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6. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$△ OA_1B_1$是边长为2的等边三角形,作$△ B_2A_2B_1$与$△ OA_1B_1$关于点$B_1$成中心对称,再作$△ B_2A_3B_3$与$△ B_2A_2B_1$关于点$B_2$成中心对称,如此继续下去,则$△ B_{2n}A_{2n+1}B_{2n+1}$($n$是正整数)的顶点$A_{2n+1}$的坐标是 (
A.$(4n-1,\sqrt{3})$
B.$(2n-1,\sqrt{3})$
C.$(4n+1,\sqrt{3})$
D.$(2n+1,\sqrt{3})$
第6题图 第7题图
C
)A.$(4n-1,\sqrt{3})$
B.$(2n-1,\sqrt{3})$
C.$(4n+1,\sqrt{3})$
D.$(2n+1,\sqrt{3})$
第6题图 第7题图
答案
6.C
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC=4，AB'=10，则菱形ABCD的边长是
$2\sqrt{17}$
。答案
7.$2\sqrt{17}$
8.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF=CE.
求证：FD=BE，FD//BE.
求证：FD=BE，FD//BE.
答案
8.证明:如答图,连接BF,DE。
∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，
∴OB=OD,OA=OC。
∵AF=CE,
∴OF=OE,
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴FD=BE,FD//BE。
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,若将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$180°$得到$△ FEC$,连接$AE$,$BF$.
(1)试猜想线段$AE$与$BF$的长短有何关系,并说明理由;
(2)若$△ ABC$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2$,求四边形$ABFE$的面积;
(3)当$∠ ACB$为多少度时,四边形$ABFE$为矩形?说明理由.
(1)试猜想线段$AE$与$BF$的长短有何关系,并说明理由;
(2)若$△ ABC$的面积为$3\ \mathrm{cm}^2$,求四边形$ABFE$的面积;
(3)当$∠ ACB$为多少度时,四边形$ABFE$为矩形?说明理由.
答案
9.解:(1)AE=BF.理由如下:
∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC,
∴CF=AC,BC=CE,
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴AE=BF。
(2)
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴四边形ABFE的面积为$4S_{△ABC}=4×3=12(\mathrm{cm}^2)$。
(3)当$∠ACB=60°$时,四边形ABFE为矩形.理由如下：
∵当AF=BE时,平行四边形ABFE为矩形，
∴AC=BC,而AB=AC，
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°,
即当∠ACB为60°时,四边形ABFE为矩形。
∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC,
∴CF=AC,BC=CE,
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴AE=BF。
(2)
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴四边形ABFE的面积为$4S_{△ABC}=4×3=12(\mathrm{cm}^2)$。
(3)当$∠ACB=60°$时,四边形ABFE为矩形.理由如下：
∵当AF=BE时,平行四边形ABFE为矩形，
∴AC=BC,而AB=AC，
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°,
即当∠ACB为60°时,四边形ABFE为矩形。
10.如图,正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O成中心对称,若正方形ABCD的边长为1,设图形重合部分(阴影)的面积为y,线段OB的长为x,求y与x之间的函数解析式.
答案
10.解:设AD与C'D'交于点F,CD与A'D'交于点E。
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O成中心对称,
∴四边形DED'F是正方形。
∵正方形ABCD的边长为1,
∴$BD=\sqrt{2}CD=\sqrt{2}$。
∵OB=x,
∴$OD=BD-OB=\sqrt{2}-x$,
∴$DE=\sqrt{2}OD=\sqrt{2}(\sqrt{2}-x)=2-\sqrt{2}x$,
∴$y=S_{正方形DED'F}=DE^2=(2-\sqrt{2}x)^2$。
∴y与x之间的函数解析式为$y=(2-\sqrt{2}x)^2$。
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'关于点O成中心对称,
∴四边形DED'F是正方形。
∵正方形ABCD的边长为1,
∴$BD=\sqrt{2}CD=\sqrt{2}$。
∵OB=x,
∴$OD=BD-OB=\sqrt{2}-x$,
∴$DE=\sqrt{2}OD=\sqrt{2}(\sqrt{2}-x)=2-\sqrt{2}x$,
∴$y=S_{正方形DED'F}=DE^2=(2-\sqrt{2}x)^2$。
∴y与x之间的函数解析式为$y=(2-\sqrt{2}x)^2$。
