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1.「2026北京海淀期中」如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则底角的度数为（
A.36°
B.45°
C.45°或90°
D.45°或72°
D
）A.36°
B.45°
C.45°或90°
D.45°或72°
答案
①当顶角是底角的2倍时,设底角的度数为x,则顶角的度数为2x,
∴ x+x+2x=180°,解得x=45°,即底角的度数为45°;
②当底角是顶角的2倍时,设顶角的度数为x,则底角的度数为2x,
∴ x+2x+2x=180°,解得x=36°,则2x=72°,即底角的度数为72°.
综上,底角的度数为45°或72°.
∴ x+x+2x=180°,解得x=45°,即底角的度数为45°;
②当底角是顶角的2倍时,设顶角的度数为x,则底角的度数为2x,
∴ x+2x+2x=180°,解得x=36°,则2x=72°,即底角的度数为72°.
综上,底角的度数为45°或72°.
2.如图,在$3×3$的正方形网格中,A,B两点都在小方格的格点上,若点C也在格点上,且$△ ABC$是等腰三角形,那么符合题意的点C共有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
如图所示,当AB为腰时,符合题意的点C有2个,当AB为底边时,符合题意的点C有1个.综上,符合题意的点C有3个.故选C.
3.「2026江苏徐州月考」若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则该等腰三角形的底边长为
2或4
cm.答案
解析 ①若4 cm 为等腰三角形的腰长,则底边长为10-4-4=2(cm),此时三角形的三边长分别为2 cm,4 cm,4 cm,符合三角形的三边关系;
②若4 cm 为等腰三角形的底边长,则腰长为(10-4)÷2=3(cm),此时三角形的三边长分别为3 cm,3 cm,4 cm,符合三角形的三边关系.
∴ 该等腰三角形的底边长为2 或4 cm.
②若4 cm 为等腰三角形的底边长,则腰长为(10-4)÷2=3(cm),此时三角形的三边长分别为3 cm,3 cm,4 cm,符合三角形的三边关系.
∴ 该等腰三角形的底边长为2 或4 cm.
4.「2026山东青岛联考」如图，$∠ AOB = 60°$, $C$ 是 $BO$ 延长线上的一点，$OC = 10\ \mathrm{cm}$, 动点 $P$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发沿 $OA$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动，如果点 $P, Q$ 同时出发，用 $t(\mathrm{s})$ 表示移动的时间，当 $△ POQ$ 是等腰三角形时，求 $t$ 的值。
答案
解析 分两种情况:①当点P在线段OC上时,
∵ ∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=120°,
∴ 当△POQ是等腰三角形时,有OP=OQ,
即 10-2t=t,解得 $t=\frac{10}{3}$;
②当点P在 CO 的延长线上时,
∵ ∠POQ=60°,△POQ 是等腰三角形,
∴ △POQ 是等边三角形,
∴ OP=OQ,
即 2t-10=t,解得 t=10.
综上,t 的值为$\frac{10}{3}$或 10.
∵ ∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=120°,
∴ 当△POQ是等腰三角形时,有OP=OQ,
即 10-2t=t,解得 $t=\frac{10}{3}$;
②当点P在 CO 的延长线上时,
∵ ∠POQ=60°,△POQ 是等腰三角形,
∴ △POQ 是等边三角形,
∴ OP=OQ,
即 2t-10=t,解得 t=10.
综上,t 的值为$\frac{10}{3}$或 10.
5.「2026浙江宁波月考」在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，若$AB$边上的高与$AC$的夹角等于$40°$，则$∠ A=$（
A.$50°$
B.$120°$
C.$50°$或$130°$
D.$60°$或$120°$
C
）A.$50°$
B.$120°$
C.$50°$或$130°$
D.$60°$或$120°$
答案
如图1,当△ABC是锐角三角形时,CM是AB边上的高,
∵ CM⊥AB,
∴ ∠AMC=90°,
∵ ∠ACM=40°,
∴ ∠A=90°-40°=50°;
如图2,当△ABC是钝角三角形时,CN是AB边上的高,
∵ CN⊥BN,
∴ ∠BNC=90°,
∵ ∠ACN=40°,
∴ ∠CAN=90°-40°=50°,
∴ ∠BAC=180°-50°=130°.
综上,∠BAC=50°或130°.
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$45°$,求这个三角形的底角的度数.
答案
解析 分两种情况:
①如图,当等腰三角形 ABC 的顶角∠BAC 是锐角时,BD 是△ABC 的边 AC 上的高,
∵ ∠ABD=45°,∠ADB=90°,
∴ ∠A=90°-∠ABD=45°,
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2} ×( 180° - 45° )=$67.5°;
②如图,当等腰三角形 ABC 的顶角∠BAC 是钝角时,CD 是△ABC 的边 BA 上的高,
∵ ∠ACD=45°,∠ADC=90°,
∴ ∠CAD=90°-∠ACD=45°,
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠ACB,
∵ ∠CAD=∠B+∠ACB=2∠B,
∴ ∠B=22.5°.
综上,这个三角形的底角的度数是67.5°或22.5°.
7.「2026广东广州期中」已知等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，AB的垂直平分线与直线AC所夹的锐角为$40°$，则$∠ B$的度数为
65°或25°
。答案
解析 ①当AB 的垂直平分线交射线 AC 于点 E 时,如图1所示,
∵ DE⊥AB,∠AED=40°,
∴ ∠A=90°-∠AED=50°,
∵ AB=AC,
∴ ∠B=$\frac{1}{2}×(180°-∠A)=65°$;
②当AB 的垂直平分线交 CA 的延长线于点 E 时,如图2所示,
∵ DE⊥AB,∠AED=40°,
∴ ∠BAC=∠AED+∠ADE=130°,
∵ AB=AC,
∴ ∠B=$\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)=25°$.
综上所述,∠B 的度数为 65°或 25°.
8.等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB$边的垂直平分线交$AB$于点$D$,交直线$AC$于点$E$,连接$BE$,若$∠ BED=50°$,求$∠ ABC$的度数.
答案
解析 分两种情况:
①如图1,当△ABC 为锐角三角形时,
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ BE=AE,∠EDB=90°,
∴ ∠A=∠ABE,
∵ ∠BED=50°,
∴ ∠ABE=40°,
∴ ∠A=40°,
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2} ( 180° - ∠A ) = \frac{1}{2} ×$(180°-40°)= 70°;
②如图2,当△ABC 为钝角三角形时,
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ BE=AE,∠EDB=90°,
∴ ∠EAB=∠ABE,
∵ ∠BED=50°,
∴ ∠ABE=40°,
∴ ∠EAB=40°,
∴ ∠BAC=180°-40°=140°,
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2} ( 180° - ∠BAC ) = \frac{1}{2} ×$(180°-140°)= 20°.
综上,∠ABC 的度数为70°或20°.
