1.「2026河南郑州一中期中节选」木艺活动课上，小明用四根细木条$a,b,c,d$搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（）

A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直

1.A

∵有三个角是直角的四边形是矩形,
∴可以测量是否有三个角是直角.故选A.

【分析】
本题考查矩形的判定，解题思路为：先回忆矩形的相关判定定理，再逐一分析每个选项对应的结论，判断其是否能确定该四边形为矩形，最终选出正确方案。首先明确矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形。再分别对应选项验证：A选项直接对应判定定理，B、C、D选项要么只能判定是其他特殊四边形，要么无法判定为矩形，逐一排除即可。
【解析】
结合矩形的判定定理逐一分析选项：
A. 根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量是否有三个角是直角可以判定四边形是不是矩形，该方案正确；
B. 仅对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，因此该方案无法判定，错误；
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，比如普通的非矩形平行四边形也满足该条件，因此该方案无法判定，错误；
D. 对角线互相垂直的四边形无法判定为矩形，例如菱形的对角线互相垂直但不是矩形，矩形的对角线仅要求相等且互相平分，不要求垂直，因此该方案错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对矩形判定定理的理解和区分，解题时要注意普通四边形和平行四边形判定为矩形的不同前提条件，避免混淆各类特殊四边形的性质。
【难度系数】
0.8

2.如图,在$□ ABCD$中,E,F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:四边形ABCD是矩形.

2.证明

∵ BE=CF,
∴ BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=DC.
又
∵ AF=DE,
∴ △ABF≌△DCE(SSS).
∴ ∠B=∠C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD.
∴ ∠B+∠C=180°.
∴ ∠B=∠C=90°.
∴ 平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).

【分析】
要证明平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定规则，只需证明该平行四边形存在一个内角为90°即可。首先从已知边相等的条件入手，由BE=CF可推导出BF=CE；再结合平行四边形对边相等的性质得到AB=DC，搭配已知AF=DE，可用SSS判定△ABF和△DCE全等，得到∠B=∠C；最后利用平行四边形对边平行的性质，可知∠B与∠C为同旁内角、二者互补，即可推出∠B=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC。
又
∵ AF=DE，
∴ △ABF≌△DCE（SSS）。
∴ ∠B=∠C。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=∠C=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
∵ BE=CF,
∴ BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=DC.
又
∵ AF=DE,
∴ △ABF≌△DCE(SSS).
∴ ∠B=∠C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD.
∴ ∠B+∠C=180°.
∴ ∠B=∠C=90°.
∴ 平行四边形ABCD是矩形(矩形的定义).
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题是矩形判定的基础题型，核心考察平行四边形性质、全等三角形知识与矩形判定的结合应用，解题的关键是通过边的等量关系证明三角形全等得到等角，再结合平行四边形同旁内角互补的性质推出直角，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$□ ABCD$中,$CE ⊥ AB,AF ⊥ CD$,垂足分别为$E,F$,求证:四边形$AECF$是矩形.

3.证明

∵ CE ⊥ AB,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠AFD=90°,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ ∠FAE = ∠AFD = 90°,
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠FAE=90°,
∴ 四边形AECF是矩形.

【分析】
要证明四边形AECF是矩形，可结合矩形的判定定理推导。已知条件给出两组垂直关系，能直接得到两个直角，因此优先选择“三个角为直角的四边形是矩形”这一判定方法。首先根据垂直的定义得到∠AEC、∠AFC为90°，再利用平行四边形对边平行的性质，推出∠FAE也为90°，满足三个角是直角的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE⊥AB，AF⊥CD，
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠AFD = 90°，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠AFD = 90°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠FAE = 90°，
∴ 四边形AECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
【答案】
证明：
∵ CE ⊥ AB,AF ⊥ CD,
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠AFD=90°,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ ∠FAE = ∠AFD = 90°,
∴ ∠AEC = ∠AFC = ∠FAE=90°,
∴ 四边形AECF是矩形.
【知识点】
平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定
【点评】
本题属于矩形判定的基础题，主要考查平行四边形性质和矩形判定定理的应用，结合已知垂直条件选择合适的判定方法即可快速解题，是几何部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.8

4.「2025山东东营中考」如图,点O是△ABC的边AC的中点,连接BO并延长至点D,使OD=BO,添加下列选项中的一个条件,不能判定四边形ABCD为矩形的是
()


A.$AB=BC$
B.$∠ABC=90°$
C.$∠ABD=∠ACD$
D.$OB=OC$

4.A

∵ 点 O 是 △ABC 的边 AC 的中点,
∴ OA = OC,
∵ OD=BO,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB // CD.
选项 A,
∵ AB=BC,
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形,不能判定平行四边形 ABCD 是矩形,故选项 A 符合题意;
选项 B,
∵ ∠ABC=90°,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形,故选项 B 不符合题意;
选项 C,
∵ AB // CD,
∴ ∠ABD = ∠CDO,
∵ ∠ABD = ∠ACD,
∴ ∠CDO = ∠ACD,
∴ OC = OD,
∴ OA = OC = OB=OD,
∴ AC = BD,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形,故选项 C 不符合题意;
选项 D,
∵ OB = OC,
∴ OA = OC = OB = OD,
∴ AC = BD,
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形,故选项 D 不符合题意.
故选 A.

【分析】
首先根据已知条件：点O是AC中点，可得OA=OC，再结合OD=BO，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”先判定四边形ABCD是平行四边形。接下来要选出不能判定该平行四边形为矩形的选项，需结合矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析各选项，若选项无法推出平行四边形有直角或对角线相等，即为符合题意的答案。
【解析】
∵ 点O是△ABC的边AC的中点，
∴ OA = OC，
∵ OD=BO，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD。
选项A：
∵ AB=BC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
选项B：
∵ ∠ABC=90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
选项C：
∵ AB // CD，
∴ ∠ABD = ∠CDO，
∵ ∠ABD = ∠ACD，
∴ ∠CDO = ∠ACD，
∴ OC = OD，
∴ OA = OC = OB=OD，
∴ AC = BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
选项D：
∵ OB = OC，
∴ OA = OC = OB = OD，
∴ AC = BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意。
综上，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形与矩形判定的综合题，解题的关键是先根据已知条件确定四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理逐一验证选项，做题时需注意题干要求选“不能判定”的选项，避免审题失误丢分。
【难度系数】
0.7

5.「2026山西临汾洪洞期中」如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE=AD，DF=CD，连接AF，FE，EC.求证：四边形ACEF是矩形.

5.证明 由题意可知 DE=AD,DF=CD,
∴ 四边形 ACEF 是平行四边形,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD=CD,
∴ AD+DE = CD+DF,
∴ AE = CF,
∴ 平行四边形 ACEF 是矩形.

【分析】
要证明四边形ACEF是矩形，首先回忆矩形的判定方法，通常先判定四边形是平行四边形，再证明其有一个内角为直角或对角线相等即可。首先根据已知DE=AD、DF=CD，可得出四边形ACEF的对角线互相平分，先证得它是平行四边形；再利用菱形邻边相等的性质，推导得出平行四边形ACEF的对角线AE与CF相等，最后依据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可完成证明。
【解析】
证明：由题意可知 DE=AD，DF=CD，
∴ 四边形ACEF是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，
∴ AD+DE = CD+DF，
∴ AE = CF，
∴ 平行四边形ACEF是矩形。
【答案】
证明：由题意可知 DE=AD，DF=CD，
∴ 四边形ACEF是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，
∴ AD+DE = CD+DF，
∴ AE = CF，
∴ 平行四边形ACEF是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形的综合证明题，解题的核心是熟练掌握各类特殊四边形的性质与判定定理，先确定平行四边形，再结合已知条件推出矩形的判定条件，思路清晰，逻辑连贯，是几何证明的基础题型。
【难度系数】
0.8

6.如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，若E，F在AC上，且$AE=CF$。
(1)求证：$△ ABE≌△ CDF$。
(2)请你添加一个条件，使四边形EBFD是矩形，并证明。

6.解析 (1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = CD,AB // CD,
∴ ∠BAE = ∠DCF,
在△ABE 与△CDF 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAE=∠DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF(SAS).
(2)答案不唯一,比如:添加条件 BD = EF,
证明:由(1)知△ABE≌△CDF,
∴ BE = DF,∠AEB = ∠CFD,
∴ ∠BEO = ∠DFO,
∴ BE // DF,
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形,
∵ BD = EF,
∴ 平行四边形 EBFD 是矩形.

【分析】
（1）要证明△ABE≌△CDF，首先利用平行四边形的性质获取边、角的相等条件：平行四边形对边平行且相等，因此可得AB=CD，且AB//CD可推出内错角∠BAE=∠DCF，再结合题目给出的AE=CF，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，即可完成证明。
（2）要使四边形EBFD是矩形，首先需先证明它是平行四边形：由（1）的全等结论可得BE=DF，再通过角的数量关系推出BE//DF，即可证得EBFD是平行四边形；再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形/有一个角是直角的平行四边形是矩形），添加对应条件即可，比如添加BD=EF，即可利用“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$，
∴ $∠ BAE = ∠ DCF$，
在$△ ABE$与$△ CDF$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAE=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（SAS）。
(2) 示例：添加条件$BD = EF$，证明如下：
由(1)知$△ ABE ≌ △ CDF$，
∴ $BE = DF$，$∠ AEB = ∠ CFD$，
∴ $∠ BEO = ∠ DFO$，
∴ $BE // DF$，
∴ 四边形EBFD是平行四边形，
∵ $BD = EF$，
∴ 平行四边形EBFD是矩形。
（注：添加条件不唯一，如添加$∠ BED=90°$也可，证明合理即可）
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 示例：添加条件$BD=EF$，证明见解析（答案不唯一）。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定、平行四边形的性质与判定以及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质和判定定理，第二问为开放性问题，需要结合矩形的判定条件反向推导所需添加的条件，能有效锻炼逻辑推理和逆向思维能力。
【难度系数】
0.7