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8. 如图，已知$E$是$\odot O$上任意一点，$CD$平分$\angle ACB$，求证：$ED$平分$\angle AEB$。
答案
证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ ∠AED=∠BED，
∴ ED平分∠AEB.
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ ∠AED=∠BED，
∴ ED平分∠AEB.
如图，$AB$为$\odot O$的直径，点$P$为其半圆上任意一点（不含$A$，$B$），点$Q$为另一半圆上一定点。若$\angle POA$为$x^{\circ}$，$\angle PQB$为$y^{\circ}$，则$y$与$x$的函数解析式是______。
答案
$y=-\dfrac{1}{2}x+90$
解析
解：连接 $ OQ $。
因为 $ AB $ 是直径，$\angle POA = x°$，所以 $\angle POB = 180° - x°$。
由于 $ Q $ 是另一半圆上的定点，$ OQ = OB $，所以 $\angle QOB = 180°$（$ Q $ 在另一半圆，$ AB $ 为直径）。
$\angle PQB$ 是圆周角，所对弧为 $\overset{\frown}{PB}$。
$\overset{\frown}{PB}$ 的度数等于 $\angle POB = 180° - x°$。
圆周角 $\angle PQB$ 的度数等于所对弧度数的一半，即 $ y° = \dfrac{1}{2}(180° - x°) $。
化简得 $ y = -\dfrac{1}{2}x + 90 $。
$ y = -\dfrac{1}{2}x + 90 $
因为 $ AB $ 是直径，$\angle POA = x°$，所以 $\angle POB = 180° - x°$。
由于 $ Q $ 是另一半圆上的定点，$ OQ = OB $，所以 $\angle QOB = 180°$（$ Q $ 在另一半圆，$ AB $ 为直径）。
$\angle PQB$ 是圆周角，所对弧为 $\overset{\frown}{PB}$。
$\overset{\frown}{PB}$ 的度数等于 $\angle POB = 180° - x°$。
圆周角 $\angle PQB$ 的度数等于所对弧度数的一半，即 $ y° = \dfrac{1}{2}(180° - x°) $。
化简得 $ y = -\dfrac{1}{2}x + 90 $。
$ y = -\dfrac{1}{2}x + 90 $
1. 如图，$A$，$C$，$B$，$D$在$\odot O$上，$AB$是直径，$\angle D = 40^{\circ}$，则$\angle CAB$的度数为（ ）
A.$20^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
A.$20^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案
C
解析
解：
∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠B=90°-40°=50°。
答案：C
∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠B=90°-40°=50°。
答案：C
2. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的弦，连接$AC$，$AD$，若$\angle CAB = 35^{\circ}$，则$\angle ADC$的度数为______°。
答案
55
解析
解：连接 $BC$。
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ACB = 90°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB = 35°$，则 $\angle ABC = 90° - 35° = 55°$。
因为 $\angle ADC$ 与 $\angle ABC$ 都是弧 $AC$ 所对的圆周角，所以 $\angle ADC = \angle ABC = 55°$。
55
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ACB = 90°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB = 35°$，则 $\angle ABC = 90° - 35° = 55°$。
因为 $\angle ADC$ 与 $\angle ABC$ 都是弧 $AC$ 所对的圆周角，所以 $\angle ADC = \angle ABC = 55°$。
55
3. 如图，$A$，$C$，$B$，$D$在$\odot O$上，$CD$是直径，$\angle 1 = 30^{\circ}$，则$\angle 2 =$______°。
答案
60
解析
证明：连接 $OA$。
因为 $OA = OC$，所以 $\triangle OAC$ 是等腰三角形，$\angle OAC = \angle OCA = \angle 1 = 30°$。
所以 $\angle AOC = 180° - 30° - 30° = 120°$。
因为 $CD$ 是直径，所以 $\angle AOB = 180° - \angle AOC = 180° - 120° = 60°$。
因为 $OB = OC$，所以 $\triangle OBC$ 是等腰三角形，$\angle 2 = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 60°}{2} = 60°$。
60
因为 $OA = OC$，所以 $\triangle OAC$ 是等腰三角形，$\angle OAC = \angle OCA = \angle 1 = 30°$。
所以 $\angle AOC = 180° - 30° - 30° = 120°$。
因为 $CD$ 是直径，所以 $\angle AOB = 180° - \angle AOC = 180° - 120° = 60°$。
因为 $OB = OC$，所以 $\triangle OBC$ 是等腰三角形，$\angle 2 = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 60°}{2} = 60°$。
60
4. 如图，在$\odot O$中，$AB$是直径，$D$，$E$在$AB$的同侧，$C$在$AB$的另一侧，若$\angle E = 40^{\circ}$，求$\angle D$的度数。
答案
50°
解析
证明：连接 $AC$，$BC$。
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ACB = 90°$。
因为 $\angle E$ 和 $\angle CAB$ 都是 $\overset{\frown}{CB}$ 所对的圆周角，所以 $\angle E = \angle CAB = 40°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle CAB = 180° - 90° - 40° = 50°$。
因为 $\angle D$ 和 $\angle ABC$ 都是 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角，所以 $\angle D = \angle ABC = 50°$。
$50°$
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ACB = 90°$。
因为 $\angle E$ 和 $\angle CAB$ 都是 $\overset{\frown}{CB}$ 所对的圆周角，所以 $\angle E = \angle CAB = 40°$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle CAB = 180° - 90° - 40° = 50°$。
因为 $\angle D$ 和 $\angle ABC$ 都是 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角，所以 $\angle D = \angle ABC = 50°$。
$50°$
