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问题1 阅读教材，利用几何图形，利用分配律或单项式与多项式相乘的法则，理解多项式与多项式相乘的运算。
问题2 举例说明多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的。
问题1 阅读教材，利用几何图形，利用分配律或单项式与多项式相乘的法则，理解多项式与多项式相乘的运算。
问题2 举例说明多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的。
答案
解：
问题1
1. 几何图形角度：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的四个小长方形。
大长方形总面积可表示为$(a+b)(m+n)$，同时总面积等于四个小长方形面积之和，即$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度：
将$m+n$看作整体，根据单项式与多项式相乘的法则推导：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x-3)$
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$
$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
问题1
1. 几何图形角度：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的四个小长方形。
大长方形总面积可表示为$(a+b)(m+n)$，同时总面积等于四个小长方形面积之和，即$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度：
将$m+n$看作整体，根据单项式与多项式相乘的法则推导：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x-3)$
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$
$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
解析
【分析】
解决问题1可从两个维度切入：①几何角度：借助长方形面积的不同表示方法推导，用分割法将大长方形拆分为4个小长方形，利用总面积等于各部分面积和建立等量关系；②代数角度：运用转化思想，将其中一个多项式看作整体，借助已学的单项式与多项式相乘法则、乘法分配律展开推导，最终总结出多项式乘多项式的运算规则。
解决问题2需选取具体的多项式乘多项式计算实例，分步展示转化过程：第一步先将其中一个多项式视为整体，把多项式乘多项式转化为单项式乘多项式；第二步再对单项式乘多项式的式子展开，转化为单项式乘单项式运算，最后合并同类项得到结果，体现两次运用分配律完成转化的思路。
【解析】
问题1解答
1. 几何图形角度推导：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的4个小长方形。
大长方形的总面积可表示为$\boldsymbol{(a+b)(m+n)}$；同时总面积等于4个小长方形的面积之和，即$\boldsymbol{am+an+bm+bn}$。
因为总面积相等，因此可得等式：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度推导：
将$m+n$看作一个整体，根据单项式与多项式相乘的法则展开：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)$
再分别对两个单项式乘多项式的式子用分配律展开，可得：
$a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
综上总结多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2解答
举例：计算$(x+2)(x-3)$，转化过程如下：
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$，$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用乘法分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
【答案】
问题1
1. 几何图形角度：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的四个小长方形。
大长方形总面积可表示为$(a+b)(m+n)$，同时总面积等于四个小长方形面积之和，即$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度：
将$m+n$看作整体，根据单项式与多项式相乘的法则推导：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x-3)$
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$
$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
【知识点】
多项式乘多项式法则；乘法分配律；单项式乘多项式法则
【点评】
本题从几何直观和代数推导两个维度出发，引导理解多项式乘多项式的运算本质，核心是运用转化思想，将未学的多项式乘多项式运算转化为已掌握的单项式乘单项式运算，有助于夯实运算基础，理解法则的来龙去脉。
【难度系数】
0.8
解决问题1可从两个维度切入：①几何角度：借助长方形面积的不同表示方法推导，用分割法将大长方形拆分为4个小长方形，利用总面积等于各部分面积和建立等量关系；②代数角度：运用转化思想，将其中一个多项式看作整体，借助已学的单项式与多项式相乘法则、乘法分配律展开推导，最终总结出多项式乘多项式的运算规则。
解决问题2需选取具体的多项式乘多项式计算实例，分步展示转化过程：第一步先将其中一个多项式视为整体，把多项式乘多项式转化为单项式乘多项式；第二步再对单项式乘多项式的式子展开，转化为单项式乘单项式运算，最后合并同类项得到结果，体现两次运用分配律完成转化的思路。
【解析】
问题1解答
1. 几何图形角度推导：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的4个小长方形。
大长方形的总面积可表示为$\boldsymbol{(a+b)(m+n)}$；同时总面积等于4个小长方形的面积之和，即$\boldsymbol{am+an+bm+bn}$。
因为总面积相等，因此可得等式：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度推导：
将$m+n$看作一个整体，根据单项式与多项式相乘的法则展开：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)$
再分别对两个单项式乘多项式的式子用分配律展开，可得：
$a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
综上总结多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2解答
举例：计算$(x+2)(x-3)$，转化过程如下：
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$，$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用乘法分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
【答案】
问题1
1. 几何图形角度：
取长为$a+b$、宽为$m+n$的大长方形，将其分割为长和宽分别为$a,m$；$a,n$；$b,m$；$b,n$的四个小长方形。
大长方形总面积可表示为$(a+b)(m+n)$，同时总面积等于四个小长方形面积之和，即$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律/单项式乘多项式法则角度：
将$m+n$看作整体，根据单项式与多项式相乘的法则推导：
$(a+b)(m+n)=a·(m+n)+b·(m+n)=am+an+bm+bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算规则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x-3)$
第一步：把$(x-3)$视为整体，将多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的和：
$(x+2)(x-3)=x·(x-3)+2·(x-3)$
第二步：对两个单项式乘多项式的式子分别使用分配律，全部运算转化为单项式相乘：
$x·(x-3)=x· x + x·(-3)$
$2·(x-3)=2· x + 2×(-3)$
第三步：计算所有单项式乘法，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$
该过程通过两次运用分配律，即可将多项式乘多项式完全转化为单项式相乘的运算。
【知识点】
多项式乘多项式法则；乘法分配律；单项式乘多项式法则
【点评】
本题从几何直观和代数推导两个维度出发，引导理解多项式乘多项式的运算本质，核心是运用转化思想，将未学的多项式乘多项式运算转化为已掌握的单项式乘单项式运算，有助于夯实运算基础，理解法则的来龙去脉。
【难度系数】
0.8
【典型例题】计算：
(1)$(x+2y)(x-2y)$；
(2)$(-2x+3)(5-3x)$；
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；
(4)$(1-x+y)(x+y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行运算，做到不重不漏；要注意符号问题，每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项，一定要合并同类项。
【解】(1)$(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y = x^2 -2xy +2xy -4y^2 =x^2 -4y^2$。
(2)$(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· (-3x)-2x·5 -3·3x +3×5=6x^2 -10x -9x +15=6x^2 -19x +15$。
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 +a· ab +a· b^2 -b· a^2 -b· ab -b· b^2 =a^3 +a^2b +ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3 =a^3 -b^3$。
(4)$(1-x+y)(x+y)=x+y -x^2 -xy +xy +y^2 =x+y -x^2 +y^2$。
规律方法 1. 多项式乘多项式的运算法则的实质是将多项式与多项式相乘的形式转化为几个单项式的乘积相加的形式。
2. 多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数的积。
3. 多项式乘多项式的运算法则也适用于多个多项式相乘，即按照顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个多项式相乘，依次类推。
(1)$(x+2y)(x-2y)$；
(2)$(-2x+3)(5-3x)$；
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；
(4)$(1-x+y)(x+y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行运算，做到不重不漏；要注意符号问题，每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项，一定要合并同类项。
【解】(1)$(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y = x^2 -2xy +2xy -4y^2 =x^2 -4y^2$。
(2)$(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· (-3x)-2x·5 -3·3x +3×5=6x^2 -10x -9x +15=6x^2 -19x +15$。
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 +a· ab +a· b^2 -b· a^2 -b· ab -b· b^2 =a^3 +a^2b +ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3 =a^3 -b^3$。
(4)$(1-x+y)(x+y)=x+y -x^2 -xy +xy +y^2 =x+y -x^2 +y^2$。
规律方法 1. 多项式乘多项式的运算法则的实质是将多项式与多项式相乘的形式转化为几个单项式的乘积相加的形式。
2. 多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数的积。
3. 多项式乘多项式的运算法则也适用于多个多项式相乘，即按照顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个多项式相乘，依次类推。
答案
解：
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)·5 + (-2x)·(-3x) + 3·5 + 3·(-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)·5 + (-2x)·(-3x) + 3·5 + 3·(-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
解析
【分析】
这4道小题均为多项式乘多项式的运算，解题遵循以下思路：①先明确每个多项式的所有项（需包含项前面的符号）；②依据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，保证运算不重不漏，相乘时按照“同号得正、异号得负”的规则判断符号；③把所有相乘得到的积相加，最后合并同类项得到最简结果，部分符合乘法公式特征的题目也可直接用公式简化运算。
【解析】
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)·5 + (-2x)·(-3x) + 3·5 + 3·(-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
【答案】
(1)$x^2-4y^2$；(2)$6x^2-19x+15$；(3)$a^3-b^3$；(4)$x+y-x^2+y^2$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查多项式乘多项式法则的应用，解题的关键是做到逐项相乘不重不漏、符号判断准确，同类项合并彻底，掌握该类运算能为后续学习乘法公式、因式分解等知识打好基础。
【难度系数】
0.8
这4道小题均为多项式乘多项式的运算，解题遵循以下思路：①先明确每个多项式的所有项（需包含项前面的符号）；②依据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，保证运算不重不漏，相乘时按照“同号得正、异号得负”的规则判断符号；③把所有相乘得到的积相加，最后合并同类项得到最简结果，部分符合乘法公式特征的题目也可直接用公式简化运算。
【解析】
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)·5 + (-2x)·(-3x) + 3·5 + 3·(-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
【答案】
(1)$x^2-4y^2$；(2)$6x^2-19x+15$；(3)$a^3-b^3$；(4)$x+y-x^2+y^2$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，重点考查多项式乘多项式法则的应用，解题的关键是做到逐项相乘不重不漏、符号判断准确，同类项合并彻底，掌握该类运算能为后续学习乘法公式、因式分解等知识打好基础。
【难度系数】
0.8
