8. 已知A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h. 如图是甲、乙两人行驶路程$y_甲$(km)，$y_乙$(km)随行驶时间x(h)变化的图象. 请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲的速度为________km/h；
（2）分别求出$y_甲$，$y_乙$与x之间的函数表达式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义.

60
; 解：​$(2)$​设​$y_{甲}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{甲}=k_{1}x$​将​$(5，$​​$300)$​代入，得​$5k_{1}=300，$​解得​$k_{1}=60$​∴​$y_{甲}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{甲}=60x(0\leq x\leq 5)$​设​$y_{乙}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{乙}=k_{2}x + b$​将​$(1，$​​$0)$​和​$(4，$​​$300)$​分别代入，得​$\begin {cases}k_{2}+b = 0\\4k_{2}+b = 300\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k_{2}=100\\b = -100\end {cases}$​∴​$y_{乙}$​与​$x$​之间的函数表达式为​$y_{乙}=100x - 100(1\leq x\leq 4)$​​$(3)$​由​$(2)$​得​$y_{甲}=60x，$​​$y_{乙}=100x - 100$​令​$y_{甲}=y_{乙}，$​∴​$60x = 100x - 100，$​解得​$x = 2.5$​∴​$y = 60×2.5 = 150$​∴点​$C$​的坐标为​$(2.5，$​​$150)$​∴点​$C$​的实际意义是甲车出发​$2.5\ \mathrm {h} $​时被乙车追上，此时两车各行驶了​$150\ \mathrm {km}$​

9. 在平面直角坐标系中, 点 P 的坐标为$(3m, -4m + 4)$, 一次函数 $y=\frac{4}{3}x + 12$ 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A,B 两点. 若点 P 在 $△ AOB$ 的内部(不包括边上), 则 m 的取值范围为（ ）
A. $m ＞ -1$ 或 $m ＜ 0$
B. $-3 ＜ m ＜ 1$
C. $-1 ＜ m ＜ 0$
D. $-1 ≤ m ≤ 1$

C

10. 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} y=ax+b, \\ y=-x-2 \end{cases} $ 的解是 $ \begin{cases} x=-4, \\ y=m, \end{cases} $ 则一次函数 $ y=ax+b $ 和 $ y=-x-2 $ 的图象的交点坐标为 ______.

$(-4,2)$

11. 亮点原创·无论 $ m $ 取何值，一次函数 $ y = 3x + 5m $ 的图象与一次函数 $ y = -5x + 4 $ 的图象的交点不可能在第________象限.

三

12. * 在平面直角坐标系中，若一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点.设k为整数，当直线$y=x-2$与$y=kx+k$的交点为整点时，k的值为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$-2$或$0$或$2$或$4$

13. 新素养 推理能力 如图,在平面直角坐标系中,直线$l:y=-x+m$与$x$轴交于点$A$,点$B$在$x$轴的负半轴上,且$OB=\frac{1}{2}OA=2$.
(1) 求直线$l$的函数表达式;
(2) $P$是直线$l$上一点,连接$BP$,将线段$BP$绕点$B$按顺时针方向旋转$90°$得到$BQ$.
① 当点$Q$落在$y$轴上时,连接$AQ$,求点$P$的坐标及四边形$APBQ$的面积;
② 作直线$BP,AQ$,两条直线在第一象限内相交于点$C$,记四边形$APBQ$的面积为$S_1$,$△ ABC$的面积为$S_2$.若$S_2=\frac{1}{3}S_1$,求点$Q$的坐标.

解：​$(1)$​∵​$OB=\frac 12OA = 2，$​且点​$A$​在​$x$​轴的正半轴上，点​$B$​在​$x$​轴的负半轴上∴点​$A$​的坐标为​$(4，$​​$0)，$​点​$B$​的坐标为​$(-2，$​​$0)$​把​$A(4，$​​$0)$​代入​$y = -x + m $​中，得​$-4 + m = 0，$​解得​$m = 4$​∴直线​$l$​的函数表达式为​$y = -x + 4$​​$(2)① $​由​$(1)$​得​$A，$​​$B$​两点的坐标分别为​$(4，$​​$0)，$​​$(-2，$​​$0)，$​直线​$l$​的函数表达式为​$y = -x + 4$​∴​$OB = 2，$​​$AB = 6$​又点​$P $​在直线​$l$​上∴设点​$P $​的坐标为​$(x_{0}，$​​$-x_{0}+4)$​过点​$P $​作​$P D\perp AB$​于点​$D，$​则​$∠P DB=∠BOQ = 90°$​由题意，易得点​$P $​在第一象限∴​$DP = 4 - x_{0} $​由旋转的性质，得​$BP = Q B，$​​$∠P BQ = 90°，$​即​$∠P BD+∠Q BO = 90°$​​$ $​又​$∠Q BO+∠BQO = 90°，$​∴​$∠P BD=∠BQO$​∴​$\triangle P BD≌\triangle BQO(\mathrm {AAS})$​∴​$DB = OQ，$​​$DP = OB = 2$​即​$4 - x_{0}=2，$​解得​$x_{0}=2$​∴点​$P $​的坐标为​$(2，$​​$2)$​∴​$DB = 4，$​即​$OQ = 4$​∴​$S_{四边形AP BQ}=S_{\triangle P AB}+S_{\triangle Q AB}=\frac 12\ \mathrm {A}B·(DP + OQ)=18$​②∵点​$C$​在第一象限内，∴点​$P $​在第一象限​$ $​由​$(1)$​得点​$B$​的坐标为​$(-2，$​​$0)，$​点​$A$​的坐标为​$(4，$​​$0)$​直线​$l$​的函数表达式为​$y = -x + 4$​∴可设点​$P $​的坐标为​$(n，$​​$-n + 4)$​过点​$P $​作​$P D\perp x$​轴于点​$D，$​过点​$Q $​作​$QE\perp x$​轴于点​$E$​同​$(2)①$​可证​$P D = BE，$​​$QE = BD$​∵​$P D = -n + 4，$​​$BD = n + 2$​∴​$BE = -n + 4，$​​$QE = n + 2$​即点​$Q $​的坐标为​$(-n + 2，$​​$-n - 2)$​由​$(2)①，$​得​$AB = 6$​∴​$S_{1}=\frac 12\ \mathrm {A}B·(-n + 4 + n + 2)=18$​又​$S_{2}=\frac 13S_{1}，$​∴​$S_{2}=6$​则点​$C$​的纵坐标为​$2$​​$ $​设直线​$AQ $​的函数表达式为​$y = kx + b$​把​$A(4，$​​$0)，$​​$Q(-n + 2，$​​$-n - 2)$​分别代入​$y = kx + b$​中得​$\begin {cases}4k + b = 0\\(-n + 2)k + b = -n - 2\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k = 1 \\b = -4\end {cases}$​∴直线​$AQ $​的函数表达式为​$y = x - 4$​∴点​$C$​的坐标为​$(6，$​​$2)$​同理可得直线​$BC$​的函数表达式为​$y=\frac 14x+\frac 12$​联立方程组，得​$\begin {cases}y = -x + 4\\y =\frac 14x+\frac 12\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}x=\frac {14}5\\y =\frac 65\end {cases}$​∴点​$P $​的坐标为​$(\frac {14}5，$​​$\frac 65)，$​即​$n=\frac {14}5$​∴点​$Q $​的坐标为​$(-\frac 45，$​​$-\frac {24}5)$​