变式3.2 (2025·天津河东区期末)利用折纸可以作出角平分线,如图(1),OC 为$∠ AOB$的平分线.
如图(2)、图(3),折叠长方形纸片,OC,OD 均是折痕,折叠后,点 A 落在点$A'$,点 B 落在点$B'$,连接$OA'$.
(1)如图(2),若点$B'$恰好落在$OA'$上,且$∠ AOC=$$32°$,则$∠ BOD=$;
(2)如图(3),当点$B'$在$∠ COA'$的内部时,连接$OB'$,若$∠ AOC=44°$,$∠ BOD=61°$,求$∠ A'OB'$的度数为.

(1)$58°$
解析由折叠知,$∠AOC=∠A'OC$,$\therefore ∠AOA'=2∠AOC$.
由折叠知,$∠BOD=∠B'OD,\therefore ∠BOB'=2∠BOD$.
$\because$点$B'$落在$OA'$上,$\therefore ∠AOA'+∠BOB'=180°$,
$\therefore 2∠AOC+2∠BOD=180°,\therefore ∠AOC+∠BOD=90°$.
$\because ∠AOC=32°,\therefore ∠BOD=90°-32°=58°$.
(2)$30°$
解析由折叠知,$∠AOA'=2∠AOC$,$∠BOB'=2∠BOD$.
$\because ∠AOC=44°,∠BOD=61°$,
$\therefore ∠AOA'=2∠AOC=2×44°=88°,∠BOB'=2×61°=122°$,
$\therefore ∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-180°=88°+122°-180°=30°$,即$∠A'OB'$的度数为$30°$.

4. 分类讨论思想 (2025·河北衡水桃城区期中)如图,点O为直线 AB 上一点,过点 O 作射线 OC,使$∠ BOC=120°$,将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边ON 在直线 AB 下方.将图中三角板绕点 O 逆时针旋转$α(0°＜α＜360°)$,使得直线 ON 恰好平分$∠ AOC$,则$α=$或.

60 240
解析设$∠AOC$的平分线所在的直线为 PQ,如图所示.
$\because ∠BOC=120°,\therefore ∠AOC=180°-120°=60°$,
$\therefore ∠AOQ=∠COQ=∠BOP=30°,\therefore ∠NOP=90°-30°=60°.$
当 ON 与射线 OP 重合时,此时旋转角为$60°$;
当 ON 与射线 OQ 重合时,此时旋转角为$90°+120°+30°=240°$.

子题练思维
变式 4.1 （2025·辽宁抚顺新宾期末）综合与实践
已知，$O$ 为直线 $AB$ 上的一点，过点 $O$ 作射线 $OC$，使$∠ BOC=65°$，将一直角三角板的直角顶点放在点 $O$ 处。
(1)如图(1)，将三角板 $MON$ 的一边 $ON$ 与射线 $OB$重合，此时$∠ MOC=$；
(2)如图(2)，将三角板 $MON$ 绕点 $O$ 逆时针旋转一定角度，使得 $OC$ 是$∠ MOB$ 的平分线，求$∠ CON$的度数；
(3)如图(3)，将三角板 $MON$ 继续绕点 $O$ 逆时针旋转至$∠ AOC$ 内部，使得$∠ NOC=\dfrac{1}{4}∠ AOM$。求$∠ MOC$ 的度数。

(1)$25°$
解析依题意,得$∠BOC=65°,∠MOB=90°$,
$\therefore ∠MOC$和$∠BOC$互余,$∠MOC=∠MOB-∠BOC=90°-65°=25°$.
(2)依题意,得$∠BOC=65°,∠MON=90°$.
$\because OC$是$∠MOB$的平分线,$\therefore ∠MOC=∠BOC=65°$,
$\therefore ∠CON=∠MON-∠MOC=90°-65°=25°$.
(3)设$∠NOC=α$.
$\because ∠NOC=\frac{1}{4}∠AOM,\therefore ∠AOM=4∠NOC=4α$.
$\because ∠BOC=65°,∠AOC$和$∠BOC$互补,
$\therefore ∠AOC=180°-∠BOC=180°-65°=115°$.
又$∠AOC=∠AOM+∠MON+∠NOC,∠MON=90°$,
$\therefore 4α+90°+α=115°$,解得$α=5°,\therefore ∠NOC=α=5°$,
$\therefore ∠MOC=∠MON+∠NOC=90°+5°=95°$.