14[2026 陕西咸阳质检]试说明:代数式$[(4 - a)(a + 4) + (a - 1)^2 - 17] ÷ (-\dfrac{1}{2}a)$的值与$a$的取值无关。

14.【解】$[(4-a)(a+4)+(a-1)^2-17] ÷ (-\frac{1}{2}a)=(16-a^2+a^2-2a+1-17) ÷ (-\frac{1}{2}a)=-2a÷(-\frac{1}{2}a)=4$,则原式的值与$a$的取值无关.

15[2025河南开封祥符区期末](1)阅读下面的材料并填空：
①$(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{2^2}=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；
②$(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})=1-\frac{1}{3^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{3^2}=(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})=\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_$；
③$(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})=1-\frac{1}{4^2}$，反过来，得$1-\frac{1}{4^2}=\_\_\_\_\_\_=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；
(2)利用上面的材料计算下题：
$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2021^2})×(1-\frac{1}{2022^2})×(1-\frac{1}{2023^2})$；

又进步了鸭

15.(1)②$\frac{2}{3}$ $\frac{4}{3}$ ③$(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})$
(2)【解】原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\dots ×(1-\frac{1}{2021})×(1+\frac{1}{2021})×(1-\frac{1}{2022})×(1+\frac{1}{2022})×(1-\frac{1}{2023})×(1+\frac{1}{2023})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots ×\frac{2020}{2021}×\frac{2022}{2021}×\frac{2021}{2022}×\frac{2023}{2022}×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}=\frac{1}{2}×\frac{2024}{2023}=\frac{1012}{2023}$.

16[2026江苏常州期末]通过小学的学习,我们知道:周长一定的长方形中,正方形的面积最大.此结论可以利用图形的割补加以说明.
(1)【方法理解】
已知长方形的周长是12,设长方形的一边长是x,则相邻一边长是6−x.
①当0＜x＜3时,如图(1),将此长方形进行如下割补:如图(2),长方形B的一边长是x,相邻一边长是.如图(3),将长方形B割补到长方形A的右侧,阴影部分是一个边长为的正方形(以上两空,均用含x的代数式表示).通过上述割补,图(1)中长方形的面积可以看成图(3)中两个正方形的面积之差,所以代数式x(6−x),9,(3−x)²满足的等量关系是;
②当3＜x＜6时,类似上述过程进行割补;
③当x=3时,该长方形即为正方形.
综上分析,周长是12的长方形的最大面积是.
(2)【方法迁移】
当−2＜x＜6时,仿照上述割补过程,求代数式(6−x)(4+2x)的最大值.

16.【解】(1)①由题图(2)得,长方形B的一边长是$x$,则相邻一边长为$6-x-3=3-x$. 题图(3)中,阴影部分是一个边长为$3-x$的正方形.$\because$题图(1)中长方形的面积可以看成题图(3)中两个正方形的面积之差,$\therefore x(6-x)=9-(3-x)^2$. 故答案为$3-x,3-x,x(6-x)=9-(3-x)^2$.
②当$3＜x＜6$时,用类似①的方法进行割补,如图(1),可以得到$x(6-x)=9-(x-3)^2$.
当$x=3$时,$x(6-x)=9$,则周长是12的长方形的最大面积是9. 故答案为9.
(2)依题意有$(6-x)(4+2x)=2(6-x)(2+x)$. 当$-2＜x＜2$时,如图(2),阴影部分是边长为$2-x$的正方形,$\therefore (6-x)(2+x)=4^2-(2-x)^2=16-(2-x)^2$.
当$2＜x＜6$时,如图(3),阴影部分是边长为$x-2$的正方形,$\therefore (6-x)(2+x)=4^2-(x-2)^2=16-(x-2)^2$. 当$x=2$时,该长方形为边长是4的正方形. 综上,相邻两边长是$6-x$和$2+x$的长方形的最大面积是16,$\therefore (6-x)(4+2x)$的最大值为$2×16=32$.