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1.下列平行四边形一定为菱形的是 （
C
）答案
1.C 选项 A 中,
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对角线互相平分,故 A 不一定是菱形.选项 B 中,
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边相等,故 B 不一定是菱形.选项 C 中,根据三角形的内角和定理可得 180°-70°-55°= 55°,
∴ 平行四边形的邻边相等,
∴ C 是菱形.
选项 D 中,
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边平行,故 D 不一定是菱形.故选 C.
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对角线互相平分,故 A 不一定是菱形.选项 B 中,
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边相等,故 B 不一定是菱形.选项 C 中,根据三角形的内角和定理可得 180°-70°-55°= 55°,
∴ 平行四边形的邻边相等,
∴ C 是菱形.
选项 D 中,
∵ 四边形是平行四边形,
∴ 对边平行,故 D 不一定是菱形.故选 C.
解析
【分析】
要判断平行四边形是否为菱形，需结合菱形的判定定理分析：常见的菱形判定方法包括“一组邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”等，我们只需逐个验证各选项是否满足判定条件即可。首先回忆平行四边形的固有性质，排除仅体现平行四边形本身性质、无法得到菱形判定条件的选项，再通过角度计算等推导是否存在邻边相等或对角线垂直的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：平行四边形的对角线天然互相平分，图中仅给出一条对角线被平分后的两段长为3，无法证明对角线互相垂直，也不能推出邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
2. 选项B：平行四边形的对边天然相等，图中仅给出一组对边长为3，属于平行四边形本身的性质，无法证明邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
3. 选项C：在对角线与平行四边形底边构成的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为$180° - 70° - 55° = 55°$，根据等角对等边，可得该三角形中两个$55°$角所对的边相等，即平行四边形的一组邻边相等。根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形一定是菱形。
4. 选项D：平行四边形对边平行，图中两个$65°$的角是平行线被对角线截得的内错角，天然相等，属于平行四边形本身的性质，无法证明邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、三角形内角和定理、平行四边形的性质
【点评】
本题核心是将平行四边形的性质与菱形的判定相结合，解题时要注意区分平行四边形本身具备的性质和菱形特有的判定条件，通过角度计算推导边的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断平行四边形是否为菱形，需结合菱形的判定定理分析：常见的菱形判定方法包括“一组邻边相等的平行四边形是菱形”“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”等，我们只需逐个验证各选项是否满足判定条件即可。首先回忆平行四边形的固有性质，排除仅体现平行四边形本身性质、无法得到菱形判定条件的选项，再通过角度计算等推导是否存在邻边相等或对角线垂直的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：平行四边形的对角线天然互相平分，图中仅给出一条对角线被平分后的两段长为3，无法证明对角线互相垂直，也不能推出邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
2. 选项B：平行四边形的对边天然相等，图中仅给出一组对边长为3，属于平行四边形本身的性质，无法证明邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
3. 选项C：在对角线与平行四边形底边构成的三角形中，根据三角形内角和为180°，可得第三个角的度数为$180° - 70° - 55° = 55°$，根据等角对等边，可得该三角形中两个$55°$角所对的边相等，即平行四边形的一组邻边相等。根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形一定是菱形。
4. 选项D：平行四边形对边平行，图中两个$65°$的角是平行线被对角线截得的内错角，天然相等，属于平行四边形本身的性质，无法证明邻边相等，因此该平行四边形不一定是菱形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、三角形内角和定理、平行四边形的性质
【点评】
本题核心是将平行四边形的性质与菱形的判定相结合，解题时要注意区分平行四边形本身具备的性质和菱形特有的判定条件，通过角度计算推导边的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 聚焦 中考 尺规作图「2025四川内江中考」按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°,则∠BDC的度数是 (
A.64°
B.66°
C.68°
D.70°
D
)A.64°
B.66°
C.68°
D.70°
答案
2.D 由尺规作图可知 AB = AD = BC = DC,
∴ 四边形ABCD 是菱形,
∴ AB//CD, ∠BDC= ∠ADB=1/2 ∠ADC,
∴ ∠A+ADC= 180°,
∵ ∠A=40°,
∴ ∠ADC= 180°-∠A= 140°,
∴ ∠BDC=1/2 ∠ADC=70°.故选 D.
∴ 四边形ABCD 是菱形,
∴ AB//CD, ∠BDC= ∠ADB=1/2 ∠ADC,
∴ ∠A+ADC= 180°,
∵ ∠A=40°,
∴ ∠ADC= 180°-∠A= 140°,
∴ ∠BDC=1/2 ∠ADC=70°.故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要结合尺规作图的步骤判断四边形ABCD的边的关系：步骤2以A为圆心1单位长为半径画弧，可得AB=AD；步骤3以B、D为圆心1单位长为半径画弧，可得BC=DC=1，因此四条边长度相等，可判定四边形ABCD是菱形。接下来利用菱形的性质：对边平行，同旁内角互补，且对角线平分一组内角，先结合已知∠A的度数求出∠ADC的度数，再计算∠BDC的度数即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知：AB=AD=1，BC=DC=1，
∴AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，BD平分∠ADC，
∴∠A+∠ADC=180°，∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠A=40°，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
故选D。
【答案】D
【知识点】
尺规作图、菱形的判定、菱形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，解题核心是从作图过程中提取边相等的条件，判定四边形为菱形后再利用其角度性质计算，属于基础题型，需要熟练掌握菱形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要结合尺规作图的步骤判断四边形ABCD的边的关系：步骤2以A为圆心1单位长为半径画弧，可得AB=AD；步骤3以B、D为圆心1单位长为半径画弧，可得BC=DC=1，因此四条边长度相等，可判定四边形ABCD是菱形。接下来利用菱形的性质：对边平行，同旁内角互补，且对角线平分一组内角，先结合已知∠A的度数求出∠ADC的度数，再计算∠BDC的度数即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知：AB=AD=1，BC=DC=1，
∴AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，BD平分∠ADC，
∴∠A+∠ADC=180°，∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠A=40°，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
故选D。
【答案】D
【知识点】
尺规作图、菱形的判定、菱形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与性质，解题核心是从作图过程中提取边相等的条件，判定四边形为菱形后再利用其角度性质计算，属于基础题型，需要熟练掌握菱形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.8
3.小明用四个全等的含$30°$角的直角三角尺分别拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
3.D 题图的三个图案中,第一个与第三个图案的四条边都相等,
∴ 第一个与第三个图案是菱形.
在题图的第二个图案中标字母,如图,
∵ 四边形 ABCD 是由四个全等的含 30°角的直角三角尺拼成的,
∴ AD=BC=EF,CD=AB,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∵ ∠ADF = ∠FEB = 30°, ∠AFD = ∠FBE=90°,
∴ AF = 1/2 AD, BF = 1/2 EF,
∴ AF + BF = 1/2(AD+EF) = 1/2 ×2AD = AD,
∴ AB = AD,
∴ 四边形 ABCD 是菱形.故选 D.
解析
【分析】
解题时需结合菱形的判定定理逐个分析三个图案：菱形可通过“四条边都相等的四边形是菱形”判定，也可通过“先判定为平行四边形，再证明一组邻边相等”判定。已知四个直角三角尺全等且含30°角，可利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质分析各图案的边长关系，依次判断即可。
【解析】
我们结合菱形的判定方法逐个分析：
1. 第一个图案：其四条边均为全等直角三角尺的斜边，因此四条边长度相等，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可知第一个图案是菱形。
2. 第二个图案：
① 由四个全等的含30°角的直角三角尺拼接可得，$AD=BC$，$CD=AB$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABCD$是平行四边形。
② 在$Rt△ ADF$中，$∠ ADF=30°$，因此$AF=\frac{1}{2}AD$；在$Rt△ BEF$中，$∠ FEB=30°$，因此$BF=\frac{1}{2}EF$。
③ 因为三角尺全等，所以$AD=EF$，因此$AB=AF+BF=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}AD=AD$，即平行四边形$ABCD$的邻边$AB=AD$。
④ 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知第二个图案是菱形。
3. 第三个图案：其四条边均为全等直角三角尺的斜边，四条边长度相等，因此是菱形。
综上，三个图案均为菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题围绕图形拼接场景考查菱形的判定，需要结合特殊直角三角形的性质分析边长关系，解题时可灵活选择菱形的判定方法，解题关键是准确观察拼接图形的边的构成，避免因漏看边长关系判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合菱形的判定定理逐个分析三个图案：菱形可通过“四条边都相等的四边形是菱形”判定，也可通过“先判定为平行四边形，再证明一组邻边相等”判定。已知四个直角三角尺全等且含30°角，可利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质分析各图案的边长关系，依次判断即可。
【解析】
我们结合菱形的判定方法逐个分析：
1. 第一个图案：其四条边均为全等直角三角尺的斜边，因此四条边长度相等，根据“四条边相等的四边形是菱形”，可知第一个图案是菱形。
2. 第二个图案：
① 由四个全等的含30°角的直角三角尺拼接可得，$AD=BC$，$CD=AB$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABCD$是平行四边形。
② 在$Rt△ ADF$中，$∠ ADF=30°$，因此$AF=\frac{1}{2}AD$；在$Rt△ BEF$中，$∠ FEB=30°$，因此$BF=\frac{1}{2}EF$。
③ 因为三角尺全等，所以$AD=EF$，因此$AB=AF+BF=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}AD=AD$，即平行四边形$ABCD$的邻边$AB=AD$。
④ 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知第二个图案是菱形。
3. 第三个图案：其四条边均为全等直角三角尺的斜边，四条边长度相等，因此是菱形。
综上，三个图案均为菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题围绕图形拼接场景考查菱形的判定，需要结合特殊直角三角形的性质分析边长关系，解题时可灵活选择菱形的判定方法，解题关键是准确观察拼接图形的边的构成，避免因漏看边长关系判断错误。
【难度系数】
0.7
4.「2025江苏扬州中考节选」如图，在$□ ABCD$中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.
答案
4.证明
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ EA=EC,FA=FC,OA=OC, ∠AOE= ∠COF=90°,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ ∠OAE= ∠OCF,
在△OAE 和△OCF 中,{∠AOE=∠COF,OA=OC,∠OAE=∠OCF,
∴ △OAE≌△OCF(ASA),
∴ EA= FC,
∴ EA=EC=FC=FA,
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ EA=EC,FA=FC,OA=OC, ∠AOE= ∠COF=90°,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ ∠OAE= ∠OCF,
在△OAE 和△OCF 中,{∠AOE=∠COF,OA=OC,∠OAE=∠OCF,
∴ △OAE≌△OCF(ASA),
∴ EA= FC,
∴ EA=EC=FC=FA,
∴ 四边形 AFCE 是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形AFCE是菱形，可结合菱形的判定定理梳理思路：首先由EF是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC、FA=FC；再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角∠OAE=∠OCF，结合OA=OC、对顶角∠AOE=∠COF可证△OAE≌△OCF，得到EA=FC，进而推出四边形四条边都相等，即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ EA=EC,FA=FC,OA=OC, ∠AOE= ∠COF=90°,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ ∠OAE= ∠OCF,
在△OAE 和△OCF 中,
$\begin{cases}∠AOE=∠COF \\OA=OC \\∠OAE=∠OCF\end{cases}$
∴ △OAE≌△OCF(ASA),
∴ EA= FC,
∴ EA=EC=FC=FA,
∴ 四边形 AFCE 是菱形。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合了全等三角形、特殊四边形的相关性质与判定，解题时需结合已知条件选择合适的判定方法，理清边角的等量关系即可完成证明，是对基础定理应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AFCE是菱形，可结合菱形的判定定理梳理思路：首先由EF是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得EA=EC、FA=FC；再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角∠OAE=∠OCF，结合OA=OC、对顶角∠AOE=∠COF可证△OAE≌△OCF，得到EA=FC，进而推出四边形四条边都相等，即可判定为菱形。
【解析】
证明：
∵ EF 垂直平分 AC,
∴ EA=EC,FA=FC,OA=OC, ∠AOE= ∠COF=90°,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AB//CD,
∴ ∠OAE= ∠OCF,
在△OAE 和△OCF 中,
$\begin{cases}∠AOE=∠COF \\OA=OC \\∠OAE=∠OCF\end{cases}$
∴ △OAE≌△OCF(ASA),
∴ EA= FC,
∴ EA=EC=FC=FA,
∴ 四边形 AFCE 是菱形。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合了全等三角形、特殊四边形的相关性质与判定，解题时需结合已知条件选择合适的判定方法，理清边角的等量关系即可完成证明，是对基础定理应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
5.「2026四川成都西川中学月考」依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（
C
）答案
5.C 选项 A,四边形的四条边相等,可判定四边形是菱形,故 A 不符合题意;
选项 B,$3^2+4^2=5^2$,由勾股定理的逆定理可推出四边形的对角线互相垂直,四边形的对角线又互相平分,可判定四边形是菱形,故 B 不符合题意;
选项 C,三条边相等的四边形不一定是菱形,故 C 符合题意;
选项 D,由同旁内角互补,得到四边形的两组对边平行,又由四边形的邻边相等,可判定四边形是菱形,故 D 不符合题意.故选 C.
选项 B,$3^2+4^2=5^2$,由勾股定理的逆定理可推出四边形的对角线互相垂直,四边形的对角线又互相平分,可判定四边形是菱形,故 B 不符合题意;
选项 C,三条边相等的四边形不一定是菱形,故 C 符合题意;
选项 D,由同旁内角互补,得到四边形的两组对边平行,又由四边形的邻边相等,可判定四边形是菱形,故 D 不符合题意.故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆菱形的常用判定定理：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③一组邻边相等的平行四边形是菱形。接下来我们逐一分析每个选项给出的边长、角度等条件，对应判定定理判断能否确定该四边形是菱形，最终选出不一定是菱形的选项即可。
【解析】
我们对四个选项依次分析：
1. 选项A：该四边形四条边的长度均为5，满足“四条边相等的四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
2. 选项B：由图可知该四边形的对角线互相平分，且对角线分成的四个小三角形的三边长为3、4、5，因为$3^2+4^2=5^2$，根据勾股定理的逆定理可得小三角形是直角三角形，即四边形的对角线互相垂直。满足“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
3. 选项C：该图形仅能确定有3条边的长度为5，第四条边的长度未知，不满足菱形的任意判定条件，因此不一定是菱形，符合题意。
4. 选项D：由图中角度可知$70°+110°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”可推出该四边形两组对边分别平行，即该四边形是平行四边形，又因为它有一组邻边长度均为5，满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定，勾股定理逆定理，平行四边形判定
【点评】
本题围绕菱形的判定设置选项，需要学生熟练掌握菱形的三类判定方法，结合图形给出的已知条件逐一验证，解题时要注意判定定理的前提条件，避免因忽略条件导致误判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆菱形的常用判定定理：①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③一组邻边相等的平行四边形是菱形。接下来我们逐一分析每个选项给出的边长、角度等条件，对应判定定理判断能否确定该四边形是菱形，最终选出不一定是菱形的选项即可。
【解析】
我们对四个选项依次分析：
1. 选项A：该四边形四条边的长度均为5，满足“四条边相等的四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
2. 选项B：由图可知该四边形的对角线互相平分，且对角线分成的四个小三角形的三边长为3、4、5，因为$3^2+4^2=5^2$，根据勾股定理的逆定理可得小三角形是直角三角形，即四边形的对角线互相垂直。满足“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
3. 选项C：该图形仅能确定有3条边的长度为5，第四条边的长度未知，不满足菱形的任意判定条件，因此不一定是菱形，符合题意。
4. 选项D：由图中角度可知$70°+110°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”可推出该四边形两组对边分别平行，即该四边形是平行四边形，又因为它有一组邻边长度均为5，满足“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定条件，因此一定是菱形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定，勾股定理逆定理，平行四边形判定
【点评】
本题围绕菱形的判定设置选项，需要学生熟练掌握菱形的三类判定方法，结合图形给出的已知条件逐一验证，解题时要注意判定定理的前提条件，避免因忽略条件导致误判。
【难度系数】
0.7
6.「2026河南平顶山期中」如图，在$□ ABCD$中，对角线AC与BD交于点O，增加下列一个条件，不能判定$□ ABCD$为菱形的是（
A.$AB=AD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$AC=BD$
D
）A.$AB=AD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$∠ BAC=∠ DAC$
D.$AC=BD$
答案
6.D 选项 A,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 A 不符合题意;
选项 B,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 B 不符合题意;
选项 C,在 $□ ABCD$ 中,$AD // BC$,
∴ $∠DAC = ∠BCA$,
∴ 当 $∠BAC = ∠DAC$ 时, $∠BAC = ∠BCA$,
∴ $AB = BC$,
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 C 不符合题意;
选项 D,在 $□ ABCD$ 中,$AC=BD$,
不能得到$□ ABCD$ 是菱形,故选项 D 符合题意.
故选 D.
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 A 不符合题意;
选项 B,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 B 不符合题意;
选项 C,在 $□ ABCD$ 中,$AD // BC$,
∴ $∠DAC = ∠BCA$,
∴ 当 $∠BAC = ∠DAC$ 时, $∠BAC = ∠BCA$,
∴ $AB = BC$,
∴ $□ ABCD$ 是菱形,故选项 C 不符合题意;
选项 D,在 $□ ABCD$ 中,$AC=BD$,
不能得到$□ ABCD$ 是菱形,故选项 D 符合题意.
故选 D.
解析
【分析】
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个附加条件不能判定它为菱形，需先掌握平行四边形判定为菱形的核心依据：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐一分析各选项的条件，判断是否能推出上述两个结论，或是其他特殊平行四边形的判定条件即可。
【解析】
选项A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，已知$AB=AD$，$□ABCD$满足邻边相等，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，已知$AC⊥BD$，$□ABCD$满足对角线垂直，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项C：在$□ABCD$中，$AD// BC$，根据平行线的内错角相等可得$∠DAC=∠BCA$，若$∠BAC=∠DAC$，则$∠BAC=∠BCA$，根据等角对等边可得$AB=BC$，即平行四边形有一组邻边相等，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，因此$AC=BD$只能判定$□ABCD$是矩形，不能判定为菱形，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟练区分菱形和矩形在平行四边形基础上的附加判定条件，不要混淆二者的判定定理，同时要能利用平行四边形的性质完成简单的边角关系推导。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知四边形ABCD是平行四边形，要判断哪个附加条件不能判定它为菱形，需先掌握平行四边形判定为菱形的核心依据：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐一分析各选项的条件，判断是否能推出上述两个结论，或是其他特殊平行四边形的判定条件即可。
【解析】
选项A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，已知$AB=AD$，$□ABCD$满足邻边相等，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，已知$AC⊥BD$，$□ABCD$满足对角线垂直，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项C：在$□ABCD$中，$AD// BC$，根据平行线的内错角相等可得$∠DAC=∠BCA$，若$∠BAC=∠DAC$，则$∠BAC=∠BCA$，根据等角对等边可得$AB=BC$，即平行四边形有一组邻边相等，因此是菱形，该选项不符合题意；
选项D：对角线相等的平行四边形是矩形，因此$AC=BD$只能判定$□ABCD$是矩形，不能判定为菱形，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是熟练区分菱形和矩形在平行四边形基础上的附加判定条件，不要混淆二者的判定定理，同时要能利用平行四边形的性质完成简单的边角关系推导。
【难度系数】
0.8
7.「2025黑龙江龙东地区中考」如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件：
$AC⊥BD$(答案不唯一)
,使平行四边形ABCD为菱形.答案
7.答案 $AC⊥BD$(答案不唯一)
解析
∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴ 可以添加 $AC⊥BD$,使平行四边形 ABCD 为菱形.
故答案为 $AC⊥BD$(答案不唯一).
解析
∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
∴ 可以添加 $AC⊥BD$,使平行四边形 ABCD 为菱形.
故答案为 $AC⊥BD$(答案不唯一).
解析
【分析】
已知四边形ABCD是平行四边形，要使其变为菱形，可结合菱形的判定定理思考：对于平行四边形，只需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”这两个条件之一，即可判定为菱形，因此我们只需从这两个方向补充对应条件即可。
【解析】
根据菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加条件$AC⊥BD$：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AC⊥BD$，
∴ 平行四边形ABCD为菱形。
也可添加如$AB=BC$等条件，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”同样可判定其为菱形，答案不唯一。
【答案】
$AC⊥BD$(答案不唯一)
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查菱形判定定理的应用，熟练掌握平行四边形和菱形的转化条件即可快速解答，可选的有效条件较多，符合判定要求即可。
【难度系数】
0.8
已知四边形ABCD是平行四边形，要使其变为菱形，可结合菱形的判定定理思考：对于平行四边形，只需满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”这两个条件之一，即可判定为菱形，因此我们只需从这两个方向补充对应条件即可。
【解析】
根据菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可添加条件$AC⊥BD$：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AC⊥BD$，
∴ 平行四边形ABCD为菱形。
也可添加如$AB=BC$等条件，依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”同样可判定其为菱形，答案不唯一。
【答案】
$AC⊥BD$(答案不唯一)
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查菱形判定定理的应用，熟练掌握平行四边形和菱形的转化条件即可快速解答，可选的有效条件较多，符合判定要求即可。
【难度系数】
0.8
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,O是BD的中点,AD//BC.
(1)现有条件①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=BO.请你选择一个添加,使得四边形ABCD是菱形:
(2)根据(1)中所选择的条件,求证:四边形ABCD是菱形.
(1)现有条件①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=BO.请你选择一个添加,使得四边形ABCD是菱形:
①(或②或③)
(填序号).(2)根据(1)中所选择的条件,求证:四边形ABCD是菱形.
答案
8.解析 (1)答案不唯一,从①②③中任选一个添加即可.
(2)证明:
∵ $AD// BC$,
∴ $∠ADO= ∠CBO$,
∵ 点 O 是 BD 的中点,
∴ $OD=OB$,
在△DAO 与△BCO 中,{∠ADO=∠CBO,OD=OB,∠AOD=∠COB,
∴ △DAO≌△BCO(ASA),
∴ $OA=OC$,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
若选择①,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$AC⊥BD$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
若选择②,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$AB=BC$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
若选择③,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $AB// CD$,
∴ $∠BAC= ∠DCA$,
∵ AC 平分$∠BAD$,
∴ $∠BAC= ∠DAC$,
∴ $∠DCA= ∠DAC$,
∴ $AD=CD$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
(2)证明:
∵ $AD// BC$,
∴ $∠ADO= ∠CBO$,
∵ 点 O 是 BD 的中点,
∴ $OD=OB$,
在△DAO 与△BCO 中,{∠ADO=∠CBO,OD=OB,∠AOD=∠COB,
∴ △DAO≌△BCO(ASA),
∴ $OA=OC$,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
若选择①,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$AC⊥BD$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
若选择②,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$AB=BC$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
若选择③,则后续证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ $AB// CD$,
∴ $∠BAC= ∠DCA$,
∵ AC 平分$∠BAD$,
∴ $∠BAC= ∠DAC$,
∴ $∠DCA= ∠DAC$,
∴ $AD=CD$,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
解析
【分析】
首先梳理已知条件：已知$AD// BC$，$O$是$BD$中点，首先可通过角边角证明$△ ADO≌△ CBO$，得到$OA=OC$，由此可先判定四边形$ABCD$是平行四边形。再结合菱形的判定定理分析给出的4个条件：添加①$AC⊥ BD$，可直接用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定；添加②$AB=BC$，可直接用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定；添加③$AC$平分$∠ BAD$，可结合平行四边形对边平行的性质推导邻边相等，进而判定菱形；添加④$AO=BO$时可推出$AC=BD$，此时平行四边形是矩形，不符合要求，因此可选①②③中的任意一个。证明时先证四边形是平行四边形，再结合所选条件推导为菱形即可。
【解析】
(1) 可从①②③中任选一个，示例如下：
(2) 通用证明（先证四边形是平行四边形）：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADO=∠ CBO$，
$\because$点$O$是$BD$的中点，
$\therefore OD=OB$，
在$△ DAO$与$△ BCO$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO \\OD=OB \\∠ AOD=∠ COB\end{cases}$
$\therefore △ DAO≌△ BCO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore$四边形$ABCD$的对角线互相平分，是平行四边形。
若选择①$AC⊥ BD$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AC⊥ BD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
若选择②$AB=BC$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AB=BC$（一组邻边相等），
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
若选择③$AC$平分$∠ BAD$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCA$，
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
$\therefore ∠ DCA=∠ DAC$，
$\therefore AD=CD$（等角对等边），即平行四边形一组邻边相等，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①}$（或②或③，任选其一即可）
(2) 证明过程见解析
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于开放型习题，考查特殊四边形的判定逻辑，需要先结合已知条件推导基础结论，再结合判定定理选择合适的添加条件，解题时要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，灵活运用全等、角平分线等性质推导边角关系。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：已知$AD// BC$，$O$是$BD$中点，首先可通过角边角证明$△ ADO≌△ CBO$，得到$OA=OC$，由此可先判定四边形$ABCD$是平行四边形。再结合菱形的判定定理分析给出的4个条件：添加①$AC⊥ BD$，可直接用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定；添加②$AB=BC$，可直接用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定；添加③$AC$平分$∠ BAD$，可结合平行四边形对边平行的性质推导邻边相等，进而判定菱形；添加④$AO=BO$时可推出$AC=BD$，此时平行四边形是矩形，不符合要求，因此可选①②③中的任意一个。证明时先证四边形是平行四边形，再结合所选条件推导为菱形即可。
【解析】
(1) 可从①②③中任选一个，示例如下：
(2) 通用证明（先证四边形是平行四边形）：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADO=∠ CBO$，
$\because$点$O$是$BD$的中点，
$\therefore OD=OB$，
在$△ DAO$与$△ BCO$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO \\OD=OB \\∠ AOD=∠ COB\end{cases}$
$\therefore △ DAO≌△ BCO(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore$四边形$ABCD$的对角线互相平分，是平行四边形。
若选择①$AC⊥ BD$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AC⊥ BD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
若选择②$AB=BC$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AB=BC$（一组邻边相等），
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
若选择③$AC$平分$∠ BAD$：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCA$，
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$，
$\therefore ∠ DCA=∠ DAC$，
$\therefore AD=CD$（等角对等边），即平行四边形一组邻边相等，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①}$（或②或③，任选其一即可）
(2) 证明过程见解析
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于开放型习题，考查特殊四边形的判定逻辑，需要先结合已知条件推导基础结论，再结合判定定理选择合适的添加条件，解题时要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，灵活运用全等、角平分线等性质推导边角关系。
【难度系数】
0.7
