基础知识·预习
问题1 切线和过切点的半径有什么位置关系？
问题2 怎么证明一条直线是圆的切线？
问题3 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？
问题4 举出几个生活中直线与圆相切的实例。

解：
1. 圆的切线与过切点的半径互相垂直，即圆的切线垂直于过切点的半径。
2. 证明一条直线是圆的切线有两种常用方法：
① 若已知直线经过圆上某一点，连接圆心与该点得到辅助半径，证明这条半径与待证直线互相垂直，即可判定该直线是圆的切线；
② 若未明确直线与圆存在公共点，过圆心作待证直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定该直线是圆的切线。
3. 连接圆心与圆上的已知点得到对应半径，过这个已知点作该半径的垂线，这条垂线就是所求的过该点的圆的切线。
4. 生活实例：水平地面上滚动的自行车车轮与地面的接触位置、平放在桌面的圆形茶杯的杯底边缘与桌面的接触位置、磨刀时刀具与转动的砂轮的接触位置都属于直线与圆相切的实例。

【分析】
这四个问题是圆的切线模块的基础预习问题，围绕切线核心知识点展开：问题1对应切线的核心性质，可结合切线“与圆只有一个公共点”的定义推导二者的位置关系；问题2对应切线的判定方法，要分两种场景梳理思路：已知直线与圆有公共点、未明确直线与圆有公共点，分别对应不同的证明逻辑；问题3对应切线的基础作图，可基于切线的性质利用垂直关系完成操作；问题4对应切线的实际应用，紧扣“直线与圆只有一个公共点、直线垂直于过公共点的半径”的特征寻找对应生活场景即可。
【解析】
我们对四个问题逐一解答：
1. 切线与过切点半径的位置关系：根据切线的性质定理，圆的切线和过切点的半径为垂直关系。
2. 证明直线是圆的切线的方法：分两种常见情况处理：
① 若已知待证直线过圆上某一点：先连接圆心和该点得到辅助半径，再证明该半径与待证直线垂直，即可判定该直线是圆的切线；
② 若未明确待证直线与圆有公共点：先过圆心作待证直线的垂线段，再证明垂线段长度等于圆的半径，即可判定该直线是圆的切线。
3. 过圆上一点作切线的方法：先连接圆心与圆上的已知点得到对应半径，再过该已知点作半径的垂线，这条垂线就是所求的切线。
4. 生活中直线与圆相切的实例：只要符合“直线与圆只有一个公共点、直线垂直于过公共点的半径”特征的场景都符合，比如滚动的自行车车轮与地面的接触位置、桌面的圆形茶杯底边缘与桌面的接触位置、磨刀时刀具与转动砂轮的接触位置等。
【答案】
1. 圆的切线与过切点的半径互相垂直，即圆的切线垂直于过切点的半径。
2. 证明一条直线是圆的切线有两种常用方法：
① 若已知直线经过圆上某一点，连接圆心与该点得到辅助半径，证明这条半径与待证直线互相垂直，即可判定该直线是圆的切线；
② 若未明确直线与圆存在公共点，过圆心作待证直线的垂线段，证明垂线段的长度等于圆的半径，即可判定该直线是圆的切线。
3. 连接圆心与圆上的已知点得到对应半径，过这个已知点作该半径的垂线，这条垂线就是所求的过该点的圆的切线。
4. 生活实例：水平地面上滚动的自行车车轮与地面的接触位置、平放在桌面的圆形茶杯的杯底边缘与桌面的接触位置、磨刀时刀具与转动的砂轮的接触位置都属于直线与圆相切的实例。
【知识点】
切线的性质，切线的判定，切线的作图
【点评】
本题是切线相关的基础入门问题，从性质、判定、作图、生活应用四个维度设置问题，能帮助学生建立对切线的完整初步认知，为后续解决切线相关的证明、计算类综合问题夯实基础。
【难度系数】
0.9

【典型例题1】如图,在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中, $ ∠ ABC=90° $,$ BC $ 是$ \odot O $ 的切线,与$ \odot O $ 相切于点 $ E $,连接 $ AE $,圆心 $ O $ 在 $ AC $ 上,$ \odot O $ 经过点 $ A $,且$ \odot O $ 分别交 $ AB,AC $ 于点 $ D,F $.

(1)求证: $ AE $ 平分 $ ∠ BAC $.
(2)若 $ ∠ C=30° $,$ \odot O $ 的半径为 3,求 $ BD $ 的长.
(1)【证明】连接 $ OE $(图略).
$\because BC $ 是$ \odot O $ 的切线,
$\therefore OE ⊥ BC $.
$\therefore ∠ OEC=90° $.
$\because ∠ ABC=90° $,
$\therefore ∠ ABC=∠ OEC $.
$\therefore AB // OE $.
$\therefore ∠ BAE=∠ OEA $.
$\because OA=OE $,
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA $.
$\therefore ∠ BAE=∠ OAE $.
$\therefore AE $ 平分 $ ∠ BAC $.
(2)【解】连接 $ OD $(图略).
由(1)得 $ ∠ OEC=90° $.
$\because ∠ C=30°,∠ ABC=90° $,
$\therefore ∠ CAB=60°,OC=2OE=6 $.
$\therefore AC=3+6=9 $.
$\because OA=OD,∠ CAB=60° $,
$\therefore △ ADO $ 为等边三角形.
$\therefore AD=OA=OD=3 $.
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中,$ ∠ C=30° $,
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5 $.
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5 $.

(1) 证明：
连接$OE$。
$\because BC$是$\odot O$的切线，
$\therefore OE⊥ BC$，即$∠ OEC=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ OEC$，
$\therefore AB// OE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ OEA$。
$\because OA=OE$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA$，
$\therefore ∠ BAE=∠ OAE$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$。
---
(2) 解：
连接$OD$。
由(1)得$∠ OEC=90°$。
$\because ∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ CAB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ OEC$中$OC=2OE=6$。
$\therefore AC=OA+OC=3+6=9$。
$\because OA=OD$，$∠ CAB=60°$，
$\therefore △ ADO$为等边三角形，
$\therefore AD=OA=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30°$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5$，
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5$。
答：$BD$的长为$1.5$。

【分析】
(1) 要证AE平分∠BAC，需证∠BAE=∠OAE。首先连接OE，根据切线的性质可得OE⊥BC，结合∠ABC=90°可推出AB//OE，得到∠BAE=∠OEA；再由OA=OE，利用等边对等角得∠OAE=∠OEA，等量代换即可完成证明。
(2) 求BD的长可通过BD=AB-AD计算：①先在Rt△OEC中，利用30°角所对直角边是斜边的一半求出OC=6，进而得到AC=OA+OC=9，再在Rt△ABC中用30°角的性质求出AB=4.5；②连接OD，由∠CAB=60°、OA=OD可证△ADO为等边三角形，得AD=OA=3，最后作差即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接$OE$。
$\because BC$是$\odot O$的切线，
$\therefore OE⊥ BC$，即$∠ OEC=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ OEC$，
$\therefore AB// OE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ OEA$。
$\because OA=OE$，
$\therefore ∠ OAE=∠ OEA$，
$\therefore ∠ BAE=∠ OAE$，
$\therefore AE$平分$∠ BAC$。
(2) 解：
连接$OD$。
由(1)得$∠ OEC=90°$。
$\because ∠ C=30°$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ CAB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ OEC$中$OC=2OE=6$。
$\therefore AC=OA+OC=3+6=9$。
$\because OA=OD$，$∠ CAB=60°$，
$\therefore △ ADO$为等边三角形，
$\therefore AD=OA=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=30°$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}AC=4.5$，
$\therefore BD=AB-AD=4.5-3=1.5$。
【答案】
(1) $AE$平分$∠ BAC$，证明成立；
(2) $BD$的长为$1.5$（或$\frac{3}{2}$）
【知识点】
切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线，将圆的切线性质和特殊三角形的性质结合运用，能有效巩固几何综合题的分析逻辑。
【难度系数】
0.6