9. 下列一元二次方程中,两根之和为－4 的是 （ ）
A. $x^2 - 4x + 4 = 0$
B. $x^2 + 2x - 4 = 0$
C. $x^2 + 4x - 5 = 0$
D. $x^2 + 4x + 10 = 0$

C

10. 若$ m、n $是一元二次方程$ x^2 + 4x - 9 = 0 $的两个根，则$ m^2 + 5m + n $的值是 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 12

B

11. 已知一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$的两根分别是$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的最大值为______．

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12. (2023·达州)已知$x_1$、$x_2$是方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，则$k=$______．

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13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2k - 1)x - k - 1 = 0 $。
(1)求证:无论 $ k $ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $,且 $ x_1 + x_2 - 4x_1x_2 = 2 $,求 $ k $ 的值.

(1)证明：对于方程$x^{2}+(2k - 1)x - k - 1 = 0，$其中$a = 1，$$b = 2k - 1，$$c = - k - 1。$ $\Delta=b^{2}-4ac=(2k - 1)^{2}-4\times1\times(-k - 1)=4k^{2}-4k + 1 + 4k + 4=4k^{2}+5。$ 因为$k^{2}\geq0，$所以$4k^{2}+5＞0，$无论$k$取何值，此方程总有两个不相等的实数根。 (2)解：由根与系数的关系得$x_1 + x_2=-(2k - 1)=1 - 2k，$$x_1x_2=-k - 1。$ 因为$x_1 + x_2-4x_1x_2 = 2，$所以$1 - 2k-4\times(-k - 1)=2，$ 即$1 - 2k + 4k + 4 = 2，$$2k+5 = 2，$$2k=-3，$解得$k=-\frac{3}{2}。$

14. 已知关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + bx + 2 = 0(a＜0) $。
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根。
(2)设该方程两个不相等的实数根分别为$ x_1 $、$ x_2 $，且$ x_2 = -2x_1 $，求证:$ a + b^2 = 0 $。

(1)证明：对于方程$ax^{2}+bx + 2 = 0(a＜0)，$$\Delta=b^{2}-4a\times2=b^{2}-8a。$ 因为$a＜0，$所以$-8a＞0，$又$b^{2}\geq0，$所以$b^{2}-8a＞0，$该方程总有两个不相等的实数根。 (2)证明：因为$x_1$、$x_2$是方程$ax^{2}+bx + 2 = 0(a＜0)$的两根，所以$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}，$$x_1x_2=\frac{2}{a}。$ 又因为$x_2=-2x_1，$所以$x_1+(-2x_1)=-\frac{b}{a}，$即$-x_1=-\frac{b}{a}，$$x_1=\frac{b}{a}；$$x_1\times(-2x_1)=\frac{2}{a}，$即$-2x_1^{2}=\frac{2}{a}。$ 把$x_1=\frac{b}{a}$代入$-2x_1^{2}=\frac{2}{a}$得：$-2\times(\frac{b}{a})^{2}=\frac{2}{a}，$两边同时乘以$-\frac{a}{2}$得$(\frac{b}{a})^{2}=-\frac{1}{a}，$即$\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{a}，$两边同乘$a^{2}$得$b^{2}=-a，$所以$a + b^{2}=0。$

15. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + 2m - 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1)若 $ x_1 = 1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2)是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{6}{m - 5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由。

(1)解：因为方程$x^{2}-6x + 2m - 1 = 0$有两个实数根$x_1$、$x_2，$所以$\Delta = (-6)^{2}-4\times1\times(2m - 1)\geq0，$ 即$36-8m + 4\geq0，$$40-8m\geq0，$$8m\leq40，$解得$m\leq5。$ 由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 6，$$x_1x_2 = 2m - 1。$ 因为$x_1 = 1，$所以$1 + x_2 = 6，$解得$x_2 = 5；$$1\times x_2 = 2m - 1，$即$5 = 2m - 1，$$2m = 6，$解得$m = 3。$ (2)解：存在。
因为$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=\frac{6}{m - 5}，$所以$x_1x_2-(x_1 + x_2)+1=\frac{6}{m - 5}。$ 即$2m - 1-6 + 1=\frac{6}{m - 5}，$$2m - 6=\frac{6}{m - 5}，$两边同时乘以$m - 5$得$(2m - 6)(m - 5)=6。$ 展开得$2m^{2}-10m-6m + 30 = 6，$$2m^{2}-16m + 24 = 0，$两边同时除以$2$得$m^{2}-8m + 12 = 0。$ 因式分解得$(m - 2)(m - 6)=0，$解得$m_1 = 2，$$m_2 = 6。$ 由
(1)得$m\leq5，$又由分式有意义得$m\neq5，$所以$m = 2。$