄得花样翻新便于应用。”
例如,很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律,这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示。
半和数:一个三位正整数,如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半,我们称这个三位正整数为半和数。
例如,三位正整数234中,因为 $3=\frac{1}{2}×(2+4)$,所以234是半和数;又如369中,因为 $6=\frac{1}{2}×(3+9)$,所以369也是半和数……
任务:
(1)已知一个三位数是“半和数”,若它的百位数字是7,个位数字是1,则这个数是;若它的百位数字为$a$,个位数字为0,则十位数字为,这个数为(用含$a$的代数式表示)。
(2)请从下面A、B两题中任选一题作答。我选择题。
A. 小颖发现任意一个“半和数”都能被3整除。请你判断这一结论是否正确,并说明理由。
B. 小颖发现任意一个“半和数”的个位数字和百位数字调换得到一个新“半和数”,然后将新“半和数”与原“半和数”相加,结果都是111的倍数。请你判断这一结论是否正确,并说明理由。
答案
解：
(1) 十位数字为$\frac{1}{2}×(7+1)=4$，则这个数是$\boldsymbol{741}$；
百位数字为$a$，个位数字为0时，十位数字为$\boldsymbol{\frac{a}{2}}$；
这个三位数为$100a + 10×\frac{a}{2} + 0 = \boldsymbol{105a}$。
(2) 我选择$\boldsymbol{A}$题。
该结论正确，理由如下：
设任意一个半和数的百位数字为$a$，个位数字为$b$，根据半和数定义，它的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，其中$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，且$a+b$为偶数。
则这个三位半和数可表示为：
$\begin{aligned}100a + 10×\frac{1}{2}(a+b) + b&=100a +5a +5b +b\\&=105a +6b\\&=3(35a + 2b)\end{aligned}$
因为$a,b$是整数，所以$35a+2b$是整数，因此这个半和数是3的倍数，即任意一个“半和数”都能被3整除，结论正确。
(1) 十位数字为$\frac{1}{2}×(7+1)=4$，则这个数是$\boldsymbol{741}$；
百位数字为$a$，个位数字为0时，十位数字为$\boldsymbol{\frac{a}{2}}$；
这个三位数为$100a + 10×\frac{a}{2} + 0 = \boldsymbol{105a}$。
(2) 我选择$\boldsymbol{A}$题。
该结论正确，理由如下：
设任意一个半和数的百位数字为$a$，个位数字为$b$，根据半和数定义，它的十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$，其中$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，且$a+b$为偶数。
则这个三位半和数可表示为：
$\begin{aligned}100a + 10×\frac{1}{2}(a+b) + b&=100a +5a +5b +b\\&=105a +6b\\&=3(35a + 2b)\end{aligned}$
因为$a,b$是整数，所以$35a+2b$是整数，因此这个半和数是3的倍数，即任意一个“半和数”都能被3整除，结论正确。
解析
【分析】
解决本题的核心是准确理解“半和数”的定义，再结合三位数的表示方法、整式化简的知识逐步求解：
(1) 第一小问已知百位和个位数字，直接根据“十位数字是百位与个位数字之和的一半”计算十位，再组合为三位数即可；第二小问用字母代替数字，同样先按定义求十位，再根据“三位数=100×百位+10×十位+个位”列代数式化简。
(2) 若选A题，我们可以用字母分别表示半和数的百位、个位数字，按定义写出十位数字后，用代数式表示出整个三位数，再将代数式化简，判断是否含有因数3，即可验证结论是否正确。
【解析】
(1) ①当百位数字是7，个位数字是1时，十位数字为$\frac{1}{2}×(7+1)=4$，因此这个三位数为$7×100 + 4×10 + 1 = 741$；
②当百位数字为$a$，个位数字为0时，十位数字为$\frac{1}{2}×(a+0)=\frac{a}{2}$；
③这个三位数可表示为：$100a + 10×\frac{a}{2} + 0 = 100a +5a = 105a$。
(2) 选择A题，该结论正确，理由如下：
设任意一个“半和数”的百位数字为$a$，个位数字为$b$（$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，且$a+b$为偶数），根据“半和数”的定义，十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$。
则这个三位半和数可表示为：
$\begin{aligned}100a + 10×\frac{1}{2}(a+b) + b &= 100a + 5(a+b) + b \\&= 100a + 5a + 5b + b \\&= 105a + 6b \\&= 3(35a + 2b)\end{aligned}$
由于$a$、$b$均为整数，因此$35a+2b$也是整数，说明这个半和数含有因数3，即任意一个“半和数”都能被3整除，结论正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{741}$；$\boldsymbol{\frac{a}{2}}$；$\boldsymbol{105a}$
(2) $\boldsymbol{A}$，结论正确，理由见解析。
【知识点】
新定义应用，整式化简，数的整除
【点评】
本题结合有趣的新定义考查代数知识的应用，既需要学生准确理解新规则，也需要熟练掌握整式的化简运算，能很好地锻炼学生用字母表示数、通过代数推导验证数字规律的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是准确理解“半和数”的定义，再结合三位数的表示方法、整式化简的知识逐步求解：
(1) 第一小问已知百位和个位数字，直接根据“十位数字是百位与个位数字之和的一半”计算十位，再组合为三位数即可；第二小问用字母代替数字，同样先按定义求十位，再根据“三位数=100×百位+10×十位+个位”列代数式化简。
(2) 若选A题，我们可以用字母分别表示半和数的百位、个位数字，按定义写出十位数字后，用代数式表示出整个三位数，再将代数式化简，判断是否含有因数3，即可验证结论是否正确。
【解析】
(1) ①当百位数字是7，个位数字是1时，十位数字为$\frac{1}{2}×(7+1)=4$，因此这个三位数为$7×100 + 4×10 + 1 = 741$；
②当百位数字为$a$，个位数字为0时，十位数字为$\frac{1}{2}×(a+0)=\frac{a}{2}$；
③这个三位数可表示为：$100a + 10×\frac{a}{2} + 0 = 100a +5a = 105a$。
(2) 选择A题，该结论正确，理由如下：
设任意一个“半和数”的百位数字为$a$，个位数字为$b$（$1≤a≤9$，$0≤b≤9$，且$a+b$为偶数），根据“半和数”的定义，十位数字为$\frac{1}{2}(a+b)$。
则这个三位半和数可表示为：
$\begin{aligned}100a + 10×\frac{1}{2}(a+b) + b &= 100a + 5(a+b) + b \\&= 100a + 5a + 5b + b \\&= 105a + 6b \\&= 3(35a + 2b)\end{aligned}$
由于$a$、$b$均为整数，因此$35a+2b$也是整数，说明这个半和数含有因数3，即任意一个“半和数”都能被3整除，结论正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{741}$；$\boldsymbol{\frac{a}{2}}$；$\boldsymbol{105a}$
(2) $\boldsymbol{A}$，结论正确，理由见解析。
【知识点】
新定义应用，整式化简，数的整除
【点评】
本题结合有趣的新定义考查代数知识的应用，既需要学生准确理解新规则，也需要熟练掌握整式的化简运算，能很好地锻炼学生用字母表示数、通过代数推导验证数字规律的能力。
【难度系数】
0.7
