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7. 用长为12米的木条做成一个长方形窗框(如图所示，中间有一横档)。设窗框的横条长为x米，用代数式表示窗框的面积。这个代数式是多项式吗？若是，是几次几项式？
答案
7. $S=x(\dfrac{12-3x}{2})=6x-\dfrac{3}{2}x^2$。是多项式，是二次二项式。
8. 对于某房间窗户的装饰，装修公司给出了两套装修方案。如图，方案一由两个半径相等的四分之一圆组成，方案二由四个半径相等的半圆组成。用关于a，b的代数式分别表示两套方案中窗户能射进阳光部分的面积。
答案
8. 方案一:$ab-\dfrac{π}{8}a^2$;方案二:$ab-\dfrac{π}{32}a^2$
解析
【分析】
要计算窗户能射进阳光部分的面积，核心思路是：射进阳光的面积 = 窗户长方形的总面积 - 上方阴影装饰部分的面积。首先明确长方形面积为长乘宽即$ab$，再分别计算两个方案的阴影面积：
1. 方案一的阴影是2个半径相等的四分之一圆，拼接后为1个半圆，先确定半圆半径为$\frac{a}{2}$，计算半圆面积即得阴影面积；
2. 方案二的阴影是4个半径相等的半圆，拼接后为2个完整的小圆，先确定小圆半径为$\frac{a}{8}$，计算2个小圆的面积即得阴影面积；
最后用长方形面积减去对应阴影面积，即可得到两个方案的阳光面积。
【解析】
窗户为长方形，总面积 = 长×宽 = $ab$。
方案一计算：
阴影部分由2个半径相等的四分之一圆组成，合为1个半圆，半圆半径$r_1=\frac{a}{2}$。
阴影面积 = 半圆面积 = $\frac{1}{2}π r_1^2 = \frac{1}{2}π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{π a^2}{8}$
因此射进阳光的面积 = 长方形面积 - 阴影面积 = $ab - \frac{π}{8}a^2$。
方案二计算：
阴影部分由4个半径相等的半圆组成，合为2个完整小圆，4个半圆的直径总和为$a$，因此每个小圆直径为$\frac{a}{4}$，半径$r_2=\frac{a}{8}$。
阴影面积 = 2个小圆面积 = $2× π r_2^2 = 2× π × (\frac{a}{8})^2 = \frac{π a^2}{32}$
因此射进阳光的面积 = 长方形面积 - 阴影面积 = $ab - \frac{π}{32}a^2$。
【答案】
方案一：$\boldsymbol{ab-\dfrac{π}{8}a^2}$；方案二：$\boldsymbol{ab-\dfrac{π}{32}a^2}$
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；不规则图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心方法是割补转化法，将不规则的阴影部分转化为圆、半圆等规则图形计算面积，解题关键是准确找到阴影部分对应规则图形的半径，通过总面积减阴影面积得到所求结果。
【难度系数】
0.7
要计算窗户能射进阳光部分的面积，核心思路是：射进阳光的面积 = 窗户长方形的总面积 - 上方阴影装饰部分的面积。首先明确长方形面积为长乘宽即$ab$，再分别计算两个方案的阴影面积：
1. 方案一的阴影是2个半径相等的四分之一圆，拼接后为1个半圆，先确定半圆半径为$\frac{a}{2}$，计算半圆面积即得阴影面积；
2. 方案二的阴影是4个半径相等的半圆，拼接后为2个完整的小圆，先确定小圆半径为$\frac{a}{8}$，计算2个小圆的面积即得阴影面积；
最后用长方形面积减去对应阴影面积，即可得到两个方案的阳光面积。
【解析】
窗户为长方形，总面积 = 长×宽 = $ab$。
方案一计算：
阴影部分由2个半径相等的四分之一圆组成，合为1个半圆，半圆半径$r_1=\frac{a}{2}$。
阴影面积 = 半圆面积 = $\frac{1}{2}π r_1^2 = \frac{1}{2}π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{π a^2}{8}$
因此射进阳光的面积 = 长方形面积 - 阴影面积 = $ab - \frac{π}{8}a^2$。
方案二计算：
阴影部分由4个半径相等的半圆组成，合为2个完整小圆，4个半圆的直径总和为$a$，因此每个小圆直径为$\frac{a}{4}$，半径$r_2=\frac{a}{8}$。
阴影面积 = 2个小圆面积 = $2× π r_2^2 = 2× π × (\frac{a}{8})^2 = \frac{π a^2}{32}$
因此射进阳光的面积 = 长方形面积 - 阴影面积 = $ab - \frac{π}{32}a^2$。
【答案】
方案一：$\boldsymbol{ab-\dfrac{π}{8}a^2}$；方案二：$\boldsymbol{ab-\dfrac{π}{32}a^2}$
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；不规则图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心方法是割补转化法，将不规则的阴影部分转化为圆、半圆等规则图形计算面积，解题关键是准确找到阴影部分对应规则图形的半径，通过总面积减阴影面积得到所求结果。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列单项式：$-x,2x^2,-3x^3,4x^4,\dots,-19x^{19},20x^{20},\dots$按规律，写出第$n$个单项式。
为了解决这个问题，我们不妨从系数和次数两个方面入手进行探索，从而发现规律，经过归纳猜想结论。
（1）系数的规律有两条：
①系数的符号规律是________；②系数的绝对值规律是________。
（2）次数的规律是________（规律用带有$n$的代数式表示，$n$为正整数）。
（3）根据上面的归纳，可以猜想第$n$个单项式是________。
（4）根据猜想的结论，第2013个单项式是________。
为了解决这个问题，我们不妨从系数和次数两个方面入手进行探索，从而发现规律，经过归纳猜想结论。
（1）系数的规律有两条：
①系数的符号规律是________；②系数的绝对值规律是________。
（2）次数的规律是________（规律用带有$n$的代数式表示，$n$为正整数）。
（3）根据上面的归纳，可以猜想第$n$个单项式是________。
（4）根据猜想的结论，第2013个单项式是________。
答案
9.（1）$(-1)^n$；$n$ （2）$n$ （3）$(-1)^n · n · x^n$ （4）$-2013x^{2013}$
解析
【分析】
我们按照题目提示，拆分单项式的系数符号、系数绝对值、字母次数三部分分别找规律：1.符号规律：第1个单项式为负、第2个为正，正负交替，奇数项为负、偶数项为正，可结合乘方的符号性质表示；2.系数绝对值规律：第1个系数绝对值为1、第2个为2，和对应项数一致；3.次数规律：第1个x的次数为1、第2个为2，也和对应项数一致。将三部分规律组合可得到第n个单项式的通用表达式，代入n=2013即可求出对应单项式。
【解析】
（1）①观察符号：n为奇数时单项式符号为负，n为偶数时符号为正，恰好符合$(-1)^n$的运算结果，因此符号规律为$(-1)^n$；
②观察系数绝对值：第n个单项式的系数绝对值等于项数n，因此规律为$n$；
（2）观察x的次数：第n个单项式中x的次数等于项数n，因此次数规律为$n$；
（3）将符号、系数绝对值、次数三部分规律结合，可得第n个单项式为$(-1)^n · n · x^n$；
（4）把n=2013代入第n个单项式的表达式：$(-1)^{2013} × 2013 × x^{2013} = -2013x^{2013}$。
【答案】
（1）①$(-1)^n$；②$n$ （2）$n$ （3）$(-1)^n · n · x^n$ （4）$-2013x^{2013}$
【知识点】
单项式的概念；代数式找规律；乘方的性质
【点评】
本题属于整式规律探究类基础题，解题核心是将单项式拆分为多个独立部分分别找规律，再整合得到通用结论，该思路在同类规律探究题中通用性较强。
【难度系数】
0.8
我们按照题目提示，拆分单项式的系数符号、系数绝对值、字母次数三部分分别找规律：1.符号规律：第1个单项式为负、第2个为正，正负交替，奇数项为负、偶数项为正，可结合乘方的符号性质表示；2.系数绝对值规律：第1个系数绝对值为1、第2个为2，和对应项数一致；3.次数规律：第1个x的次数为1、第2个为2，也和对应项数一致。将三部分规律组合可得到第n个单项式的通用表达式，代入n=2013即可求出对应单项式。
【解析】
（1）①观察符号：n为奇数时单项式符号为负，n为偶数时符号为正，恰好符合$(-1)^n$的运算结果，因此符号规律为$(-1)^n$；
②观察系数绝对值：第n个单项式的系数绝对值等于项数n，因此规律为$n$；
（2）观察x的次数：第n个单项式中x的次数等于项数n，因此次数规律为$n$；
（3）将符号、系数绝对值、次数三部分规律结合，可得第n个单项式为$(-1)^n · n · x^n$；
（4）把n=2013代入第n个单项式的表达式：$(-1)^{2013} × 2013 × x^{2013} = -2013x^{2013}$。
【答案】
（1）①$(-1)^n$；②$n$ （2）$n$ （3）$(-1)^n · n · x^n$ （4）$-2013x^{2013}$
【知识点】
单项式的概念；代数式找规律；乘方的性质
【点评】
本题属于整式规律探究类基础题，解题核心是将单项式拆分为多个独立部分分别找规律，再整合得到通用结论，该思路在同类规律探究题中通用性较强。
【难度系数】
0.8
