9.(2024·济南中考)如图1-2-10,在菱形ABCD中,AE⊥CD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F.求证:AF=CE.

证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AD=CD.$
$\because AE⊥ CD,CF⊥ AD,$
$\therefore∠ AED=∠ CFD=90°.$
在$△ AED$ 与$△ CFD$ 中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFD,\\∠ D=∠ D,\\AD=CD,\end{cases}$
$\therefore△ AED≌△ CFD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DE=DF.$
$\therefore AD-DF=CD-DE.$
$\therefore AF=CE.$

10.如图1-2-11，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线，交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=4，BD=3，求△ADE的周长.

10.(1) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AB// CD,AC⊥ BD.$
$\therefore AE// CD,∠ AOB=90°.$
$\because DE⊥ BD,$即$∠ EDB=90°,$
$\therefore∠ AOB=∠ EDB.$
$\therefore DE// AC.$
$\therefore$ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形.
(2) 解: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$AC=4,BD=3,$
$\therefore AO=2,DO=1.5,AD=CD=\sqrt{AO^2+DO^2}=2.5.$
$\because$ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形，
$\therefore AE=CD=2.5,DE=AC=4.$
$\therefore△ ADE$ 的周长 $=AD+AE+DE=2.5+2.5+4=9.$

菱形的判定方法：
(1)定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)的四边形是菱形.
(3)对角线的是菱形.

2. 四条边相等
3. 互相垂直 平行四边形