1[2026江苏宿迁宿豫区调研]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,M为边CB延长线上一点.若$∠ AOC=100°$,则$∠ ABM$的度数是 ()

A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$30°$

(第1题图)
(第2题图)

A 【解析】由圆周角定理得$∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$, $\therefore ∠ ADC+∠ ABC = 180°$. $\because ∠ ABM+∠ ABC = 180°$, $\therefore ∠ ABM = ∠ ADC = 50°$, 故选 A.

【分析】
解题时首先观察所求角$∠ ABM$的特征：它是圆内接四边形$ABCD$的外角，与内角$∠ ABC$互为邻补角。根据圆内接四边形的性质，对角互补，即$∠ ADC$与$∠ ABC$互补，因此可推出$∠ ABM=∠ ADC$，接下来只需求出$∠ ADC$的度数即可。已知圆心角$∠ AOC=100°$，$∠ ADC$是同弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出$∠ ADC$的度数，进而得到$∠ ABM$的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
2. 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
3. 又因为$∠ ABM$和$∠ ABC$是邻补角，即：
$∠ ABM + ∠ ABC = 180°$
4. 结合上面两个互补关系，可得$∠ ABM = ∠ ADC = 50°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；补角的性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理以及圆内接四边形的外角等于其内对角的相关结论，也可通过邻补角、对角互补的关系逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.8

2[2025江苏南京期中]如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\overset{\frown}{AB}$上一点，$AD// OC$，AD交$\odot O$于点D，连接AC，CD。设$∠ BOC=x°$，$∠ ACD=y°$，则下列结论成立的是（）

A.$x+y=90$
B.$2x+y=90$
C.$2x+y=180$
D.$x=y$

A 【解析】连接BC,如图. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=90°$. $\because$ 四边形 $ADCB$ 是圆的内接四边形, $\therefore ∠ ACB + ∠ ACD + ∠ BAD = 180°$. $\because AD// OC$, $\therefore ∠ BAD = ∠ BOC = x°$. $\because ∠ ACD = y°$, $\therefore x+y+90=180$, $\therefore x+y=90$.

【分析】
解题时首先结合AB是$\odot O$直径的条件，联想到直径所对圆周角为直角，因此作辅助线连接BC得到90°角；再利用AD//OC的平行线性质，可推得同位角∠BAD=∠BOC=x°；最后结合圆内接四边形的角度性质，将已知的∠ACD=y°与其余角度建立关联，整理等式即可得到x和y的数量关系。
【解析】
连接BC，如图。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB=90°。
∵ AD//OC，
∴ ∠BAD=∠BOC=x°。
∵ 四边形ADCB是$\odot O$的内接四边形，
∴ ∠ACB + ∠ACD + ∠BAD = 180°，
又
∵ ∠ACD=y°，
∴ $90+y+x=180$，整理得$x+y=90$。
【答案】
A
【知识点】
直径所对圆周角性质；平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心考查圆的基础性质与平行线性质的结合应用，解题关键是合理构造辅助线得到直角，再通过角度转化推导关系。
【难度系数】
0.7

3 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BE是⊙O的直径,连接BD.若∠BCD=2∠BAD,则∠EBD的度数是 ()

A.30°
B.35°
C.45°
D.60°

(第3题图)
(第4题图)

A 【解析】连接DE,如图. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ BAD+∠ BCD = 180°$. $\because ∠ BCD = 2∠ BAD$, $\therefore ∠ BAD = 60°$. $\because BE$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ BDE = 90°$. $\because ∠ BED = ∠ BAD = 60°$, $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 中, $∠ EBD = 90° - 60° = 30°$. 故选 A.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到四边形ABCD是圆的内接四边形，优先联想到圆内接四边形对角互补的性质，结合∠BCD=2∠BAD的数量关系，可先求出∠BAD的度数；其次看到BE是圆的直径，联想到直径所对的圆周角是直角，因此连接DE构造直角三角形BED；再根据同弧所对的圆周角相等，将∠BAD转化为直角三角形中的∠BED，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EBD的度数。
【解析】
连接DE，如图。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵∠BCD = 2∠BAD，
∴∠BAD + 2∠BAD = 180°，解得∠BAD = 60°。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE = 90°。
∵∠BED和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BED = ∠BAD = 60°，
在Rt△BED中，∠EBD = 90° - ∠BED = 90° - 60° = 30°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，通过添加辅助线构造直角三角形，完成角度的转化即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4[2026江苏泰州调研]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ ABC=120°$，弦$BD$平分$∠ ABC$并交$AC$于点$E$，弦$AC=2\sqrt{3}$，连接$DA$，$DC$，则$\odot O$的半径是（）

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$

A 【解析】如图,连接 $DO$ 并延长,交 $AC$ 于 $H$,连接 $OA$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$, $\therefore ∠ ADC = 180° - 120° = 60°$. $\because BD$ 平分 $∠ ABC$, $\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$, $\therefore AD = CD$, $\therefore △ ADC$ 为等边三角形, $DH ⊥ AC$, $\therefore AD = CD = AC = 2\sqrt{3}$, $AH = \frac{1}{2}AC = \sqrt{3}$, $\therefore$ 由勾股定理得 $DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OH = 3 - r$. 在 $\mathrm{Rt}△ AOH$ 中, $OA^2 = AH^2 + OH^2$, 即 $r^2 = (\sqrt{3})^2 + (3 - r)^2$, 解得 $r = 2$, 即 $\odot O$ 的半径为 2, 故选 A.

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：①首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，结合∠ABC=120°，可利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数；②BD平分∠ABC，根据圆周角定理，相等的圆周角对应弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，即AD=CD，结合∠ADC=60°可判定△ADC是等边三角形，得到边长$AC=AD=CD=2\sqrt{3}$；③要求圆的半径，结合垂径定理作过圆心垂直于弦AC的辅助线，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
如图，连接 $DO$ 并延长，交 $AC$ 于 $H$，连接 $OA$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为 $\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ ADC = 180° - 120° = 60°$。
$\because BD$ 平分 $∠ ABC$，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，$\therefore AD = CD$，
$\therefore △ ADC$ 为等边三角形，且 $DH ⊥ AC$，
$\therefore AD = CD = AC = 2\sqrt{3}$，$AH = \frac{1}{2}AC = \sqrt{3}$，
由勾股定理得 $DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$。
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OH = 3 - r$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOH$ 中，$OA^2 = AH^2 + OH^2$，
即 $r^2 = (\sqrt{3})^2 + (3 - r)^2$，
解得 $r = 2$，即 $\odot O$ 的半径为 2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题关键是借助角平分线、圆内接四边形的性质推出△ADC为等边三角形，再结合垂径定理构造直角三角形，利用方程思想求解半径，要求熟练掌握圆的基础性质及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7

5 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是°。
建议用时-20分钟 答案-D43

(第5题图) (第6题图)

120 【解析】如图,连接 $OD$. $\because BC$ 是 $\odot O$ 的直径, $BC = 2CD$, $\therefore OC = OD = CD$, $\therefore △ COD$ 为等边三角形, $\therefore ∠ C = 60°$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$, $\therefore ∠ BAD = 120°$, 故答案为 120.

【分析】
解题时首先观察题干条件，已知BC是圆的直径、BC=2CD，可先连接辅助线OD：第一步，利用圆的半径相等的性质，可得OC=OD=½BC，结合BC=2CD即可推出OC=OD=CD，判定△COD为等边三角形，得到∠C的度数；第二步，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
如图，连接 $OD$.
$\because BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$BC = 2CD$，
$\therefore OC = OD = CD$，
$\therefore △ COD$ 为等边三角形，
$\therefore ∠ C = 60°$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，
$\therefore ∠ BAD + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - 60° = 120°$.
【答案】
120
【知识点】
圆的基本性质，等边三角形判定与性质，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题核心是合理添加辅助线构造等边三角形，结合圆内接四边形对角互补的性质求解，能有效考查学生对基础知识点的掌握情况和简单辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7

6[2025浙江宁波期中]在利用量角器测量∠ACB的度数时,小文同学放错了位置,将角的顶点放到了量角器的弧线上(如图),爱思考的李涛同学忽然发现,这样测量也能得到∠ACB的度数.通过仔细观察,李涛同学发现射线CA,CB与量角器的交点A和B对应的刻度分别是50°和150°,则∠ACB的度数为.

130° 【解析】根据题意构造 $\odot O$, 在下半圆上取点 $D$, 连接 $OA$, $OB$, $DA$, $DB$, 设 $\odot O$ 的直径为 $EF$, 如图. 由题意可知, $∠ AOE = 50°$, $∠ EOB = 150°$, $\therefore ∠ AOB = ∠ EOB - ∠ AOE = 150° - 50° = 100°$, $\therefore ∠ ADB = \frac{1}{2}∠ AOB = 50°$. $\because$ 点 $A$, $B$, $C$, $D$ 均在 $\odot O$ 上, $\therefore ∠ ACB + ∠ ADB = 180°$, $\therefore ∠ ACB = 130°$. 故答案为 $130°$.
关键点拨
根据题意构造 $\odot O$ 和内接四边形 $ADBC$ 是解题关键.

【分析】
解决本题首先要明确量角器的弧形边缘属于圆周的一部分，可补全得到对应的圆，找到圆心。解题思路如下：第一步，先根据A、B两点对应的刻度，求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数；第二步，利用圆周角定理，求出弧AB所对的下半圆上的圆周角∠ADB的度数；第三步，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
根据题意构造$\odot O$，在下半圆上取点$D$，连接$OA$，$OB$，$DA$，$DB$，设$\odot O$的直径为$EF$，如图。
由题意可知，$∠ AOE = 50°$，$∠ EOB = 150°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ EOB - ∠ AOE = 150° - 50° = 100°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ ADB = \frac{1}{2}∠ AOB = 50°$。
$\because$ 点$A$，$B$，$C$，$D$均在$\odot O$上，即四边形$ACBD$是$\odot O$的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ ACB + ∠ ADB = 180°$，
$\therefore ∠ ACB = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，圆心角计算
【点评】
本题结合量角器的实际使用场景考查圆的相关性质，题型新颖，既要求学生能将实际问题转化为几何模型，也考查了学生对圆周角定理、圆内接四边形性质的掌握程度和构造辅助线解题的能力。
【难度系数】
0.6

7 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,点F是CD延长线上的一点,且DA平分$∠ BDF$, $AE ⊥ CD$交CD延长线于点E.
(1)求证:$AB=AC$.
(2)若$BD=11,DE=2$,求$CD$的长.

(1)【证明】$\because DA$ 平分 $∠ BDF$, $\therefore ∠ ADF = ∠ ADB$.
$\because ∠ ABC + ∠ ADC = 180°$, $∠ ADC + ∠ ADF = 180°$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ADF$. $\because ∠ ACB = ∠ ADB$, $\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$, $\therefore AB = AC$.
(2)【解】如图,过点 $A$ 作 $AG ⊥ BD$, 垂足为 $G$. $\because DA$ 平分 $∠ BDF$, $AE ⊥ CF$, $AG ⊥ BD$, $\therefore AG = AE$, $∠ AGD = ∠ AGB = ∠ AEC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGD$ 中, $AE = AG$, $AD = AD$, $\therefore \mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL})$, $\therefore ED = GD = 2$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGB$ 中, $AE = AG$, $AC = AB$, $\therefore \mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL})$, $\therefore CE = BG$. $\because BD = 11$, $\therefore BG = BD - GD = 11 - 2 = 9$, $\therefore CE = BG = 9$, $\therefore CD = CE - DE = 9 - 2 = 7$.

【分析】
(1) 要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，需推导∠ABC=∠ACB。首先利用角平分线定义得到∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补的性质，推出∠ABC=∠ADF，最后根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACB=∠ADB，通过等量代换得到等角即可得证。
(2) 要求CD的长，已知角平分线和两条垂线，可利用角平分线的性质构造辅助线：过点A作AG⊥BD于G，得到AG=AE。先通过HL证明Rt△AED≌Rt△AGD，得到DE=DG；再结合(1)的结论AB=AC，用HL证明Rt△AEC≌Rt△AGB，得到CE=BG，将CE转化为BD-DG，最后通过CD=CE-DE即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ DA平分∠BDF，
∴ ∠ADF = ∠ADB。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵ ∠ADC + ∠ADF = 180°，
∴ ∠ABC = ∠ADF。
∵ 同弧AB所对的圆周角相等，
∴ ∠ACB = ∠ADB，
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∴ AB = AC。
(2) 解：如图，过点A作AG⊥BD，垂足为G。
∵ DA平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴ AG = AE，∠AGD = ∠AGB = ∠AEC = 90°。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AGD$中，
$\begin{cases} AE = AG \\ AD = AD \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL})$，
∴ ED = GD = 2。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ AGB$中，
$\begin{cases} AE = AG \\ AC = AB \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL})$，
∴ CE = BG。
∵ BD = 11，
∴ BG = BD - GD = 11 - 2 = 9，
∴ CE = BG = 9，
∴ CD = CE - DE = 9 - 2 = 7。
【答案】
(1) AB=AC得证；
(2) $\boxed{7}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与全等三角形的应用，解题核心是结合角平分线的性质合理构造辅助线，通过全等三角形实现线段长度的转化，能有效锻炼逻辑推理能力与转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

8 如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, F是$\overset{\frown}{CD}$上一点, 且$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$, 连接CF并延长交AD的延长线于点E, 连接AC.
(1)若$∠ B=125°$, $∠ BAC=25°$, 求$∠ E$的度数;
(2)若$\odot O$的半径为6, 且$∠ B=2∠ ADC$, 求AC的长.

【解】(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$, $∠ ABC = 125°$, $\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ ABC = 55°$. $\because \overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$, $∠ BAC = 25°$, $\therefore ∠ DCE = ∠ BAC = 25°$, $\therefore ∠ E = ∠ ADC - ∠ DCE = 55° - 25° = 30°$.
(2) 如图,连接 $AO$, $CO$, 过 $O$ 作 $OH ⊥ AC$ 于点 $H$, 则 $AO = CO = 6$, $AH = CH$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$, $\therefore ∠ B + ∠ ADC = 180°$. $\because ∠ B = 2∠ ADC$, $\therefore ∠ ADC = 60°$, $\therefore ∠ AOC = 2∠ ADC = 120°$. $\because OA = OC$, $\therefore ∠ OAC = ∠ OCA = \frac{1}{2}(180° - ∠ AOC) = 30°$. $\because AO = 6$, $OH ⊥ AC$, $\therefore OH = \frac{1}{2}AO = 3$, 由勾股定理得 $AH = \sqrt{AO^2 - OH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$, $\therefore CH = AH = 3\sqrt{3}$, $\therefore AC = AH + CH = 6\sqrt{3}$.
思路分析
(2) 连接 $AO$, $CO$, 过 $O$ 作 $OH ⊥ AC$ 于点 $H$, 则 $AH = CH$. 根据圆内接四边形的性质求出 $∠ ADC$ 的度数, 由圆周角定理得出 $∠ AOC$ 的度数, 求出 $∠ OAC = 30°$. 根据含 $30°$ 角的直角三角形的性质求出 $OH$ 的长, 根据勾股定理求出 $AH$ 的长, 进而可求出答案.

【分析】
(1) 求解∠E的度数时，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知∠B的度数求出∠ADC的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，结合$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{BC}$和已知∠BAC的度数，得到∠DCE的度数；最后利用三角形外角的性质，∠ADC是△DCE的外角，因此∠E=∠ADC-∠DCE，代入数值计算即可得到结果。
(2) 求解弦AC的长度时，已知圆的半径，先连接OA、OC构造圆心角∠AOC，过O作OH⊥AC，利用垂径定理可得AH=CH，将求AC长的问题转化为求AH长的问题；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合∠B=2∠ADC求出∠ADC的度数，根据圆周角定理得到圆心角∠AOC的度数；然后在等腰△AOC中求出底角∠OAC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OH的长度，再由勾股定理求出AH的长度，即可得到AC的长。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$, $∠ ABC = 125°$,
$\therefore ∠ ADC = 180° - ∠ ABC = 55°$.
$\because \overset{\frown}{DF} = \overset{\frown}{BC}$, $∠ BAC = 25°$,
$\therefore ∠ DCE = ∠ BAC = 25°$,
$\therefore ∠ E = ∠ ADC - ∠ DCE = 55° - 25° = 30°$.
(2) 连接 $AO$, $CO$, 过 $O$ 作 $OH ⊥ AC$ 于点 $H$, 则 $AO = CO = 6$, $AH = CH$.

$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,
$\therefore ∠ B + ∠ ADC = 180°$.
$\because ∠ B = 2∠ ADC$,
$\therefore 3∠ ADC = 180°$, 解得 $∠ ADC = 60°$,
$\therefore ∠ AOC = 2∠ ADC = 120°$.
$\because OA = OC$,
$\therefore ∠ OAC = ∠ OCA = \frac{1}{2}(180° - ∠ AOC) = 30°$.
$\because AO = 6$, $OH ⊥ AC$,
$\therefore OH = \frac{1}{2}AO = 3$,
由勾股定理得 $AH = \sqrt{AO^2 - OH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$,
$\therefore CH = AH = 3\sqrt{3}$,
$\therefore AC = AH + CH = 6\sqrt{3}$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠E=30°}$;
(2) $\boldsymbol{AC=6\sqrt{3}}$

【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形的计算，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补、等弧对等圆周角、同弧所对圆心角是圆周角的2倍、垂径定理等知识点，能将圆中求弦长的问题转化为直角三角形的边长计算问题，注重对基础知识的综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7