例题1 已知点B在直线AC上，$AB=6$，$AC=10$，$P$，$Q$分别是$AB$，$AC$的中点，则$PQ$的长为。
思路分析：已知条件中“点B在直线AC上”，又$AB=6$，$AC=10$，所以点B可能在线段AC上，也可能在线段AC的反向延长线上，所以此题需要分类讨论。
方法点拨：解决此类问题可画出示意图，把点A，B，C所有可能的位置关系画出来，即分点B，C在点A同侧和异侧两种情况，再求解。

2或8

练习1 如图，有两根木条，一根AB的长为80 cm，另一根CD的长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？

（练习1）

解:本题有两种情形：
(1) 当A,C(或B,D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时,
$MN=CN-AM=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB$,
即$MN=\frac{1}{2}×130-\frac{1}{2}×80=65-40=25(cm)$。
(2) 当B,C(或A,D)重合,且剩余两端点在重合点两侧时,
$MN=CN+BM=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB$,
即$MN=\frac{1}{2}×130+\frac{1}{2}×80=65+40=105(cm)$。
故两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm。

例题2 在平面上，已知$∠ AOB = 80°$，$∠ BOC = 50°$，若OM平分$∠ AOB$，ON平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数。
思路分析:已知的两个角$∠ AOB$，$∠ BOC$有一条公共边OB，另外两条边的位置关系分两种情况，可能在OB的同侧，也可能在OB的异侧。分别画出两种情况下的图形，再结合已知中的其他条件，求出$∠ MON$的度数。
方法点拨:解答时，可先画出所有符合题意的图形，再针对每一种图形分别计算，即“先定位，再计算”。

解:分两种情况计算。
(1) 当OC落在$∠AOB$的内部时，
因为OM平分$∠AOB$，
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
因为ON平分$∠BOC$，
所以$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$,
所以$∠MON=∠BOM-∠BON=40°-25°=15°$。

(2) 当OC落在$∠AOB$的外部时，
因为OM平分$∠AOB$,ON平分$∠BOC$,
所以$∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$,
$∠BON=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×50°=25°$,
所以$∠MON=∠BOM+∠BON=40°+25°=65°$。
综上所述,$∠MON$的度数为$15°$或$65°$。

练习2 如图，$∠ AOB=100°$，$∠ BOC=30°$，小明想过点O引一条射线OD，使$∠ AOD:∠ BOD=1:3$（$∠ AOD$与$∠ BOD$都小于平角），那么$∠ COD$的度数是（）。


A.$45°$
B.$45°$或$105°$
C.$120°$
D.$45°$或$120°$

D