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3.【问题提出】(1) 小明通过“直线与圆的位置关系”的学习,已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线.在对这一知识的学习过程进行反思时,小明突发奇想:如图1,直线$l$与$\odot O$相离,点$P$在直线$l$上运动,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$A$,则$PA$的长是否存在最小值?
小明探究后发现,当$OP⊥$直线$l$时,$PA$的长最小.
请帮小明证明该结论；
【理解内化】(2)如图2,正方形$ABCD$的边长为4,以$D$为圆心,2为半径作圆.点$P$是$BC$边上的动点,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$E$,则$PE$的取值范围为.
【拓展应用】(3)如图3,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴和$y$轴分别相交于$A,B$两点,$P$是该直线上的任一点.将直线$y=\frac{3}{4}x+3$向下平移5个单位长度,与$x$轴和$y$轴分别相交于$D,C$两点,过点$D$向以$P$为圆心,2为半径的$\odot P$右侧作切线,切点为$E$.则四边形$CPED$面积的最小值为.
(4) 在平面直角坐标系中,$\odot A$的半径为2,$A(0,4)$,过直线$y=kx(k≠0)$上一点$P$,作$\odot A$的切线,切点为$E$,$△ PAE$的最小面积为$S$.若$1≤ S≤\frac{3}{2}$,请直接写出$k$的取值范围.
小明探究后发现,当$OP⊥$直线$l$时,$PA$的长最小.
请帮小明证明该结论；
【理解内化】(2)如图2,正方形$ABCD$的边长为4,以$D$为圆心,2为半径作圆.点$P$是$BC$边上的动点,过点$P$作$\odot O$的切线,切点为$E$,则$PE$的取值范围为.
【拓展应用】(3)如图3,直线$y=\frac{3}{4}x+3$与$x$轴和$y$轴分别相交于$A,B$两点,$P$是该直线上的任一点.将直线$y=\frac{3}{4}x+3$向下平移5个单位长度,与$x$轴和$y$轴分别相交于$D,C$两点,过点$D$向以$P$为圆心,2为半径的$\odot P$右侧作切线,切点为$E$.则四边形$CPED$面积的最小值为.
(4) 在平面直角坐标系中,$\odot A$的半径为2,$A(0,4)$,过直线$y=kx(k≠0)$上一点$P$,作$\odot A$的切线,切点为$E$,$△ PAE$的最小面积为$S$.若$1≤ S≤\frac{3}{2}$,请直接写出$k$的取值范围.
答案
3. (1) 在直线$l$上任取不同于点$P$的一点$P_{1}$,则有$OP_{1}＞OP$.
过$P_{1}$作$\odot O$的切线,切点为$B$.连接$OA,OB,OP_{1}$.
$\because PA,P_{1}B$都是$\odot O$的切线,
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ P_{1}B$.
$\therefore P_{1}B=\sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}},PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$.
$\because OA=OB$,
$\therefore \sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}}＞\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$,即$P_{1}B＞PA$.
$\therefore PA$的长最小.
(2) $2\sqrt{3}≤ PE≤ 2\sqrt{7}$;
(3) $\frac{20+6\sqrt{3}}{3}$;
(4) $-\frac{\sqrt{55}}{5}≤ k≤ -\frac{\sqrt{39}}{5}$或$\frac{\sqrt{39}}{5}≤ k≤ \frac{\sqrt{55}}{5}$.
过$P_{1}$作$\odot O$的切线,切点为$B$.连接$OA,OB,OP_{1}$.
$\because PA,P_{1}B$都是$\odot O$的切线,
$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ P_{1}B$.
$\therefore P_{1}B=\sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}},PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$.
$\because OA=OB$,
$\therefore \sqrt{P_{1}O^{2}-OB^{2}}＞\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}$,即$P_{1}B＞PA$.
$\therefore PA$的长最小.
(2) $2\sqrt{3}≤ PE≤ 2\sqrt{7}$;
(3) $\frac{20+6\sqrt{3}}{3}$;
(4) $-\frac{\sqrt{55}}{5}≤ k≤ -\frac{\sqrt{39}}{5}$或$\frac{\sqrt{39}}{5}≤ k≤ \frac{\sqrt{55}}{5}$.
