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9. 如图,小明家的仿古家具中的一块三角形的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为$△ ABC$,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是 (
A.$AB,BC,AC$
B.$AB,BC,∠ B$
C.$AB,AC,∠ B$
D.$∠ A,∠ B,BC$
第9题图 第10题图
C
)A.$AB,BC,AC$
B.$AB,BC,∠ B$
C.$AB,AC,∠ B$
D.$∠ A,∠ B,BC$
第9题图 第10题图
答案
9.C
解析
【分析】
要配出和原来完全相同的三角形玻璃，本质是判断给出的三组条件能否唯一确定一个三角形，即是否满足三角形全等的判定定理。若满足判定定理，得到的三角形和原三角形全等，就符合要求；若不满足，则无法保证得到的三角形和原三角形一致，就不一定符合要求，我们只需逐一分析各选项是否符合全等判定定理即可。
【解析】
我们结合三角形全等的判定定理逐个分析选项：
A选项：给出三边AB、BC、AC，符合“边边边（SSS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除A；
B选项：给出两边AB、BC以及两边的夹角∠B，符合“边角边（SAS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除B；
C选项：给出两边AB、AC和边AB的对角∠B，属于“边边角（SSA）”的情况，该条件不能判定三角形全等，无法唯一确定△ABC，配出的玻璃不一定符合要求，C符合题意；
D选项：给出两角∠A、∠B和角的对边BC，符合“角角边（AAS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等判定；全等三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等的判定，解题的关键是明确“配相同玻璃”等价于构造和原三角形全等的三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意“边边角（SSA）”不能作为三角形全等的判定依据，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
要配出和原来完全相同的三角形玻璃，本质是判断给出的三组条件能否唯一确定一个三角形，即是否满足三角形全等的判定定理。若满足判定定理，得到的三角形和原三角形全等，就符合要求；若不满足，则无法保证得到的三角形和原三角形一致，就不一定符合要求，我们只需逐一分析各选项是否符合全等判定定理即可。
【解析】
我们结合三角形全等的判定定理逐个分析选项：
A选项：给出三边AB、BC、AC，符合“边边边（SSS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除A；
B选项：给出两边AB、BC以及两边的夹角∠B，符合“边角边（SAS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除B；
C选项：给出两边AB、AC和边AB的对角∠B，属于“边边角（SSA）”的情况，该条件不能判定三角形全等，无法唯一确定△ABC，配出的玻璃不一定符合要求，C符合题意；
D选项：给出两角∠A、∠B和角的对边BC，符合“角角边（AAS）”全等判定定理，可唯一确定△ABC，配出的玻璃一定符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等判定；全等三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等的判定，解题的关键是明确“配相同玻璃”等价于构造和原三角形全等的三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意“边边角（SSA）”不能作为三角形全等的判定依据，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
10. 新考向 情境题 如图是一个可调节高度的电脑桌示意图，等长的支架AD，BC交于它们的中点E，液压杆FG与支架BC平行。若$∠ ABE=53°$，则$∠ FGD$的度数为
53°
。答案
10.53°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先利用中点的性质得到两组对应边相等，结合对顶角相等证明△AEB和△DEC全等，从而得到∠DCE和已知的∠ABE相等；第二步，根据FG与BC平行的条件，利用平行线同位角相等的性质，得到∠FGD与∠DCE相等，即可求出∠FGD的度数。
【解析】
解：
∵E是AD、BC的中点，
∴AE=DE，BE=CE。
在△AEB和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}AE=DE \\∠AEB=∠DEC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BE=CE\end{array} $
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴∠ABE=∠DCE=53°。
又
∵FG//BC，
∴∠FGD=∠DCE（两直线平行，同位角相等），
∴∠FGD=53°。
【答案】
53°
【知识点】
中点的定义；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的电脑桌情境考查几何基础知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和平行线的性质，能将实际问题转化为几何问题求解，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，先利用中点的性质得到两组对应边相等，结合对顶角相等证明△AEB和△DEC全等，从而得到∠DCE和已知的∠ABE相等；第二步，根据FG与BC平行的条件，利用平行线同位角相等的性质，得到∠FGD与∠DCE相等，即可求出∠FGD的度数。
【解析】
解：
∵E是AD、BC的中点，
∴AE=DE，BE=CE。
在△AEB和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}AE=DE \\∠AEB=∠DEC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BE=CE\end{array} $
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴∠ABE=∠DCE=53°。
又
∵FG//BC，
∴∠FGD=∠DCE（两直线平行，同位角相等），
∴∠FGD=53°。
【答案】
53°
【知识点】
中点的定义；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的电脑桌情境考查几何基础知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和平行线的性质，能将实际问题转化为几何问题求解，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 新考向 跨物理 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆动到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆动到OC位置时，OB与OC恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作CE⊥OA于点E。
(1)请你探究线段DE，BD，CE之间的数量关系；
(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，直线MN经过点A，E，D，且∠BDM＝∠BAC＝∠DEC。请判断DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由。
(1)请你探究线段DE，BD，CE之间的数量关系；
(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，直线MN经过点A，E，D，且∠BDM＝∠BAC＝∠DEC。请判断DE，BD，CE之间的数量关系，并说明理由。
答案
11.解:(1)
∵OB⊥OC,
∴∠BOC=∠BOD+∠COE=90°.
又
∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.
在△COE 和△OBD 中,
∵$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD.(AAS)
∴OE=BD,CE=OD.
∵OD=OE+DE,
∴CE=BD+DE.
(2)CE=DE+BD.理由如下:
∵∠BDM=∠DEC,
∴180°-∠BDM=180°-∠DEC,即∠ADB=∠CEA.
又
∵∠BDM = ∠ABD + ∠BAD,∠BAC = ∠BAD + ∠CAE,∠BDM=∠BAC,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,
∵$\begin{cases} ∠ADB=∠CEA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE.(AAS)
∴AD=CE,BD=AE.
∵AD=DE+AE,
∴CE=DE+BD.
∵OB⊥OC,
∴∠BOC=∠BOD+∠COE=90°.
又
∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°.
∴∠BOD+∠B=90°.
∴∠COE=∠B.
在△COE 和△OBD 中,
∵$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD.(AAS)
∴OE=BD,CE=OD.
∵OD=OE+DE,
∴CE=BD+DE.
(2)CE=DE+BD.理由如下:
∵∠BDM=∠DEC,
∴180°-∠BDM=180°-∠DEC,即∠ADB=∠CEA.
又
∵∠BDM = ∠ABD + ∠BAD,∠BAC = ∠BAD + ∠CAE,∠BDM=∠BAC,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,
∵$\begin{cases} ∠ADB=∠CEA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE.(AAS)
∴AD=CE,BD=AE.
∵AD=DE+AE,
∴CE=DE+BD.
解析
【分析】
(1) 先根据垂直关系得到直角相等，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合OB=OC，用AAS证明△COE≌△OBD，得到对应边相等后，结合线段的和差关系即可推导出DE、BD、CE的数量关系；
(2) 先根据等角的补角相等得到一组对应角相等，再利用角的和差关系推出另一组对应角相等，结合AB=AC，用AAS证明△ABD≌△CAE，得到对应边相等后，结合线段的和差关系即可推导三条线段的数量关系。
【解析】
(1)
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COE=90°，
又
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴OE=BD，CE=OD，
∵OD=OE+DE，
∴CE=BD+DE。
(2) CE=DE+BD，理由如下：
∵∠BDM=∠DEC，
∴180°-∠BDM=180°-∠DEC，即∠ADB=∠CEA，
又
∵∠BDM=∠ABD+∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠CAE，∠BDM=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠CEA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∵AD=DE+AE，
∴CE=DE+BD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=BD+DE}$；(2) $\boldsymbol{CE=DE+BD}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，补角的性质
【点评】
本题结合物理学科的振动实验背景，灵活考查全等三角形的判定以及线段和差关系的推导，解题关键是通过角的等量转换得到全等判定所需的对应角相等条件，进而将所求线段转化为全等三角形的对应边进行分析，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据垂直关系得到直角相等，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合OB=OC，用AAS证明△COE≌△OBD，得到对应边相等后，结合线段的和差关系即可推导出DE、BD、CE的数量关系；
(2) 先根据等角的补角相等得到一组对应角相等，再利用角的和差关系推出另一组对应角相等，结合AB=AC，用AAS证明△ABD≌△CAE，得到对应边相等后，结合线段的和差关系即可推导三条线段的数量关系。
【解析】
(1)
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COE=90°，
又
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴OE=BD，CE=OD，
∵OD=OE+DE，
∴CE=BD+DE。
(2) CE=DE+BD，理由如下：
∵∠BDM=∠DEC，
∴180°-∠BDM=180°-∠DEC，即∠ADB=∠CEA，
又
∵∠BDM=∠ABD+∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠CAE，∠BDM=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠CEA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∵AD=DE+AE，
∴CE=DE+BD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=BD+DE}$；(2) $\boldsymbol{CE=DE+BD}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，补角的性质
【点评】
本题结合物理学科的振动实验背景，灵活考查全等三角形的判定以及线段和差关系的推导，解题关键是通过角的等量转换得到全等判定所需的对应角相等条件，进而将所求线段转化为全等三角形的对应边进行分析，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
