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4.(湖北恩施建始期末)如图,有一长方形纸片ABCD,M为边AD的中点,将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在点A₁处,点D落在点D₁处.若∠1=30°,则∠BMC=
105°
. 答案
4. 105° [解析] 由折叠的性质,得∠AMB=∠A₁MB,∠CMD=CMD₁.因为∠1=30°,所以∠AMA₁+∠DMD₁=180°-∠1=150°.因为∠BMA₁=$\frac{1}{2}$∠AMA₁,∠CMD₁=$\frac{1}{2}$∠DMD₁,所以∠BMA₁+∠CMD₁=$\frac{1}{2}$(∠AMA₁+∠DMD₁)=75°,所以∠BMC=∠1+∠BMA₁+∠CMD₁=30°+75°=105°.
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠前后对应的角大小相等，因此折叠后∠AMB和∠A₁MB相等，∠CMD和∠CMD₁相等。首先AD所在平角总度数为180°，已知中间的∠1=30°，可先求出∠AMA₁与∠DMD₁的度数和；再根据角的倍数关系，求出∠A₁MB和∠CMD₁的度数和，最后加上∠1的度数，就能得到∠BMC的大小。
【解析】
根据折叠的性质可知：$∠ AMB=∠ A_1MB$，$∠ CMD=∠ CMD_1$。
因为平角$∠ AMD=180°$，$∠1=30°$，所以$∠ AMA_1+∠ DMD_1=180°-∠1=180°-30°=150°$。
又因为$∠ A_1MB=\frac{1}{2}∠ AMA_1$，$∠ CMD_1=\frac{1}{2}∠ DMD_1$，所以$∠ A_1MB+∠ CMD_1=\frac{1}{2}×(∠ AMA_1+∠ DMD_1)=\frac{1}{2}×150°=75°$。
因此$∠ BMC=∠ A_1MB+∠1+∠ CMD_1=75°+30°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
折叠的性质，角的运算，平角的定义
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，理清各个角之间的和差、倍数关系，结合平角的度数即可求解，解题时可以把相等的角做标记避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的性质思考：折叠前后对应的角大小相等，因此折叠后∠AMB和∠A₁MB相等，∠CMD和∠CMD₁相等。首先AD所在平角总度数为180°，已知中间的∠1=30°，可先求出∠AMA₁与∠DMD₁的度数和；再根据角的倍数关系，求出∠A₁MB和∠CMD₁的度数和，最后加上∠1的度数，就能得到∠BMC的大小。
【解析】
根据折叠的性质可知：$∠ AMB=∠ A_1MB$，$∠ CMD=∠ CMD_1$。
因为平角$∠ AMD=180°$，$∠1=30°$，所以$∠ AMA_1+∠ DMD_1=180°-∠1=180°-30°=150°$。
又因为$∠ A_1MB=\frac{1}{2}∠ AMA_1$，$∠ CMD_1=\frac{1}{2}∠ DMD_1$，所以$∠ A_1MB+∠ CMD_1=\frac{1}{2}×(∠ AMA_1+∠ DMD_1)=\frac{1}{2}×150°=75°$。
因此$∠ BMC=∠ A_1MB+∠1+∠ CMD_1=75°+30°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
折叠的性质，角的运算，平角的定义
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，理清各个角之间的和差、倍数关系，结合平角的度数即可求解，解题时可以把相等的角做标记避免混淆。
【难度系数】
0.7
5.(吉林长春朝阳区月考)如图,已知B,M,C依次为线段AD上的点,M为AD的中点,且$CD=2MC$,$MC=\frac{3}{4}AB$.若$BC=8$,则线段AD的长为
18
.答案
5. 18 [解析] 因为CD=2MC,$MC=\frac{3}{4}AB$,所以设AB=4x,MC=3x,CD=6x.
因为M为AD的中点,所以AM=MD=MC+CD=3x+6x=9x,所以BM=AM-AB=9x-4x=5x.
又因为BC=8,所以BC=BM+MC=5x+3x=8,解得x=1,所以AD=2AM=2×9x=2×9×1=18.
因为M为AD的中点,所以AM=MD=MC+CD=3x+6x=9x,所以BM=AM-AB=9x-4x=5x.
又因为BC=8,所以BC=BM+MC=5x+3x=8,解得x=1,所以AD=2AM=2×9x=2×9×1=18.
解析
【分析】
本题给出了多条线段的比例关系和线段中点的条件，还已知BC的长度求AD的长，我们可以采用设参数的方法简化计算：首先根据MC和AB的比例关系设未知数，把所有相关线段都用含未知数的式子表示，再利用中点的性质找到AM和MD的长度表达式，进而表示出BM的长度，最后根据BC的长度列方程求出未知数，再计算AD的长度即可。
【解析】
根据$MC=\frac{3}{4}AB$，为了计算方便，设$AB=4x$，则$MC=3x$；
又因为$CD=2MC$，所以$CD=2×3x=6x$；
因为M是AD的中点，所以$AM=MD$，而$MD=MC+CD=3x+6x=9x$，因此$AM=9x$；
那么$BM=AM-AB=9x-4x=5x$；
已知$BC=8$，观察线段可知$BC=BM+MC$，代入得：$5x+3x=8$，即$8x=8$，解得$x=1$；
因为$AD=2AM$，所以$AD=2×9x=2×9×1=18$。
【答案】
18
【知识点】
线段中点性质；线段和差计算；参数法解线段问题
【点评】
本题是线段长度计算的典型习题，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，通过设参数将比例关系转化为整式表达式，结合已知线段长度建立方程求解，能有效锻炼对线段关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
本题给出了多条线段的比例关系和线段中点的条件，还已知BC的长度求AD的长，我们可以采用设参数的方法简化计算：首先根据MC和AB的比例关系设未知数，把所有相关线段都用含未知数的式子表示，再利用中点的性质找到AM和MD的长度表达式，进而表示出BM的长度，最后根据BC的长度列方程求出未知数，再计算AD的长度即可。
【解析】
根据$MC=\frac{3}{4}AB$，为了计算方便，设$AB=4x$，则$MC=3x$；
又因为$CD=2MC$，所以$CD=2×3x=6x$；
因为M是AD的中点，所以$AM=MD$，而$MD=MC+CD=3x+6x=9x$，因此$AM=9x$；
那么$BM=AM-AB=9x-4x=5x$；
已知$BC=8$，观察线段可知$BC=BM+MC$，代入得：$5x+3x=8$，即$8x=8$，解得$x=1$；
因为$AD=2AM$，所以$AD=2×9x=2×9×1=18$。
【答案】
18
【知识点】
线段中点性质；线段和差计算；参数法解线段问题
【点评】
本题是线段长度计算的典型习题，解题的核心是理清各线段之间的数量关系，通过设参数将比例关系转化为整式表达式，结合已知线段长度建立方程求解，能有效锻炼对线段关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
6. 练思维·数形结合【背景知识】若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离$AB=|a−b|$，线段AB的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$。
【问题情境】已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足$|a+50|+(b−30)^2=0$，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程$x=\frac{2}{5}x+6$的解。
（1）数轴上点A，B，C表示的数分别为
【综合运用】
（2）如图1，若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，经过多少秒时，P，Q之间的距离恰好等于4？
（3）如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，分别以每秒3个单位长度、每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点R从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。是否存在某一时刻，P，Q，R三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由。
【问题情境】已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足$|a+50|+(b−30)^2=0$，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程$x=\frac{2}{5}x+6$的解。
（1）数轴上点A，B，C表示的数分别为
-50,30,10
。【综合运用】
（2）如图1，若动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，经过多少秒时，P，Q之间的距离恰好等于4？
（3）如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，分别以每秒3个单位长度、每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点R从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。是否存在某一时刻，P，Q，R三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由。
答案
6.解:(1)由题意可得,a+50=0,b-30=0,解得a=-50,b=30.
解方程$x=\frac{2}{5}x+6$,得x=10,所以x=10,
所以数轴上点A,B,C表示的数分别为-50,30,10.
故答案为-50,30,10.
(2)设运动时间为t s.
由题意,得运动t s后点P表示的数为-50+3t,点Q表示的数为30-t.
因为P,Q之间的距离恰好等于4,
所以|-50+3t-(30-t)|=4,
即|4t-80|=4,
解得t=21或t=19,
所以经过19 s或21 s时,P,Q之间的距离恰好等于4.
(3)设运动时间为m s.
由题意,得运动m s后点P表示的数为-50+3m,点Q表示的数为30+5m,点R表示的数为10-2m.
①当R为P,Q的中点时,则2(10-2m)=-50+3m+30+5m,解得$m=\frac{10}{3}$;
②当P为R,Q的中点时,则2(-50+3m)=10-2m+30+5m,解得$m=\frac{140}{3}$;
③当Q为P,R的中点时,则2(30+5m)=10-2m-50+3m,解得$m=-\frac{100}{9}$(舍去).
综上所述,所有满足条件的时间为$\frac{10}{3}$ s或$\frac{140}{3}$ s.
【易错点拨】动点P,Q同时从A,B出发,分别以每秒3个单位长度、每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,可看作动点追及问题.因为点P的速度小于点Q的速度,且AB=80,所以点P永远追不上点Q,即点P在运动过程中始终在点Q的左侧,不存在点Q为P,R的中点的情况.
解方程$x=\frac{2}{5}x+6$,得x=10,所以x=10,
所以数轴上点A,B,C表示的数分别为-50,30,10.
故答案为-50,30,10.
(2)设运动时间为t s.
由题意,得运动t s后点P表示的数为-50+3t,点Q表示的数为30-t.
因为P,Q之间的距离恰好等于4,
所以|-50+3t-(30-t)|=4,
即|4t-80|=4,
解得t=21或t=19,
所以经过19 s或21 s时,P,Q之间的距离恰好等于4.
(3)设运动时间为m s.
由题意,得运动m s后点P表示的数为-50+3m,点Q表示的数为30+5m,点R表示的数为10-2m.
①当R为P,Q的中点时,则2(10-2m)=-50+3m+30+5m,解得$m=\frac{10}{3}$;
②当P为R,Q的中点时,则2(-50+3m)=10-2m+30+5m,解得$m=\frac{140}{3}$;
③当Q为P,R的中点时,则2(30+5m)=10-2m-50+3m,解得$m=-\frac{100}{9}$(舍去).
综上所述,所有满足条件的时间为$\frac{10}{3}$ s或$\frac{140}{3}$ s.
【易错点拨】动点P,Q同时从A,B出发,分别以每秒3个单位长度、每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,可看作动点追及问题.因为点P的速度小于点Q的速度,且AB=80,所以点P永远追不上点Q,即点P在运动过程中始终在点Q的左侧,不存在点Q为P,R的中点的情况.
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出a、b的值；再解一元一次方程即可得到点C对应的数x。
2. 求解第(2)问：先设运动时间为t秒，结合动点的运动方向、速度，写出t秒后P、Q两点表示的数，再根据两点距离公式列绝对值方程，解方程即可得到符合要求的t值。
3. 求解第(3)问：设运动时间为m秒，先写出m秒后P、Q、R三点表示的数，再分三种情况讨论：R为P、Q的中点、P为R、Q的中点、Q为P、R的中点，分别根据中点公式列方程求解，舍去时间为负的不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 已知$|a+50|+(b-30)^2=0$，且$|a+50|≥0$，$(b-30)^2≥0$，因此可得$a+50=0$，$b-30=0$，解得$a=-50$，$b=30$。
解方程$x=\frac{2}{5}x+6$：移项得$x-\frac{2}{5}x=6$，即$\frac{3}{5}x=6$，解得$x=10$。
因此点A、B、C表示的数分别为-50、30、10。
(2) 设运动时间为$t$ s。
运动t秒后，点P从A向右运动，速度为3单位/秒，对应的数为$-50+3t$；点Q从B向左运动，速度为1单位/秒，对应的数为$30-t$。
根据P、Q距离为4，结合两点距离公式可得：
$\left|-50+3t-(30-t)\right|=4$
化简得$\left|4t-80\right|=4$，即$4t-80=4$或$4t-80=-4$，分别解得$t=21$或$t=19$。
因此经过19 s或21 s时，P、Q之间的距离恰好等于4。
(3) 设运动时间为$m$ s。
运动m秒后，点P对应的数为$-50+3m$，点Q对应的数为$30+5m$，点R对应的数为$10-2m$，分三种情况讨论：
① 当R为P、Q的中点时，根据中点公式可得：
$2(10-2m)=-50+3m+30+5m$
整理得$20-4m=-20+8m$，解得$m=\frac{10}{3}$，符合题意；
② 当P为R、Q的中点时，根据中点公式可得：
$2(-50+3m)=10-2m+30+5m$
整理得$-100+6m=40+3m$，解得$m=\frac{140}{3}$，符合题意；
③ 当Q为P、R的中点时，根据中点公式可得：
$2(30+5m)=10-2m+(-50+3m)$
整理得$60+10m=-40+m$，解得$m=-\frac{100}{9}$，时间不能为负，舍去。
综上，满足条件的时间为$\frac{10}{3}$ s或$\frac{140}{3}$ s。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-50,30,10}$
(2) $\boldsymbol{19\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{21\ \mathrm{s}}$
(3) 存在，满足条件的时间为$\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{140}{3}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，数轴中点公式
【点评】
本题将代数运算和数轴几何结合，考察数形结合和分类讨论思想，需要熟练掌握非负数的性质、数轴两点距离和中点的计算方法；解决动点问题时要先准确表示运动后点对应的数，分类讨论中点情况时不要遗漏，同时要注意计算出的时间需符合实际意义，负数结果要舍去。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问：绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出a、b的值；再解一元一次方程即可得到点C对应的数x。
2. 求解第(2)问：先设运动时间为t秒，结合动点的运动方向、速度，写出t秒后P、Q两点表示的数，再根据两点距离公式列绝对值方程，解方程即可得到符合要求的t值。
3. 求解第(3)问：设运动时间为m秒，先写出m秒后P、Q、R三点表示的数，再分三种情况讨论：R为P、Q的中点、P为R、Q的中点、Q为P、R的中点，分别根据中点公式列方程求解，舍去时间为负的不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 已知$|a+50|+(b-30)^2=0$，且$|a+50|≥0$，$(b-30)^2≥0$，因此可得$a+50=0$，$b-30=0$，解得$a=-50$，$b=30$。
解方程$x=\frac{2}{5}x+6$：移项得$x-\frac{2}{5}x=6$，即$\frac{3}{5}x=6$，解得$x=10$。
因此点A、B、C表示的数分别为-50、30、10。
(2) 设运动时间为$t$ s。
运动t秒后，点P从A向右运动，速度为3单位/秒，对应的数为$-50+3t$；点Q从B向左运动，速度为1单位/秒，对应的数为$30-t$。
根据P、Q距离为4，结合两点距离公式可得：
$\left|-50+3t-(30-t)\right|=4$
化简得$\left|4t-80\right|=4$，即$4t-80=4$或$4t-80=-4$，分别解得$t=21$或$t=19$。
因此经过19 s或21 s时，P、Q之间的距离恰好等于4。
(3) 设运动时间为$m$ s。
运动m秒后，点P对应的数为$-50+3m$，点Q对应的数为$30+5m$，点R对应的数为$10-2m$，分三种情况讨论：
① 当R为P、Q的中点时，根据中点公式可得：
$2(10-2m)=-50+3m+30+5m$
整理得$20-4m=-20+8m$，解得$m=\frac{10}{3}$，符合题意；
② 当P为R、Q的中点时，根据中点公式可得：
$2(-50+3m)=10-2m+30+5m$
整理得$-100+6m=40+3m$，解得$m=\frac{140}{3}$，符合题意；
③ 当Q为P、R的中点时，根据中点公式可得：
$2(30+5m)=10-2m+(-50+3m)$
整理得$60+10m=-40+m$，解得$m=-\frac{100}{9}$，时间不能为负，舍去。
综上，满足条件的时间为$\frac{10}{3}$ s或$\frac{140}{3}$ s。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-50,30,10}$
(2) $\boldsymbol{19\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{21\ \mathrm{s}}$
(3) 存在，满足条件的时间为$\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{140}{3}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，数轴中点公式
【点评】
本题将代数运算和数轴几何结合，考察数形结合和分类讨论思想，需要熟练掌握非负数的性质、数轴两点距离和中点的计算方法；解决动点问题时要先准确表示运动后点对应的数，分类讨论中点情况时不要遗漏，同时要注意计算出的时间需符合实际意义，负数结果要舍去。
【难度系数】
0.6
