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9.如图所示的是按一定规律排列的一组数据，任意圈出3×3个数。
(1)计算:$(-4)+18+(-32)=\_\_\_\_\_\_$，$(-28)+18+(-8)=\_\_\_\_\_\_$。你能得出什么结论？
(2)再任意圈出3×3个数，(1)中的结论还成立吗？
(1)计算:$(-4)+18+(-32)=\_\_\_\_\_\_$，$(-28)+18+(-8)=\_\_\_\_\_\_$。你能得出什么结论？
(2)再任意圈出3×3个数，(1)中的结论还成立吗？
答案
解:(1) $-18$ $-18$ 结论:对角线上三个数之和是中间数的相反数。
(2)如图,圈出$3×3$个数,$26+(-40)+54=40$,$30+(-40)+50=40$,(1)中的结论仍然成立。(答案不唯一)
2 -4 6 -8 10 -12
14 -16 18 -20 22 -24
26 -28 30 -32 34 -36
38 -40 42 -44 46 -48
50 -52 54 -56 58 -60
(第9题)
(2)如图,圈出$3×3$个数,$26+(-40)+54=40$,$30+(-40)+50=40$,(1)中的结论仍然成立。(答案不唯一)
2 -4 6 -8 10 -12
14 -16 18 -20 22 -24
26 -28 30 -32 34 -36
38 -40 42 -44 46 -48
50 -52 54 -56 58 -60
(第9题)
解析
【分析】
解题时先完成(1)中的有理数加法计算，观察两个算式的计算结果、三个数的位置特征和中间数的关系，归纳得出结论；再解决(2)时，先重新圈出一个3×3的数阵，分别计算两条对角线上三个数的和，与中间数对比即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$(-4)+18+(-32)=[(-4)+(-32)]+18=-36+18=-18$
计算第二个式子：
$(-28)+18+(-8)=[(-28)+(-8)]+18=-36+18=-18$
观察可知：两个式子的三个数都是3×3数阵对角线上的数，中间数为18，两个和均为-18，即和为中间数的相反数，因此得出结论。
(2) 任意圈出中间数为-40的3×3数阵，计算两条对角线上的和：
第一条对角线：$26+(-40)+54=(26+54)-40=80-40=40$，40是中间数-40的相反数；
第二条对角线：$30+(-40)+50=(30+50)-40=80-40=40$，40也是中间数-40的相反数。
因此(1)中的结论仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-18}$；结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数之和是中间数的相反数。
(2) 成立，举例：圈出中间数为-40的3×3数阵，对角线上的和分别为$26+(-40)+54=40$、$30+(-40)+50=40$，均为中间数-40的相反数，结论成立（举例不唯一）。
【知识点】
有理数加法运算，数字规律探究
【点评】
本题以规律数阵为载体，既考查了有理数加法的运算能力，也考查了观察、归纳、验证的探究能力，从特殊例子出发归纳普遍规律再验证，是规律探究类问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
解题时先完成(1)中的有理数加法计算，观察两个算式的计算结果、三个数的位置特征和中间数的关系，归纳得出结论；再解决(2)时，先重新圈出一个3×3的数阵，分别计算两条对角线上三个数的和，与中间数对比即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 计算第一个式子：
$(-4)+18+(-32)=[(-4)+(-32)]+18=-36+18=-18$
计算第二个式子：
$(-28)+18+(-8)=[(-28)+(-8)]+18=-36+18=-18$
观察可知：两个式子的三个数都是3×3数阵对角线上的数，中间数为18，两个和均为-18，即和为中间数的相反数，因此得出结论。
(2) 任意圈出中间数为-40的3×3数阵，计算两条对角线上的和：
第一条对角线：$26+(-40)+54=(26+54)-40=80-40=40$，40是中间数-40的相反数；
第二条对角线：$30+(-40)+50=(30+50)-40=80-40=40$，40也是中间数-40的相反数。
因此(1)中的结论仍然成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-18}$；结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数之和是中间数的相反数。
(2) 成立，举例：圈出中间数为-40的3×3数阵，对角线上的和分别为$26+(-40)+54=40$、$30+(-40)+50=40$，均为中间数-40的相反数，结论成立（举例不唯一）。
【知识点】
有理数加法运算，数字规律探究
【点评】
本题以规律数阵为载体，既考查了有理数加法的运算能力，也考查了观察、归纳、验证的探究能力，从特殊例子出发归纳普遍规律再验证，是规律探究类问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
10.【数学游戏】小彬和晓丽做抽卡片游戏，游戏规则如下：
(1)每人抽取4张卡片，如果抽到圆圈卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片，那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的4张卡片：
图①
晓丽抽到了如图②所示的4张卡片：
图②
获胜的是谁？
(1)每人抽取4张卡片，如果抽到圆圈卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片，那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的4张卡片：
图①
晓丽抽到了如图②所示的4张卡片：
图②
获胜的是谁？
答案
解:小彬的结果是$-(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{2})-(-5)+4=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+5+4=8$。
晓丽的结果是$(-\dfrac{1}{3})-(-\dfrac{7}{6})-0+5=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{6}-0+5=5\dfrac{5}{6}$。
因为$8＞5\dfrac{5}{6}$,所以小彬获胜。
晓丽的结果是$(-\dfrac{1}{3})-(-\dfrac{7}{6})-0+5=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{6}-0+5=5\dfrac{5}{6}$。
因为$8＞5\dfrac{5}{6}$,所以小彬获胜。
解析
【分析】
解题时首先明确游戏规则：抽到圆圈卡片就加上卡片上的数，抽到阴影卡片就减去卡片上的数。我们可以分三步求解：第一步，分别根据两人抽到的卡片类型，列出对应的有理数加减运算式；第二步，按照有理数加减运算法则，依次计算出两人的最终结果；第三步，比较两个结果的大小，结果更大的一方为获胜者。
【解析】
先计算小彬的计算结果：
根据规则列算式：$\begin{aligned}-(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{2})-(-5)+4\end{aligned}$
去括号计算：$\begin{aligned}原式=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+5+4=-1+5+4=8\end{aligned}$
再计算晓丽的计算结果：
根据规则列算式：$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{3})-(-\dfrac{7}{6})-0+5\end{aligned}$
去括号通分计算：$\begin{aligned}原式=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{6}+5=-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{6}+5=\dfrac{5}{6}+5=5\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
比较两人结果：$8＞5\dfrac{5}{6}$，因此小彬的计算结果更大。
【答案】
小彬获胜
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数运算的实际应用，解题核心是准确根据规则列出运算式，计算时要注意去括号的符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确游戏规则：抽到圆圈卡片就加上卡片上的数，抽到阴影卡片就减去卡片上的数。我们可以分三步求解：第一步，分别根据两人抽到的卡片类型，列出对应的有理数加减运算式；第二步，按照有理数加减运算法则，依次计算出两人的最终结果；第三步，比较两个结果的大小，结果更大的一方为获胜者。
【解析】
先计算小彬的计算结果：
根据规则列算式：$\begin{aligned}-(-\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{3}{2})-(-5)+4\end{aligned}$
去括号计算：$\begin{aligned}原式=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+5+4=-1+5+4=8\end{aligned}$
再计算晓丽的计算结果：
根据规则列算式：$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{3})-(-\dfrac{7}{6})-0+5\end{aligned}$
去括号通分计算：$\begin{aligned}原式=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{6}+5=-\dfrac{2}{6}+\dfrac{7}{6}+5=\dfrac{5}{6}+5=5\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
比较两人结果：$8＞5\dfrac{5}{6}$，因此小彬的计算结果更大。
【答案】
小彬获胜
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数运算的实际应用，解题核心是准确根据规则列出运算式，计算时要注意去括号的符号变化，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
11.【数学游戏】将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7这10个数分别填在如图所示的五角星每两条线的交点处（每个交点处只填写一个数）。将每一条线上的四个数相加共得5个数，分别设为$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，求$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值。若交换其中任何两数的位置后，$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值是否改变？请说明理由。
答案
25，不改变，理由略
解析
【分析】
解题时首先观察五角星交点的特征：每个交点都是2条直线的公共点，因此计算5条直线上的数的总和时，每个交点处的数都会被计算2次。我们不需要逐一推导每个位置填的数，只需要先计算给出的10个数字的总和，再根据重复计算的规律推导$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$和10个数总和的关系，就能求出目标式子的值；交换两数位置时，10个数的总和不会发生变化，因此目标式子的值也不会改变。
【解析】
1. 先计算给出的10个数的总和：
$\begin{aligned}&-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \\=& [(-2)+2] + [(-1)+1] + 0 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \\=& 25\end{aligned}$
2. 由于每个交点的数在5条直线的和中都被计算了2次，因此：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 2 × \mathrm{10个数的总和} = 2×25 = 50$
3. 计算目标式子：
$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) = \frac{1}{2}×50 = 25$
4. 交换任意两数的位置后，10个数的总和不会发生变化，且每个数仍然会被计算2次，因此$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值始终等于10个数的总和，不会改变。
【答案】
25，不改变
【知识点】
有理数加法，整体思想，代数式求值
【点评】
本题不需要逐个确定每个交点填的数字，核心是发现每个数在求和时被重复计算2次的规律，利用整体求和的思路即可快速解题，能很好地锻炼整体思考的思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察五角星交点的特征：每个交点都是2条直线的公共点，因此计算5条直线上的数的总和时，每个交点处的数都会被计算2次。我们不需要逐一推导每个位置填的数，只需要先计算给出的10个数字的总和，再根据重复计算的规律推导$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$和10个数总和的关系，就能求出目标式子的值；交换两数位置时，10个数的总和不会发生变化，因此目标式子的值也不会改变。
【解析】
1. 先计算给出的10个数的总和：
$\begin{aligned}&-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \\=& [(-2)+2] + [(-1)+1] + 0 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \\=& 25\end{aligned}$
2. 由于每个交点的数在5条直线的和中都被计算了2次，因此：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 2 × \mathrm{10个数的总和} = 2×25 = 50$
3. 计算目标式子：
$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) = \frac{1}{2}×50 = 25$
4. 交换任意两数的位置后，10个数的总和不会发生变化，且每个数仍然会被计算2次，因此$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值始终等于10个数的总和，不会改变。
【答案】
25，不改变
【知识点】
有理数加法，整体思想，代数式求值
【点评】
本题不需要逐个确定每个交点填的数字，核心是发现每个数在求和时被重复计算2次的规律，利用整体求和的思路即可快速解题，能很好地锻炼整体思考的思维能力。
【难度系数】
0.6
