1.下列句子中,属于定义的是.
①两点确定一条直线;②同角或等角的余角相等;
③两直线平行,内错角相等;④有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;⑤三角形三条中线的交点是三角形的重心.

1. ④⑤

【分析】
要解决这道题，首先要明确定义的核心特征：定义是对一个名称或术语的含义进行明确规定的语句，作用是说明“某类事物是什么”，和陈述规律、性质的公理、定理有本质区别。解题时我们只需逐个判断每个句子是否是在给某个概念下解释即可：第一步先厘清定义、公理、定理的区别，公理是公认的真命题，定理是经过证明的真命题，二者都用于陈述规律，不属于定义；第二步逐一核对5个句子，筛选出满足“给某一概念下明确含义”要求的句子即可。
【解析】
首先明确定义的概念：对名称或术语的含义加以描述、作出明确规定的语句叫做定义。
我们对每个句子逐一分析：
①“两点确定一条直线”是公认的直线基本事实（公理），陈述的是直线的确定规律，没有说明某个概念的含义，不属于定义；
②“同角或等角的余角相等”是余角的性质定理，陈述的是余角的相关性质，没有说明某个概念的含义，不属于定义；
③“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，陈述的是平行线的性质，没有说明某个概念的含义，不属于定义；
④“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”明确规定了钝角三角形的判定标准，是对钝角三角形这一概念含义的说明，属于定义；
⑤“三角形三条中线的交点是三角形的重心”明确规定了三角形重心的含义，属于定义。
综上，属于定义的是④⑤。
【答案】
④⑤
【知识点】
1. 定义的判定
2. 定义与命题的区分
【点评】
本题重点考查定义与公理、定理的区分，解题关键是抓住定义“明确概念含义”的核心特征，注意不要把陈述规律、性质的真命题错当成定义。
【难度系数】
0.8

2.有下列语句:①三角形的内角和等于$180°$;②如果两个角的和是$90°$,那么这两个角互余;③请画出两条互相平行的直线;④过直线外一点作已知直线的垂线.其中,是命题的是 ()

A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

2. A

【分析】
解决这道题的核心是掌握命题的判定标准：判断一件事情的语句叫做命题，命题需要同时满足两个条件，一是属于陈述句，二是能够明确判断真假。我们按照这个标准逐一分析四个语句即可：①②都是对数学结论的陈述，能判断真假，符合命题要求；③④是要求执行操作的祈使句，没有对事情作出对错判断，不符合命题要求，由此就能确定正确选项。
【解析】
解：根据命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题需是能判断真假的陈述句，对四个语句逐一判断：
①“三角形的内角和等于$180°$”是可判断为真的陈述句，属于命题；
②“如果两个角的和是$90°$，那么这两个角互余”是可判断为真的陈述句，属于命题；
③“请画出两条互相平行的直线”是祈使句，没有作出真假判断，不属于命题；
④“过直线外一点作已知直线的垂线”是祈使句，没有作出真假判断，不属于命题。
因此是命题的为①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
命题的定义
【点评】
本题考查命题的识别，解题关键是牢记命题的两个核心特征：一是为陈述句，二是能够判断真假，祈使句、疑问句等没有明确判断结果的语句都不属于命题。
【难度系数】
0.9

3. 下列命题中,是真命题的是 ()

A.内错角相等
B.对顶角相等
C.若 $ m^2 = n^2 $,则 $ m = n $
D.若 $ a ＞ b $,则 $ a^2 ＞ b^2 $

3. B

【分析】
本题考查真命题的判断，真命题是题设成立时结论一定成立的命题，判断时可结合相关性质定理验证，假命题只需举出一个反例即可推翻。我们可以逐个分析每个选项：结合对应知识点判断是否成立，不成立的举反例排除，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐一判断各选项的真假：
1. 选项A：内错角相等的前提是两直线平行，题目中没有给出两直线平行的条件，因此该命题不成立，是假命题；
2. 选项B：对顶角相等是已经被证明的几何定理，只要两个角是对顶角就一定相等，是真命题；
3. 选项C：举反例：当$m=2$，$n=-2$时，$m^2=4$，$n^2=4$，满足$m^2=n^2$，但$m≠n$，因此该命题是假命题；
4. 选项D：举反例：当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2＜b^2$，因此该命题是假命题。
综上，只有B选项是真命题。
【答案】
B
【知识点】
命题真假判断、对顶角的性质、内错角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对基础性质定理的掌握情况，解题时要注意命题成立的前提条件，熟练运用举反例的方法可以快速排除错误选项。
【难度系数】
0.9

4. 以下命题是假命题的是 （）

A.$\sqrt{4}$的算术平方根是2
B.有两边相等的三角形是等腰三角形
C.三角形的一条中线将其面积平分
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行

4. A

【分析】
本题需要判断四个命题的真假，找出假命题。解题时要逐一对应每个选项涉及的数学概念、定理，验证表述是否正确：首先回忆算术平方根的计算规则、等腰三角形的定义、三角形中线的性质、平行公理的内容，逐个判断选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：先计算$\sqrt{4}=2$，根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根叫做它的算术平方根，因此2的算术平方根是$\sqrt{2}$，不是2，该命题表述错误，是假命题；
B选项：根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，表述正确，是真命题；
C选项：三角形的中线平分对边，分得的两个小三角形等底同高，因此面积相等，即三角形的一条中线将其面积平分，表述正确，是真命题；
D选项：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，表述正确，是真命题。
综上，假命题为A选项。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的计算；命题真假判断；几何基础概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于部分同学会直接跳过计算$\sqrt{4}$的步骤，误将$\sqrt{4}$的算术平方根认为是2，导致判断错误，学习时要注意对概念的准确理解，分析问题时不要跳步。
【难度系数】
0.6

5. 请将命题“三角形两边之和大于第三边”改写成“如果……那么……”的形式：。.

5. 如果一个图形是三角形,那么该三角形两边之和大于第三边

【分析】
要把命题改写成“如果……那么……”的形式，核心是先区分命题的题设（已知条件）和结论（由条件推出的结果）。本题中原命题的已知前提是“一个图形是三角形”，由这个前提能推出的结果是“这个三角形的两边之和大于第三边”，接下来把题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，整理成通顺且不改变原意的语句即可。
【解析】
第一步：拆分原命题的组成部分
题设：一个图形是三角形
结论：该三角形两边之和大于第三边
第二步：按照“如果+题设，那么+结论”的格式组合语句，得到改写后的命题。
【答案】
如果一个图形是三角形,那么该三角形两边之和大于第三边
【知识点】
命题的结构；命题改写
【点评】
本题是基础类题型，考查命题改写的基本方法，解题时只要准确区分命题的题设和结论，改写时不改变原命题的含义、语句通顺即可得分。
【难度系数】
0.9

6. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）

A.$∠α=60°,∠α$的补角$∠β=120°,∠β＞∠α$
B.$∠α=90°,∠α$的补角$∠β=90°,∠β=∠α$
C.$∠α=100°,∠α$的补角$∠β=80°,∠β＜∠α$
D.以上都不正确

6. C

【分析】
要判断假命题的反例，首先明确两个核心要点：1. 补角的定义：若两个角的和为180°，则两角互为补角，一个角的补角=180°减去这个角；2. 反例的要求：符合原命题的条件（是某个角的补角），但不满足原命题的结论（补角不小于原角，即补角≥原角）。因此我们需要找到“补角＜原角”的情况，也就是原角大于90°时，它的补角就会小于原角，对应选项判断即可。
【解析】
首先明确原命题的含义：对任意角∠α，它的补角∠β满足∠β≥∠α。要举反例，需找到∠β＜∠α的情况。
根据补角定义：∠α+∠β=180°，即∠β=180°-∠α。
选项A：∠β=120°＞60°=∠α，满足∠β≥∠α，符合原命题，不能作为反例；
选项B：∠β=90°=90°=∠α，满足∠β≥∠α，符合原命题，不能作为反例；
选项C：∠β=180°-100°=80°＜100°=∠α，不满足原命题的结论，可作为反例。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；假命题的反例
【点评】
本题考查反例的识别和补角的相关计算，解题的关键是理解反例需要符合命题的条件，但不符合命题的结论，同时熟练掌握补角的计算方法。
【难度系数】
0.8

7. [2025 无锡] 请写出命题“若$a＞b$,则$a+1＞b+1$”的逆命题：.

7. 若$a+1＞b+1$,则$a＞b$

【分析】
首先回忆逆命题的相关概念：对于“若……则……”形式的命题，“若”后面的内容是命题的题设（条件），“则”后面的内容是命题的结论，逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的新命题。因此我们只需要先拆分出原命题的题设和结论，再把两者交换位置，就能得到所求的逆命题。
【解析】
先拆分原命题“若$a＞b$，则$a+1＞b+1$”的结构：
题设（条件）为：$a＞b$；
结论为：$a+1＞b+1$。
根据逆命题的定义，将题设和结论互换位置，即可得到逆命题。
【答案】
若$a+1＞b+1$,则$a＞b$
【知识点】
逆命题的定义；命题的结构
【点评】
本题属于基础题，主要考查逆命题的改写方法，解题核心是准确识别原命题的题设和结论，熟练掌握“若p则q”形式命题的改写规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

8. 用一组a,b,c的值说明命题“如果a＜b，那么ac＜bc”是假命题，这组值可以是a=，b=，c=。

8. 3；4；-1(答案不唯一)

【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出反例即可，反例需要满足命题的题设（a＜b），但不满足命题的结论（ac＜bc）。结合不等式的性质可知，当不等式两边同时乘非正数时，不等号方向不会保持原方向（乘负数不等号反转，乘0两边相等），因此我们只需选取满足a＜b的两个数，再取c≤0即可构造出符合要求的反例。
【解析】
我们选取a=3，b=4，首先满足题设a＜b（3＜4）；再取c=-1，分别计算ac和bc：
ac=3×(-1)=-3，bc=4×(-1)=-4，
此时-3＞-4，即ac＞bc，不满足结论ac＜bc，因此该组值可证明原命题是假命题。
注：答案不唯一，只要满足a＜b、c≤0的任意一组值均可，例如a=1，b=2，c=0也符合要求。
【答案】
3；4；-1（答案不唯一）
【知识点】
假命题的判定，不等式的基本性质
【点评】
本题核心是考查反例的构造方法，需要学生准确把握反例的要求，同时熟练运用不等式的性质，题目开放度高，难度较低，只要符合逻辑的取值都正确。
【难度系数】
0.8

9. 下列各命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例.
(1)若$a^2＞1$，则$a＞1$；
(2)锐角小于它的余角；
(3)如图，如果$∠1=∠2,CE// BF$，那么$AB// CD$.

9.【解】(1)假命题. 举反例不唯一,例如:当$a=-2$时,满足$a^2＞1$,但$a＜1$.
(2)假命题.举反例不唯一,例如:$45°$角的余角为$45°$角,但$45°=45°$.
(3)真命题.

【分析】
(1)判断命题真假时，若能找到满足题设但不满足结论的反例，即可判定为假命题。对于$a^2＞1$的情况，$a$可取正也可取负，负数的平方仍为正数，可从负数中寻找符合要求的反例。
(2)首先明确余角定义：若两个锐角的和为$90°$，则这两个角互为余角，一个锐角的余角为$90°$减去该锐角，只需找到一个大于等于其自身余角的锐角，即可作为反例证明命题为假。
(3)结合平行线的性质和判定推导：先根据$CE// BF$得到对应角的等量关系，再结合已知$∠1=∠2$，推导得到$AB$和$CD$的内错角相等，即可判定两直线平行，证明命题为真。
【解析】
(1) 假命题。反例：当$a=-2$时，$a^2=(-2)^2=4＞1$，满足题设条件，但$-2＜1$，不满足结论，因此该命题是假命题。
(2) 假命题。根据余角定义，两个角的和为$90°$则互为余角。反例：取锐角为$45°$，它的余角为$90°-45°=45°$，此时锐角等于它的余角，不满足“锐角小于它的余角”的结论，因此该命题是假命题。
(3) 真命题，证明如下：
$\because CE// BF$（已知），
$\therefore ∠ C=∠ 2$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ 1=∠ 2$（已知），
$\therefore ∠ 1=∠ C$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行），因此该命题是真命题。
【答案】
(1)假命题，反例：当$a=-2$时，$a^2＞1$，但$a＜1$（反例不唯一）；
(2)假命题，反例：$45°$角的余角为$45°$，$45°=45°$，不满足小于的关系（反例不唯一）；
(3)真命题。
【知识点】
真假命题判断，余角的定义，平行线的判定与性质
【点评】
本题考查真假命题的判断方法，判断假命题只需举出一个符合题设但不符合结论的反例即可，判断真命题则需要结合相关定理进行严谨的逻辑推导，题目综合了乘方性质、余角概念和平行线的相关知识，属于基础类命题判断题目。
【难度系数】
0.8

10. ★★ 新考法阅读类比法 在解答一道练习题时，两名同学呈现了不同的做法.
题目:如图，AB//CD，要使∠ABE=∠DCF，还需要添加什么条件？说明你的结论.
(1)小明添加的条件是“CF//BE”，根据这一条件将过程中的①②补充完整；

①: ;② ;
(2)小刚添加的条件是“CF平分∠DCB，BE平分∠ABC”，根据这一条件请你完成说明过程.

10.【解】(1)①两直线平行,内错角相等
②$∠FCB=∠EBC$
(2)因为$AB/\!/CD$,所以$∠DCB=∠ABC$.
因为$CF$平分$∠DCB$,$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠DCF=\frac{1}{2}∠DCB$,$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$.
所以$∠ABE=∠DCF$.

【分析】
本题考查平行线性质与角平分线定义的应用，解题思路如下：
(1) 已知AB//CD，首先由平行线性质可得∠ABC=∠DCB；添加CF//BE的条件后，根据平行线内错角相等的性质可得到一组小角相等，两个相等的大角分别减去相等的小角，即可推出∠ABE=∠DCF，因此①填写该步推导的定理依据，②填写得到的角相等结论。
(2) 先利用AB//CD得到∠DCB与∠ABC相等，再结合角平分线的定义，可得∠DCF、∠ABE分别是对应大角的一半，通过等量代换即可证明两个角相等。
【解析】
(1) 因为AB//CD，所以∠ABC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
又因为CF//BE，所以根据①两直线平行，内错角相等，可得②$\boldsymbol{∠FCB=∠EBC}$，
因此∠ABC - ∠EBC = ∠DCB - ∠FCB，即∠ABE=∠DCF。
(2) 证明过程：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠DCB=∠ABC$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $CF$平分$∠DCB$，$BE$平分$∠ABC$，
∴ $∠DCF=\frac{1}{2}∠DCB$，$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$（角平分线的定义）。
∴ $∠ABE=∠DCF$（等量代换）。
【答案】
(1) ①两直线平行,内错角相等；②$∠FCB=∠EBC$
(2) 因为$AB/\!/CD$,所以$∠DCB=∠ABC$。
因为$CF$平分$∠DCB$,$BE$平分$∠ABC$,
所以$∠DCF=\frac{1}{2}∠DCB$,$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC$。
所以$∠ABE=∠DCF$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题属于基础几何推理题，结合平行线性质和角平分线定义考查逻辑推导能力，解题时要注意每一步推导都要有对应的定理依据，保证证明过程规范严谨。
【难度系数】
0.7