1[2025江苏徐州期中,中]下列选项说法正确的是 ()

A.单项式$-\frac{3}{5}π x^2$的系数是$-\frac{3}{5}$
B.单项式$3^2x^5y^3$的次数是10
C.关于$x,y$的多项式$\frac{1}{2}x^2y^3 - \frac{1}{10}x^4y + xy^5$是一个六次三项式
D.若关于$x,y$的多项式$3 - 2nxy + 3y$不含二次项,则$n$的值为$-1$

1.C 【解析】A选项,单项式$-\frac{3}{5}π x^2$的系数是$-\frac{3}{5}π$,故本选项错误;B选项,单项式$3^2x^5y^3$的次数是8,故本选项错误;C选项,关于$x,y$的多项式$\frac{1}{2}x^2y^3 - \frac{1}{10}x^4y + xy^5$是一个六次三项式,故本选项正确;D选项,因为多项式$3 - 2nxy + 3y$不含二次项,所以$-2n=0$,所以$n=0$,故本选项错误.故选C.

2[2025江苏宿迁期中,较难]已知整式$M:a_5x^5 + a_4x^4 + \dots + a_0$，其中$a_5$是正整数，$a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$是自然数，$a_5+a_0=p$，$a_4+a_3+a_2+a_1=q$.下列说法：
①若$p=1,q=0$，则满足条件的整式$M$有且仅有1个；
②若$p=q=2$，则满足条件的整式$M$中有6个五次四项式；
③若$p=3,q=1$，则满足条件的整式$M$共有12个.
其中正确的个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

2.D 【解析】①因为$p=1$,所以$a_5+a_0=p=1$,所以$a_5=1,a_0=0$. 因为$a_4+a_3+a_2+a_1=q=0$,所以$a_4=a_3=a_2=a_1=0$,所以$M$只有1个,为$x^5$,故①正确. ②因为$p=q=2$,所以$a_5+a_0=p=2$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=2$. 因为要满足五次四项式,所以易知$a_5=a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有两个为1,其余为0,所以$M=x^5+x^4+x^2+1$或$M=x^5+x^4+x^3+1$或$M=x^5+x^4+x+1$或$M=x^5+x^3+x+1$或$M=x^5+x^3+x^2+1$或$M=x^5+x^2+x+1$,共6个,故②正确. ③因为$a_5+a_0=p=3$,$a_4+a_3+a_2+a_1=q=1$,所以当$a_5=3,a_0=0$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=2,a_0=1$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个;当$a_5=1,a_0=2$,$a_4,a_3,a_2,a_1$中有一个为1,其余为0时,满足条件的整式$M$有4个,所以满足条件的整式$M$共有12个,故③正确. 综上可知,正确的个数是3,故选D.

3[中]若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式. 例如$2x^3 - 3x^2y + y^3$是三次齐次多项式. 若$x^m y - 2x^3 y^2 +5x^2 y^n +3xy^4 + y^5$是齐次多项式,则$m=$,$n=$.

3.4 3 【解析】因为$x^m y - 2x^3 y^2 +5x^2 y^n +3xy^4 + y^5$是齐次多项式,所以$m+1=5$,$2+n=5$,解得$m=4,n=3$.

4[中]如图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),请回答下列问题:
(1)用式子表示这所住宅的建筑面积.
(2)上面的式子是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?

4.【解】(1)住宅的建筑面积为 $2x + x×x +3×2 +3×4=(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,多项式的最高次数为2,项数为3,所以此多项式为二次三项式,二次项系数为1,一次项为$2x$.

5[2026浙江杭州期末,中]已知$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是关于$x$的多项式，其中$m,n$为整数，且$|m|＞2$.
(1)若该多项式是一个二次二项式，求$m+n$的值；
(2)若该多项式是一个三次三项式，求$m-n$的值；
(3)若该多项式是一个四次三项式，求$mn$的值.

5.【解】(1)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个二次二项式,$|m|＞2$,则$m-3=0,n-4=0$,或$m-3=0,m+n=0$,解得$m=3,n=4$或$m=3,n=-3$,所以$m+n=7$或$m+n=0$.
(2)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个三次三项式,则$|m|=3,m-3≠0$,解得$m=-3$. 当$n-4=0$时,解得$n=4$,此时$m+n=1$,满足题意,则$m-n=-3-4=-7$;当$m+n=0$时,解得$n=3$,此时$-(n-4)x=x$,满足题意,则$m-n=-3-3=-6$.
综上可知,$m-n$的值为-7或-6.
(3)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个四次三项式,则$|m|=4,m-3≠0,n-4=0$且$m+n≠0$,或$|m|=4,m-3≠0,m+n=0$且$n-4≠0$. 当$m=4,n-4=0$时,$n=4$,满足$m+n≠0$,此时$mn=4×4=16$;当$m=-4,n-4=0$时,$n=4$,则$m+n=0$,不符合题意;当$m=4,m+n=0$时,$n=-4$,满足$n-4≠0$,此时$mn=4×(-4)=-16$;当$m=-4,m+n=0$时,$n=4$,则$n-4=0$,不符合题意. 综上可知,$mn$的值为16或-16.

6 核心素养运算能力[较难]定义:若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍,则称这个多项式为“青一多项式”,称这个多项式的各项系数之和为“青一和”.例如:多项式20x+8y的各项系数和为20+8=28=7×4,所以多项式20x+8y是“青一多项式”,它的“青一和”为28.请根据这个定义解答下列问题:
(1)在下列多项式中,属于“青一多项式”的是.(在横线上填写序号)
①$2x^2 - 9x$;②$3a + 5b$;③$19x^2 - 4x + 2y - 3x$.
(2)若关于$x$的“青一多项式”$abx^2 - 3x$的“青一和”为7,且$a,b$均为正整数,求$a+b$的值.
(3)若多项式$4mx - ny$是关于$x,y$的“青一多项式”(其中$m,n$均为整数),则多项式$2mx + 3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.

6.【解】(1)因为$2+(-9)=-7=7×(-1)$,所以$2x^2-9x$属于“青一多项式”;因为$3+5=8≠7k$($k$为整数),所以$3a+5b$不属于“青一多项式”;因为$19-4+2-3=14=7×2$,所以$19x^2-4x+2y-3x$属于“青一多项式”. 故属于“青一多项式”的是①③,故答案为①③.
(2)因为关于$x$的“青一多项式”$abx^2 - 3x$的“青一和”为7,所以$ab-3=7$,即$ab=10$. 因为$a,b$均为正整数,所以①$a=2,b=5$或$a=5,b=2$,此时$a+b=7$;②$a=1,b=10$或$a=10,b=1$,此时$a+b=11$. 综上,$a+b$的值为7或11.
(3)是,理由如下:因为多项式$4mx - ny$是关于$x,y$的“青一多项式”,所以$4m-n=7k$($k$为整数),所以$n=4m-7k$,所以$2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k)$,所以$2m+3n$是7的整数倍,所以多项式$2mx + 3ny$也是关于$x,y$的“青一多项式”.