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一、选择题
1.点 P 为直线 $ l $ 外一点，点 $ A,B,C $ 为直线 $ l $ 上三点，$ PA=5 \ \mathrm{cm} $，$ PB=3 \ \mathrm{cm} $，$ PC=4 \ \mathrm{cm} $，则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离 （
A.等于 4 cm
B.等于 3 cm
C.小于 3 cm
D.不大于 3 cm
1.点 P 为直线 $ l $ 外一点，点 $ A,B,C $ 为直线 $ l $ 上三点，$ PA=5 \ \mathrm{cm} $，$ PB=3 \ \mathrm{cm} $，$ PC=4 \ \mathrm{cm} $，则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离 （
D
）A.等于 4 cm
B.等于 3 cm
C.小于 3 cm
D.不大于 3 cm
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心知识点：一是点到直线的距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离；二是垂线段最短的性质，即直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段是最短的。已知PA、PB、PC中最短的长度是3cm，我们需要分情况讨论：如果PB是垂线段，那么距离就是3cm；如果PB不是垂线段，那么真正的垂线段长度一定比3cm小，因此最终点P到直线l的距离最大为3cm，也就是不大于3cm。
【解析】
解：根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
已知点P到直线l上三点的连线长度中，PB=3cm是最短的：
① 若PB是点P到直线l的垂线段，则点P到直线l的距离等于3cm；
② 若PB不是点P到直线l的垂线段，则点P到直线l的垂线段长度小于3cm。
综上，点P到直线l的距离不大于3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 垂线段最短
【点评】
本题是基础易错题，易错点是直接将最短的线段长度PB=3cm等同于点到直线的距离，忽略了只有垂线段的长度才是点到直线的距离，需要注意区分“等于3cm”和“不大于3cm”的范围差异。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个核心知识点：一是点到直线的距离的定义，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离；二是垂线段最短的性质，即直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段是最短的。已知PA、PB、PC中最短的长度是3cm，我们需要分情况讨论：如果PB是垂线段，那么距离就是3cm；如果PB不是垂线段，那么真正的垂线段长度一定比3cm小，因此最终点P到直线l的距离最大为3cm，也就是不大于3cm。
【解析】
解：根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
已知点P到直线l上三点的连线长度中，PB=3cm是最短的：
① 若PB是点P到直线l的垂线段，则点P到直线l的距离等于3cm；
② 若PB不是点P到直线l的垂线段，则点P到直线l的垂线段长度小于3cm。
综上，点P到直线l的距离不大于3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 垂线段最短
【点评】
本题是基础易错题，易错点是直接将最短的线段长度PB=3cm等同于点到直线的距离，忽略了只有垂线段的长度才是点到直线的距离，需要注意区分“等于3cm”和“不大于3cm”的范围差异。
【难度系数】
0.8
2.如图,从点A出发的四条射线AB,AC,AD,AE满足$AB⊥AC,AD⊥AE$,则下列结论一定正确的是 (
A.$∠CAE=∠BAD=45°$
B.$∠CAD+∠EAB=180°$
C.$∠CAD-∠EAB=90°$
D.$∠CAD+∠BAD=180°$
B
)A.$∠CAE=∠BAD=45°$
B.$∠CAD+∠EAB=180°$
C.$∠CAD-∠EAB=90°$
D.$∠CAD+∠BAD=180°$
答案
2.B
解析
【分析】
首先根据已知的垂直关系，结合垂直的定义可得两个90°的角：$∠ BAC=90°$，$∠ DAE=90°$。接下来要判断各选项的角的关系是否正确，我们可以将选项中的角拆分成已知角度和公共角的组合，通过等量代换计算角的和差，逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：$\because AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ BAC=90°$，$∠ DAE=90°$。
对各选项逐一分析：
A选项：由$∠ CAE+∠ EAB=∠ BAC=90°$，$∠ BAD+∠ EAB=∠ DAE=90°$，可得$∠ CAE=∠ BAD$，但没有条件证明这两个角等于$45°$，故A错误；
B选项：$∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=∠ CAE+90°$，$∠ EAB=∠ BAC-∠ CAE=90°-∠ CAE$，
则$∠ CAD+∠ EAB=(∠ CAE+90°)+(90°-∠ CAE)=180°$，故B正确；
C选项：$∠ CAD-∠ EAB=(∠ CAE+90°)-(90°-∠ CAE)=2∠ CAE$，只有当$∠ CAE=45°$时结果才为$90°$，不是一定成立，故C错误；
D选项：$∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC+∠ BAD+∠ BAD=90°+2∠ BAD$，只有当$∠ BAD=45°$时结果才为$180°$，不是一定成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；角的和差运算；余角的性质
【点评】
本题解题的核心是利用垂直得到固定的$90°$角，再通过角的拆分与等量代换推导不同角之间的数量关系，注意题目没有给出特殊角的条件时，不能默认角的度数为$45°$，避免误选。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的垂直关系，结合垂直的定义可得两个90°的角：$∠ BAC=90°$，$∠ DAE=90°$。接下来要判断各选项的角的关系是否正确，我们可以将选项中的角拆分成已知角度和公共角的组合，通过等量代换计算角的和差，逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：$\because AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ BAC=90°$，$∠ DAE=90°$。
对各选项逐一分析：
A选项：由$∠ CAE+∠ EAB=∠ BAC=90°$，$∠ BAD+∠ EAB=∠ DAE=90°$，可得$∠ CAE=∠ BAD$，但没有条件证明这两个角等于$45°$，故A错误；
B选项：$∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=∠ CAE+90°$，$∠ EAB=∠ BAC-∠ CAE=90°-∠ CAE$，
则$∠ CAD+∠ EAB=(∠ CAE+90°)+(90°-∠ CAE)=180°$，故B正确；
C选项：$∠ CAD-∠ EAB=(∠ CAE+90°)-(90°-∠ CAE)=2∠ CAE$，只有当$∠ CAE=45°$时结果才为$90°$，不是一定成立，故C错误；
D选项：$∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC+∠ BAD+∠ BAD=90°+2∠ BAD$，只有当$∠ BAD=45°$时结果才为$180°$，不是一定成立，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；角的和差运算；余角的性质
【点评】
本题解题的核心是利用垂直得到固定的$90°$角，再通过角的拆分与等量代换推导不同角之间的数量关系，注意题目没有给出特殊角的条件时，不能默认角的度数为$45°$，避免误选。
【难度系数】
0.7
3.数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题.某同学在学习完相交线的相关知识后，发现伸缩门中存在非常多的对顶角.如图为简易伸缩门，当∠AOB增大10°时，∠COD的度数 （
A.增大10°
B.减小10°
C.增大20°
D.不变
A
）A.增大10°
B.减小10°
C.增大20°
D.不变
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先观察∠AOB和∠COD的位置关系，两个角有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，符合对顶角的特征。回忆对顶角的核心性质是对顶角相等，说明两个角的大小始终相等，角度变化幅度也保持一致，由此即可推断∠COD的变化情况。
【解析】
首先判断角的关系：∠AOB与∠COD有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，二者是对顶角。根据对顶角的性质：对顶角相等，可得∠AOB=∠COD，因此两个角的变化幅度完全相同。当∠AOB增大10°时，∠COD也随之增大10°，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中常见的伸缩门设计题目，将数学知识和生活场景结合，考查对基础知识点的识别与应用，只要能准确判断对顶角并掌握其性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察∠AOB和∠COD的位置关系，两个角有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，符合对顶角的特征。回忆对顶角的核心性质是对顶角相等，说明两个角的大小始终相等，角度变化幅度也保持一致，由此即可推断∠COD的变化情况。
【解析】
首先判断角的关系：∠AOB与∠COD有公共顶点，且两边分别互为反向延长线，二者是对顶角。根据对顶角的性质：对顶角相等，可得∠AOB=∠COD，因此两个角的变化幅度完全相同。当∠AOB增大10°时，∠COD也随之增大10°，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中常见的伸缩门设计题目，将数学知识和生活场景结合，考查对基础知识点的识别与应用，只要能准确判断对顶角并掌握其性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1.如图，直线$AB ⊥ CD$，垂足为$O$，直线$EF$过点$O$，且$∠ DOF = 36°$，则$∠ AOE$的度数为
1.如图，直线$AB ⊥ CD$，垂足为$O$，直线$EF$过点$O$，且$∠ DOF = 36°$，则$∠ AOE$的度数为
54°
。答案
1.54°
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先由AB⊥CD可得到两条直线相交形成的直角为90°，再观察图形中角的位置关系，已知∠DOF的度数，可先求出与∠AOE是对顶角的∠BOF的度数，再利用对顶角相等的性质即可得到∠AOE的度数，核心是理清已知角和待求角的关联。
【解析】
解：
∵ 直线AB⊥CD，垂足为O，
∴ 根据垂直的定义，∠BOD = 90°，
∵ ∠DOF = 36°，
∴ ∠BOF = ∠BOD - ∠DOF = 90° - 36° = 54°，
又
∵ ∠AOE与∠BOF是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ ∠AOE = ∠BOF = 54°。
【答案】
54°
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合垂直、对顶角的性质即可快速求解，是几何入门阶段的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先由AB⊥CD可得到两条直线相交形成的直角为90°，再观察图形中角的位置关系，已知∠DOF的度数，可先求出与∠AOE是对顶角的∠BOF的度数，再利用对顶角相等的性质即可得到∠AOE的度数，核心是理清已知角和待求角的关联。
【解析】
解：
∵ 直线AB⊥CD，垂足为O，
∴ 根据垂直的定义，∠BOD = 90°，
∵ ∠DOF = 36°，
∴ ∠BOF = ∠BOD - ∠DOF = 90° - 36° = 54°，
又
∵ ∠AOE与∠BOF是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ ∠AOE = ∠BOF = 54°。
【答案】
54°
【知识点】
垂直的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合垂直、对顶角的性质即可快速求解，是几何入门阶段的常见题型。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知直线AD,BE,CF相交于点O,OG⊥AD,且∠BOC=35°,∠FOG=30°,则∠DOE=
25°
.答案
2.25°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先，两条直线相交会形成相等的对顶角，我们可以先找到和已知∠BOC相等的对顶角；其次，OG⊥AD说明OG和AD的夹角是90°，这个直角可以拆成几个已知角和所求∠DOE的和，代入已知角度就能算出结果。
【解析】
1. 因为直线BE和CF相交于点O，根据对顶角相等的性质，可得$∠ EOF=∠ BOC=35°$。
2. 已知$OG⊥ AD$，根据垂直的定义，$∠ GOD=90°$，而$∠ GOD$可拆分为$∠ FOG+∠ EOF+∠ DOE$，即$∠ FOG+∠ EOF+∠ DOE=90°$。
3. 把$∠ FOG=30°$、$∠ EOF=35°$代入上式，可得：
$∠ DOE=90°-30°-35°=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
对顶角相等；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础的相交线角度计算题，解题的关键是准确识别对顶角，结合垂直得到直角，再利用角的和差关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先，两条直线相交会形成相等的对顶角，我们可以先找到和已知∠BOC相等的对顶角；其次，OG⊥AD说明OG和AD的夹角是90°，这个直角可以拆成几个已知角和所求∠DOE的和，代入已知角度就能算出结果。
【解析】
1. 因为直线BE和CF相交于点O，根据对顶角相等的性质，可得$∠ EOF=∠ BOC=35°$。
2. 已知$OG⊥ AD$，根据垂直的定义，$∠ GOD=90°$，而$∠ GOD$可拆分为$∠ FOG+∠ EOF+∠ DOE$，即$∠ FOG+∠ EOF+∠ DOE=90°$。
3. 把$∠ FOG=30°$、$∠ EOF=35°$代入上式，可得：
$∠ DOE=90°-30°-35°=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
对顶角相等；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础的相交线角度计算题，解题的关键是准确识别对顶角，结合垂直得到直角，再利用角的和差关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8
