【变式2】求证：“$a^{2}+b^{2}+c^{2}= ab+ac+bc$”是“$\triangle ABC$是等边三角形”的充要条件(这里a,b,c分别是$\triangle ABC$的三边的边长)。

证明:充分性:由$a²+b²+c²=ab+ac+bc$,
得$2(a²+b²+c²)=2ab+2ac+2bc$.
　整理,得$(a−b)²+(a−c)²+(b−c)²=0$,
　所以$a=b=c$,即$\triangle ABC$是等边三角形.
　必要性:因为$\triangle ABC$是等边三角形,所以$a=b=c$,
　所以$a²+b²+c²=ab+ac+bc$.
　综上,“$a²+b²+c²=ab+ac+bc$”是“$\triangle ABC$是等边三角形”的充要条件.

【典例3】设集合$A= \{ x|-2≤x≤10\} ,B= \{ x|1-m≤x≤1+m\}$,命题$p:x∈A$,命题$q:x∈B$。
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围。
解题指导 (1)根据p是q的充分不必要条件,得$A\subsetneqq B$,列出不等式(组)求解。
(2)根据p是q的必要不充分条件,得$B\subsetneqq A$,列出不等式(组)求解。
注意：需要验证等号是否能取到。
答案 解：(1)由p是q的充分不必要条件,得$A\subsetneqq B$,所以$\left\{\begin{array}{l} 1+m≥1-m,\\ 1-m≤-2,\\ 1+m≥10.\end{array}\right.$
经验证,不等式组中“$1-m≤-2$”和“$1+m≥10$”的等号不同时成立(若同时成立,则$A= B$,为充要条件),解得$m≥9$,符合题意,所以实数m的取值范围是$\{ m|m≥9\}$。
(2)由p是q的必要不充分条件,得$B\subsetneqq A$。
①当$B= \{ x|1-m≤x≤1+m\} = \varnothing$,即$1-m＞1+m$,即$m＜0$时,符合题意；
②当$B≠\varnothing$,即$m≥0$时,得$\left\{\begin{array}{l} 1-m≥-2,\\ 1+m≤10.\end{array}\right.$
经验证,不等式组中“$1-m≥-2$”和“$1+m≤10$”的等号不同时成立,解得$0≤m≤3$,符合题意。
综上,实数m的取值范围是$\{ m|m≤3\}$。

(1)实数$m$的取值范围是$\{ m|m\geq9\}$。
(2)实数$m$的取值范围是$\{ m|m\leq3\}$。

【变式3】设集合$A= \{ x|-1\lt x\lt 3\} ,B= \{ x|1-m\lt x\lt m+1,m＞0\}$,命题$p:x∈A$,命题$q:x∈B$。
(1)若p是q的充要条件,求实数m的值；
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围。

解:(1)由$p$是$q$的充要条件,得$A=B$,所以$\left\{\begin{array}{l} 1-m=-1,\\ m+1=3,\end{array}\right. $解得$m=2$,
　所以实数$m$的值为2.
　(2)由$p$是$q$的充分不必要条件,得$A\subsetneqq B$.
　由题意,得$\left\{\begin{array}{l} m＞0,①\\ 1-m＜-1,②\\ m+1＞3,③\end{array}\right. $(②和③均不取等号.若②和③的等号同时成立,此时$m=2$,集合$A=B$,$p$是$q$的充要条件,不符合题意)解不等式组,得$m＞2$,
　所以实数$m$的取值范围是$\{ m|m＞2\} $.