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1[2025河北石家庄期中,中]把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上.
(1)点A和点B在直线MN的上方时(如图(1)),∠ACM+∠BCN=
(2)把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时(如图(2)),∠ACM与∠BCN之间的数量关系是
(3)把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图(3)),求∠ACM与∠BCN之间的数量关系.
(1)点A和点B在直线MN的上方时(如图(1)),∠ACM+∠BCN=
90°
;(2)把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时(如图(2)),∠ACM与∠BCN之间的数量关系是
∠BCN-∠ACM=90°
;(3)把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图(3)),求∠ACM与∠BCN之间的数量关系.
答案
1.【解】(1)由题意得,当点A 和点 B 在直线 MN 的上方时,∠ACM + ∠BCN = 180° - ∠ACB = 180°-90°=90°. 故答案为90°.
(2)当点A 在直线 MN 的下方,点 B 仍然在直线 MN 的上方时,因为∠BCN=180°-∠BCM,∠ACM=90°-∠BCM,所以∠BCN-∠ACM=(180°-∠BCM)-(90°-∠BCM)=90°. 故答案为∠BCN-∠ACM=90°.
(3)当点A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,因为∠BCN = 180° - ∠BCM, ∠ACM = 90° + ∠BCM,所以∠BCN+∠ACM=(180°-∠BCM)+(90°+∠BCM)=270°.
思路分析
(3)当点A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,由∠BCN=180°-∠BCM,∠ACM=90°+∠BCM,可得∠ACM+∠BCN=270°.
(2)当点A 在直线 MN 的下方,点 B 仍然在直线 MN 的上方时,因为∠BCN=180°-∠BCM,∠ACM=90°-∠BCM,所以∠BCN-∠ACM=(180°-∠BCM)-(90°-∠BCM)=90°. 故答案为∠BCN-∠ACM=90°.
(3)当点A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,因为∠BCN = 180° - ∠BCM, ∠ACM = 90° + ∠BCM,所以∠BCN+∠ACM=(180°-∠BCM)+(90°+∠BCM)=270°.
思路分析
(3)当点A 和点 B 都在直线 MN 的下方时,由∠BCN=180°-∠BCM,∠ACM=90°+∠BCM,可得∠ACM+∠BCN=270°.
2[2025重庆大足区期末,较难]已知∠AOB=2∠COD=140°,OE平分∠AOD.
(1)如图(1),若∠COE=20°,求∠AOC的度数;
(2)将∠COD旋转至如图(2)的位置,若OF平分∠BOE,∠BOE=4∠AOC,求∠DOF的度数;
(3)将∠COD旋转至如图(3)的位置,若OF平分∠BOE,直接写出∠COE,∠AOF与∠COD之间的数量关系.
(1)如图(1),若∠COE=20°,求∠AOC的度数;
(2)将∠COD旋转至如图(2)的位置,若OF平分∠BOE,∠BOE=4∠AOC,求∠DOF的度数;
(3)将∠COD旋转至如图(3)的位置,若OF平分∠BOE,直接写出∠COE,∠AOF与∠COD之间的数量关系.
答案
2.【解】(1)因为2∠COD=140°,所以∠COD = 70°. 因为∠COE=20°,所以∠DOE=∠COD-∠COE = 50°. 因为 OE 平分∠AOD, 所以∠AOE = ∠DOE = 50°,所以∠AOC = ∠AOE - ∠COE=30°.
(2)设∠AOC = x. 因为∠BOE = 4∠AOC,所以∠BOE = 4x,所以∠AOE = ∠AOB - ∠BOE = 140°-4x. 因为 OE 平分∠AOD,所以∠DOE = ∠AOE = 140°-4x,所以∠AOD = 2∠AOE = 2(140°-4x). 因为∠AOD + ∠AOC = ∠COD,所以2(140°-4x) + x = 70°, 解得 x = 30°,所以∠DOE = 140°-4x = 20°, ∠BOE = 4x = 120°. 因为 OF 平分∠BOE, 所以∠EOF = 1/2∠BOE=60°,所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=60°-20°=40°.
(3)∠COE+2∠AOF=3∠COD. 因为 OE 平分∠AOD, 所以设 ∠AOE = ∠DOE = y, 所以∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = 140°+y, ∠COE = ∠COD+∠DOE=70°+y. 因为 OF 平分∠BOE,所以∠EOF = 1/2∠BOE = 70° + 1/2 y, 所以∠AOF = ∠EOF - ∠AOE = 70°+1/2 y - y = 70°-1/2 y, 所以∠COE + 2 ∠AOF = 70° + y + 2(70°-1/2 y )=210°= 3 ∠COD, 所以∠COE + 2∠AOF=3∠COD.
关键点拨
此题考查了角的计算,认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系,从而建立方程求出角的度数是解题的关键.
思路分析
(3)由 OE 平分∠AOD,设∠AOE=∠DOE=y,利用角的和差表示出∠COE,∠AOF,再结合∠COD的度数,即可解答.
(2)设∠AOC = x. 因为∠BOE = 4∠AOC,所以∠BOE = 4x,所以∠AOE = ∠AOB - ∠BOE = 140°-4x. 因为 OE 平分∠AOD,所以∠DOE = ∠AOE = 140°-4x,所以∠AOD = 2∠AOE = 2(140°-4x). 因为∠AOD + ∠AOC = ∠COD,所以2(140°-4x) + x = 70°, 解得 x = 30°,所以∠DOE = 140°-4x = 20°, ∠BOE = 4x = 120°. 因为 OF 平分∠BOE, 所以∠EOF = 1/2∠BOE=60°,所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=60°-20°=40°.
(3)∠COE+2∠AOF=3∠COD. 因为 OE 平分∠AOD, 所以设 ∠AOE = ∠DOE = y, 所以∠BOE = ∠AOB + ∠AOE = 140°+y, ∠COE = ∠COD+∠DOE=70°+y. 因为 OF 平分∠BOE,所以∠EOF = 1/2∠BOE = 70° + 1/2 y, 所以∠AOF = ∠EOF - ∠AOE = 70°+1/2 y - y = 70°-1/2 y, 所以∠COE + 2 ∠AOF = 70° + y + 2(70°-1/2 y )=210°= 3 ∠COD, 所以∠COE + 2∠AOF=3∠COD.
关键点拨
此题考查了角的计算,认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系,从而建立方程求出角的度数是解题的关键.
思路分析
(3)由 OE 平分∠AOD,设∠AOE=∠DOE=y,利用角的和差表示出∠COE,∠AOF,再结合∠COD的度数,即可解答.
3[中]已知$∠ AOB=80°$，$∠ COD=50°$，$OE$平分$∠ AOC$，$OF$平分$∠ BOD$.
(1) 如图(1)，当$OB$，$OC$重合时，求$∠ EOF$的度数.
(2) 将图(1)中$∠ COD$绕点$O$顺时针旋转$n°$（$0＜n＜50$）得到图(2)，$∠ EOF$的度数是否为定值？若是定值，求出$∠ EOF$的度数；若不是，请说明理由.
(3) 在(2)的条件下，若满足$∠ AOD - ∠ EOF = \dfrac{3}{2}(∠ BOE + ∠ COF)$，求$n$的值.
(1) 如图(1)，当$OB$，$OC$重合时，求$∠ EOF$的度数.
(2) 将图(1)中$∠ COD$绕点$O$顺时针旋转$n°$（$0＜n＜50$）得到图(2)，$∠ EOF$的度数是否为定值？若是定值，求出$∠ EOF$的度数；若不是，请说明理由.
(3) 在(2)的条件下，若满足$∠ AOD - ∠ EOF = \dfrac{3}{2}(∠ BOE + ∠ COF)$，求$n$的值.
答案
3.【解】(1) 因为 OB 与 OC 重合, OE 平分∠AOC,所以∠EOB=1/2∠AOB=40°. 因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=1/2∠COD=25°,所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=65°.
(2) ∠EOF 的度数是定值. 由旋转可知∠BOC = n°, 所以∠AOC = 80°+n°, ∠BOD = 50°+n°. 因为 OE 平分∠AOC,所以∠COE = 1/2∠AOC. 因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=1/2∠BOD, 所以∠EOF = ∠COE + ∠COF = ∠COE + (∠BOF - ∠BOC) = 1/2∠AOC + (1/2∠BOD-∠BOC) = 1/2×(80°+n°) + [1/2×(50°+n°)-n°] = 65°, 所以∠EOF 的度数是定值,为 65°.
(3) 因为∠AOB = 80°, ∠COD = 50°, ∠BOC = n°, 所以∠AOD = ∠AOB + ∠COD + ∠BOC = 80°+50°+n°=130°+n°. 因为∠AOD-∠EOF=3/2(∠BOE+∠COF)=3/2(∠EOF-∠BOC),且∠EOF=65°,所以 130°+n°-65°=3/2(65°-n°),解得 n=13,所以 n 的值为 13.
(2) ∠EOF 的度数是定值. 由旋转可知∠BOC = n°, 所以∠AOC = 80°+n°, ∠BOD = 50°+n°. 因为 OE 平分∠AOC,所以∠COE = 1/2∠AOC. 因为 OF 平分∠BOD,所以∠BOF=1/2∠BOD, 所以∠EOF = ∠COE + ∠COF = ∠COE + (∠BOF - ∠BOC) = 1/2∠AOC + (1/2∠BOD-∠BOC) = 1/2×(80°+n°) + [1/2×(50°+n°)-n°] = 65°, 所以∠EOF 的度数是定值,为 65°.
(3) 因为∠AOB = 80°, ∠COD = 50°, ∠BOC = n°, 所以∠AOD = ∠AOB + ∠COD + ∠BOC = 80°+50°+n°=130°+n°. 因为∠AOD-∠EOF=3/2(∠BOE+∠COF)=3/2(∠EOF-∠BOC),且∠EOF=65°,所以 130°+n°-65°=3/2(65°-n°),解得 n=13,所以 n 的值为 13.
