1. 如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，其坡度$i_1=1:2$，当AB的另一端B碰到地面时，其坡度$i_2=1:\sqrt{3}$，那么$\frac{AO}{OB}=$。

1.$\frac{\sqrt{5}}{2}$ 【点拨】$\because i_1=1:2,i_2=1:\sqrt{3},\therefore OH:AH=1:2$，$OH:B'H=1:\sqrt{3}$. 设$OH=a$,则$AH=2a,B'H=\sqrt{3}a,\therefore OA=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a,OB'=\sqrt{OH^2+B'H^2}=\sqrt{a^2+(\sqrt{3}a)^2}=2a,\therefore OB=OB'=2a,\therefore \frac{AO}{OB}=\frac{\sqrt{5}a}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. [2026合肥期末] 如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树AB的高度，采用了如下方法：先从与古树底端B在同一水平线上的点C出发，沿斜面坡度为$i=1:2$的斜坡CD前进$32\sqrt{5}$ m到达点D，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点E. 在点E处测得古树AB的顶端A的俯角为$45°$，底部B的俯角为$68°$，则古树AB的高度约为 m.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sin 68°\approx0.93,\cos 68°\approx0.37,\tan 68°\approx2.48,\sqrt{2}\approx1.41$）

2.19.1 【点拨】如图，过点 D 作 $DN⊥ CB$ 于点 N,延长 BA 交 DE 的延长线于点 H,在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,设 $DN=x\ \mathrm{m}$,则 $CN=2x\ \mathrm{m}$,则 $CD=\sqrt{5}x=32\sqrt{5}\ \mathrm{m}$,解得 $x=32$,设 $EH=a\ \mathrm{m}$,则 $AH=a\ \mathrm{m}$, $BH=EH·\tan∠ BEH\approx2.48a\ \mathrm{m}=DN=32\ \mathrm{m}$,解得 $a\approx12.903$,则 $AB=BH-AH=32-a\approx19.1(\mathrm{m})$.

3. 如图,扶梯AB的坡比为4:3,滑梯CD的坡比为1:2,BC平行于地面,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F.若AE=30 dm,BC=40 dm,一男孩从点A出发,经过扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,他所经过的总路程为.(结果保留根号)

3.$(90+40\sqrt{5})\mathrm{dm}$ 【点拨】$\because$ 扶梯 AB 的坡比为 $4:3,AE=30\ \mathrm{dm},\therefore BE=40\ \mathrm{dm},\therefore AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50(\mathrm{dm}).\because BC$ 平行于地面, $BE⊥ AD$ 于点 $E,CF⊥ AD$ 于点 $F,\therefore CF=BE=40\ \mathrm{dm}.\because CD$ 的坡比为 $1:2,\therefore FD=2CF=2×40=80(\mathrm{dm}),\therefore CD=\sqrt{CF^2+FD^2}=\sqrt{80^2+40^2}=40\sqrt{5}(\mathrm{dm}).$ $\therefore$ 他经过的总路程是 $AB+BC+CD=50+40+40\sqrt{5}=(90+40\sqrt{5})\mathrm{dm}.$

4. [2025 德州] 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山. 他们从山底 A 处出发，先步行 200 m 到达 B 处，再从 B 处坐缆车到达山顶 C 处. 如图，已知山坡 AB 的坡角 $α=16°$，缆车的行驶路线 BC 与水平面的夹角 $β=37°$，这座山的高度 $CD=296$ m，A，B，C，D 在同一平面内.
(1) 求小明一家步行上升的垂直高度(结果取整数)；
(2) 求缆车的行驶路线 BC 的长(结果取整数). (参考数据：$\sin 16° \approx 0.28$，$\cos 16° \approx 0.96$，$\tan 16° \approx 0.29$；$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$)

4.【解】(1)如图,过点 B 作 $BE⊥ AD$ 于 E,
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ A=α=16°,AB=200\ \mathrm{m}$,
则 $BE=AB·\sin A\approx200×0.28=56(\mathrm{m}).$
答:小明一家步行上升的垂直高度约为 56 m.
(2)如图,过点 B 作 $BF⊥ CD$ 于 F,
则四边形 BEDF 为矩形,$\therefore DF=BE=56\ \mathrm{m}.$
$\because CD=296\ \mathrm{m},\therefore CF=CD-DF=296-56=240(\mathrm{m}).$
在 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中,$∠ CBF=β=37°$,
则 $BC=\frac{CF}{\sin∠ CBF}\approx\frac{240}{0.6}=400(\mathrm{m}).$
答:缆车的行驶路线 BC 的长约为 400 m.

5. 直线$y=\sqrt{3}x$与$x$轴正方向所夹的锐角为.

5.$60°$

6. 直线$y=kx+1$与$x$轴的夹角为$30°$，则$k$的值为（）

A.$-\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}$

6.B