9. 如图,已知点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上,射线 $ OD $ 平分 $ \angle BOC $,过点 $ O $ 作 $ OE \perp OD $,$ G $ 是射线 $ OB $ 上一点,连接 $ DG $,满足 $ \angle ODG + \angle DOG = 90° $.
(1)求证：$ \angle AOE = \angle ODG $；
(2)若 $ \angle ODG = \angle C $,求证：$ CD // OE $.

(1)证明：
∵点O在直线AB上，∴∠AOB=180°．
∵OE⊥OD，∴∠EOD=90°．
∴∠AOE+∠DOB=∠AOB-∠EOD=180°-90°=90°，即∠AOE=90°-∠DOB．
∵G在OB上，∴∠DOG=∠DOB．
∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠ODG=90°-∠DOG=90°-∠DOB．
∴∠AOE=∠ODG．
(2)证明：
由(1)知∠AOE=∠ODG．
∵∠ODG=∠C，∴∠AOE=∠C．
∵OD平分∠BOC，设∠DOB=∠COD=x，则∠BOC=2x．
∵∠AOB=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2x．
由(1)知∠AOE=90°-x，∴∠C=90°-x．
在△OCD中，∠CDO=180°-∠C-∠COD=180°-(90°-x)-x=90°．
∵OE⊥OD，∴∠EOD=90°．
∴∠CDO=∠EOD．
∴CD//OE（内错角相等，两直线平行）．

10. 如图,$ AB // CD $,$ E $ 为 $ AB $ 上一点,且 $ EF \perp CD $ 于点 $ F $,$ \angle CED = 90° $,$ EC $ 平分 $ \angle AEG $,且 $ \angle CGE = \alpha $,则下列结论：① $ \angle AEC = 90° - \frac{1}{2}\alpha $；② $ ED $ 平分 $ \angle GEB $；③ $ \angle CEF = \angle GED $；④ $ \angle FED + \angle BEC = 180° $,其中正确的有.(填序号)

①②③④

∵AB//CD，EF⊥CD，∴EF⊥AB（垂直于平行线中的一条必垂直于另一条），∠BEF=90°。
∠CGE=α，AB//CD，∠BEG与∠CGE为内错角，∴∠BEG=α。
EC平分∠AEG，设∠AEC=∠CEG=x，则∠AEG=2x。
∵∠AEG+∠BEG=180°（平角），∴2x+α=180°，解得x=90°-α/2，即∠AEC=90°-α/2，①正确。
∠CED=90°，∠CED=∠CEG+∠GED，∴∠GED=90°-x=α/2。
∠BEG=α，∠DEB=∠BEF-∠DEF，EF⊥AB，∠BEF=90°，∠DEF=90°-∠GED=90°-α/2，∴∠DEB=90°-(90°-α/2)=α/2=∠GED，故ED平分∠GEB，②正确。
∠CEF=∠CEG-∠GEF，∠GEF=∠BEF-∠BEG=90°-α，∠CEG=90°-α/2，∴∠CEF=(90°-α/2)-(90°-α)=α/2=∠GED，③正确。
∠FED=90°-α/2，∠BEC=180°-∠AEC=180°-(90°-α/2)=90°+α/2，∴∠FED+∠BEC=(90°-α/2)+(90°+α/2)=180°，④正确。

11. 如图,已知 $ AB // CD $,$ E $ 是直线 $ AB $ 上方一点,$ F $ 为射线 $ CD $ 上一点,$ \angle EAF = 148° $,$ G $ 为直线 $ AB $ 下方一点,$ \angle BAF = 3\angle BAG $,$ \angle DCE = 3\angle DCG $,则 $ \angle AEC $ 和 $ \angle AGC $ 之间的数量关系为.

∠AEC=3∠AGC+148°

设∠BAG=x，则∠BAF=3x，设∠DCG=y，则∠DCE=3y。
∵∠EAF=148°，E在AB上方，F在CD上（AB下方），∴∠EAB=148°-∠BAF=148°-3x。
过E作EM//AB，∵AB//CD，∴EM//CD，∴∠AEC=∠EAB+∠ECD=（148°-3x）+3y=148°+3(y-x)。
过G作GN//AB，∵AB//CD，∴GN//CD，∠AGN=∠BAG=x，∠CGN=∠DCG=y，G在AB下方，AG、CG在GN同侧，∴∠AGC=∠CGN-∠AGN=y-x。
设∠AGC=k，则y-x=k，代入∠AEC=148°+3(y-x)，得∠AEC=148°+3k=148°+3∠AGC。

12. 如图,$ DE $ 平分 $ \angle ADB $ 交射线 $ BC $ 于点 $ E $,$ \angle BDE = \angle BED $.
(1)求证：$ AD // BC $；
(2)如图 1,点 $ F $ 是射线 $ DA $ 上一点,过点 $ F $ 作 $ FG // BD $ 交射线 $ BC $ 于点 $ G $,点 $ N $ 是 $ FG $ 上一点,连接 $ NE $,求证：$ \angle DEN = \angle ADE + \angle ENG $；
(3)如图 2,在(2)的条件下,连接 $ DN $,点 $ P $ 为 $ BD $ 延长线上一点,$ DM $ 平分 $ \angle BDE $ 交 $ BE $ 于点 $ M $,若 $ DN $ 平分 $ \angle PDM $,$ DE \perp EN $,$ \angle DBC - \angle DNE = \angle FDN $,求 $ \angle EDN $ 的度数.

(1) 略；(2) 略；(3) 45°。

(1)证明：
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE。
∵∠BDE=∠BED，
∴∠ADE=∠BED，
∴AD//BC。
(2)证明：延长EN交AD于点H。
∵AD//BC，
∴∠AHE=∠NEG。
∵∠DEN=∠ADE+∠AHE，
∴∠DEN=∠ADE+∠ENG。
(3)解：设∠ADE=∠BDE=2α。
∵DM平分∠BDE，
∴∠BDM=∠MDE=α。
∵DE⊥EN，
∴∠DEN=90°。由
(2)知∠DEN=∠ADE+∠ENG，
∴∠ENG=90°-2α。
∵AD//BC，
∴∠FDN=∠DNE+∠ENG=∠DNE+90°-2α。
∵∠DBC-∠DNE=∠FDN，
∴∠DBC=2∠DNE+90°-2α。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=4α，
∴4α=2∠DNE+90°-2α，∠DNE=3α-45°。
∵∠PDM=180°-∠BDM=180°-α，DN平分∠PDM，
∴∠PDN=∠NDM=(180°-α)/2=90°-α/2。
∵∠PDN=∠BDM+∠EDN+∠MDE，
∴90°-α/2=α+∠EDN+α，∠EDN=90°-5α/2。
∵∠EDN+∠NDE=∠PDE，∠NDE=∠DEN-∠DNE=90°-(3α-45°)=135°-3α，∠PDE=180°-∠BDE=180°-2α，
∴90°-5α/2+135°-3α=180°-2α，解得α=18°，
∴∠EDN=90°-5×18°/2=45°。
答：∠EDN的度数为45°。