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6. 如图,$□ ABCO$ 的顶点 $B$ 在曲线 $y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$ 上,顶点 $C$ 在曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 上,$BC$ 的中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上. 已知 $S_{□ OABC}=12$,则 $k$ 的值为（
A.$-8$
B.$-6$
C.$-4$
D.$-2$
C
）A.$-8$
B.$-6$
C.$-4$
D.$-2$
答案
如图,连接$OB$,过点$C$作$CD⊥ y$轴于点$D$,过点$B$作$BE⊥ y$轴于点$E$,则$∠ BEP=∠ CDP=90°$.$\because BC$的中点$P$恰好落在$y$轴上,$\therefore PB=PC$,$∠ BPE=∠ CPD$.在$△ BEP$和$△ CDP$中,$\begin{cases}∠ BEP=∠ CDP=90°,\\∠ BPE=∠ CPD,\\PB=PC,\end{cases}$ $\therefore △ BEP≌△ CDP(\mathrm{AAS}).\therefore S_{△ BEP}=S_{△ CDP}.\therefore S_{△ OCP}=S_{△ OCD}+S_{△ CDP}=S_{△ OCD}+S_{△ BEP}.\therefore S_{△ OBC}=S_{△ OBP}+S_{△ OCP}=S_{△ OBP}+S_{△ OCD}+S_{△ BEP}=S_{△ OCD}+S_{△ OBE}.$根据反比例函数比例系数$k$的几何意义,得$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|k|$,$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}×8=4$,$\therefore S_{△ OBC}=\frac{1}{2}|k|+4$.又$\because S_{□ OABC}=12$,$\therefore S_{△ OBC}=\frac{1}{2}S_{□ OABC}=6$.$\therefore \frac{1}{2}|k|+4=6$.$\therefore |k|=4$.$\therefore k=\pm4$.$\because$ 曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$在第二象限,$\therefore k＜0$.$\therefore k=-4.$
（第6题配图）
（第6题配图）
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线会把它分成面积相等的两部分，因此△OBC的面积就是平行四边形OABC面积的一半，也就是6，先得到△OBC的面积。接着利用BC中点P落在y轴上的条件，过B、C分别向y轴作垂线，构造出AAS全等的两个直角三角形，通过全等的面积相等关系，把△OBC的面积转化为△OBE和△OCD两个直角三角形的面积之和。最后直接用反比例函数比例系数k的几何意义，代入两个三角形的面积列方程求出|k|，再结合C所在的反比例函数图像在第二象限，判断k为负数，就能得到最终结果，全程不需要复杂的坐标运算，通过面积转化即可快速求解。
【解析】
1. 连接OB，过点C作$CD⊥ y$轴于点D，过点B作$BE⊥ y$轴于点E，可得$∠ BEP=∠ CDP=90°$。
2. 因为P是BC的中点，所以$PB=PC$，又$∠ BPE=∠ CPD$（对顶角相等），在$△ BEP$和$△ CDP$中：
$\begin{cases}∠ BEP=∠ CDP=90° \\∠ BPE=∠ CPD \\PB=PC\end{cases}$
因此$△ BEP≌△ CDP(\mathrm{AAS})$，可得$S_{△ BEP}=S_{△ CDP}$。
3. 对$△ OBC$的面积做转化：
$S_{△ OBC}=S_{△ OBP}+S_{△ OCP}=S_{△ OBP}+S_{△ OCD}+S_{△ CDP}$，代入$S_{△ CDP}=S_{△ BEP}$，可得$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCD}$。
4. 根据反比例函数比例系数k的几何意义：
点B在$y=\frac{8}{x}(x＞0)$上，因此$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}×8=4$；
点C在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，因此$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|k|$。
5. 已知$S_{□OABC}=12$，平行四边形对角线平分其面积，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}S_{□OABC}=6$。
6. 代入面积等式得：$\frac{1}{2}|k|+4=6$，解得$|k|=4$。
7. 因为曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像在第二象限，所以$k＜0$，最终得$k=-4$。
【答案】C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的中档综合题，核心技巧是利用中点在y轴的条件构造全等三角形实现面积转化，规避了设点坐标的复杂代数运算，直接通过反比例函数k的几何意义建立方程求解，解题时要注意根据图像所在象限判断k的正负，避免忽略符号得到错误结果。
【难度系数】
0.4
我们可以按以下思路逐步推导：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线会把它分成面积相等的两部分，因此△OBC的面积就是平行四边形OABC面积的一半，也就是6，先得到△OBC的面积。接着利用BC中点P落在y轴上的条件，过B、C分别向y轴作垂线，构造出AAS全等的两个直角三角形，通过全等的面积相等关系，把△OBC的面积转化为△OBE和△OCD两个直角三角形的面积之和。最后直接用反比例函数比例系数k的几何意义，代入两个三角形的面积列方程求出|k|，再结合C所在的反比例函数图像在第二象限，判断k为负数，就能得到最终结果，全程不需要复杂的坐标运算，通过面积转化即可快速求解。
【解析】
1. 连接OB，过点C作$CD⊥ y$轴于点D，过点B作$BE⊥ y$轴于点E，可得$∠ BEP=∠ CDP=90°$。
2. 因为P是BC的中点，所以$PB=PC$，又$∠ BPE=∠ CPD$（对顶角相等），在$△ BEP$和$△ CDP$中：
$\begin{cases}∠ BEP=∠ CDP=90° \\∠ BPE=∠ CPD \\PB=PC\end{cases}$
因此$△ BEP≌△ CDP(\mathrm{AAS})$，可得$S_{△ BEP}=S_{△ CDP}$。
3. 对$△ OBC$的面积做转化：
$S_{△ OBC}=S_{△ OBP}+S_{△ OCP}=S_{△ OBP}+S_{△ OCD}+S_{△ CDP}$，代入$S_{△ CDP}=S_{△ BEP}$，可得$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OCD}$。
4. 根据反比例函数比例系数k的几何意义：
点B在$y=\frac{8}{x}(x＞0)$上，因此$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}×8=4$；
点C在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，因此$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|k|$。
5. 已知$S_{□OABC}=12$，平行四边形对角线平分其面积，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}S_{□OABC}=6$。
6. 代入面积等式得：$\frac{1}{2}|k|+4=6$，解得$|k|=4$。
7. 因为曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像在第二象限，所以$k＜0$，最终得$k=-4$。
【答案】C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，平行四边形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的中档综合题，核心技巧是利用中点在y轴的条件构造全等三角形实现面积转化，规避了设点坐标的复杂代数运算，直接通过反比例函数k的几何意义建立方程求解，解题时要注意根据图像所在象限判断k的正负，避免忽略符号得到错误结果。
【难度系数】
0.4
7. 如图,函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象经过$□ ABCO$ 的顶点 $A$,$OC$ 在 $x$ 轴上. 若点 $B$ 的坐标为 $(-1,3)$,$□ ABCO$ 的面积为 4,则实数 $k$ 的值为
-7
.答案
如图,过点$B$作$BD⊥ x$轴,垂足为$D$,过点$A$作$AE⊥ x$轴,垂足为$E$.$\because$ 点$B$的坐标为$(-1,3)$,$□ ABCO$的面积为$4$,$\therefore OC· BD=4$,即$3OC=4$.$\therefore OC=AB=\frac{4}{3}$.$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1-\frac{4}{3},3)$,即$(-\frac{7}{3},3)$.$\because$ 函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过$□ ABCO$的顶点$A$,$\therefore k=3×(-\frac{7}{3})=-7.$
（第7题配图）
（第7题配图）
解析
【分析】
这是一道反比例函数与平行四边形性质结合的基础题，解题思路如下：首先平行四边形ABCO的底OC在x轴上，平行四边形的高就等于点B的纵坐标数值，结合已知的平行四边形面积，用面积公式就能算出底OC的长度；接着根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=OC，又因为AB平行于x轴，所以点A和点B的纵坐标完全相同，结合B点坐标就能算出点A的横坐标，得到A点完整坐标；最后把A点坐标代入反比例函数解析式，利用k=xy直接计算出k的值即可。
【解析】
解：
1. 由点B的坐标为$(-1,3)$，且$OC$在$x$轴上，可知平行四边形$ABCO$的高为3。
2. 根据平行四边形面积公式$S=底×高$，已知$S_{□ ABCO}=4$，底为$OC$，代入得：
$OC × 3 = 4$，解得$OC=\frac{4}{3}$。
3. 由平行四边形对边平行且相等的性质，得$AB=OC=\frac{4}{3}$，且$AB// OC$，因此$AB$为水平线段，点A与点B纵坐标相等，均为3。
4. 点A在点B左侧，因此点A的横坐标为$-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$，即点A坐标为$(-\frac{7}{3},3)$。
5. 将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = x· y = 3×(-\frac{7}{3}) = -7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
平行四边形性质，反比例函数求值，平行四边形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的常规基础题，核心是利用平行四边形的性质推导顶点A的坐标，不需要复杂的几何变换，易错点是计算点A横坐标时容易忽略A在B左侧，出现长度或符号计算错误，整体侧重基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
这是一道反比例函数与平行四边形性质结合的基础题，解题思路如下：首先平行四边形ABCO的底OC在x轴上，平行四边形的高就等于点B的纵坐标数值，结合已知的平行四边形面积，用面积公式就能算出底OC的长度；接着根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=OC，又因为AB平行于x轴，所以点A和点B的纵坐标完全相同，结合B点坐标就能算出点A的横坐标，得到A点完整坐标；最后把A点坐标代入反比例函数解析式，利用k=xy直接计算出k的值即可。
【解析】
解：
1. 由点B的坐标为$(-1,3)$，且$OC$在$x$轴上，可知平行四边形$ABCO$的高为3。
2. 根据平行四边形面积公式$S=底×高$，已知$S_{□ ABCO}=4$，底为$OC$，代入得：
$OC × 3 = 4$，解得$OC=\frac{4}{3}$。
3. 由平行四边形对边平行且相等的性质，得$AB=OC=\frac{4}{3}$，且$AB// OC$，因此$AB$为水平线段，点A与点B纵坐标相等，均为3。
4. 点A在点B左侧，因此点A的横坐标为$-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$，即点A坐标为$(-\frac{7}{3},3)$。
5. 将点A代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = x· y = 3×(-\frac{7}{3}) = -7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
平行四边形性质，反比例函数求值，平行四边形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的常规基础题，核心是利用平行四边形的性质推导顶点A的坐标，不需要复杂的几何变换，易错点是计算点A横坐标时容易忽略A在B左侧，出现长度或符号计算错误，整体侧重基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
8. 如图,点 $A,B$ 在函数 $y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 $C,D$ 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象上,$AC//$$BD// y$ 轴. 已知点 $A,B$ 的横坐标分别为 $2,4,△ OAC$ 的面积比 $△ ABD$ 的面积大 $1$,则 $k$ 的值为
5
.答案
$\because AC// BD// y$轴,点$A,B$的横坐标分别为$2,4$,$\therefore$ 点$C,D$的横坐标分别为$2,4$.又$\because$ 点$A,B$在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,点$C,D$在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$\therefore A(2,\frac{1}{2})$,$B(4,\frac{1}{4})$,$C(2,\frac{k}{2})$,$D(4,\frac{k}{4})$.$\therefore AC=\frac{k-1}{2}$,$BD=\frac{k-1}{4}$.由题图可知,$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}AC×2=\frac{k-1}{2}$,$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD×2=\frac{k-1}{4}$.由题意,得$S_{△ OAC}-S_{△ ABD}=1$,即$\frac{k-1}{2}-\frac{k-1}{4}=1$,解得$k=5.$
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路逐步推导：首先，根据AC//BD//y轴的条件，可知点C的横坐标和点A相同，点D的横坐标和点B相同，结合已知A、B的横坐标为2、4，就能直接得到C、D的横坐标。接下来，把各点的横坐标代入对应的反比例函数解析式，就可以用含k的代数式表示出四个点的完整坐标。随后，计算竖直方向线段AC、BD的长度，再结合两个三角形的几何特征：△OAC的竖直底边AC对应的水平高是原点到直线x=2的距离2，△ABD的竖直底边BD对应的水平高是A点到直线x=4的距离2，就能写出两个三角形的面积表达式。最后根据题目给出的“△OAC的面积比△ABD的面积大1”的条件，列出关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 确定各点横坐标
∵ AC//BD//y轴，点A、B的横坐标分别为2、4，
∴ 点C的横坐标为2，点D的横坐标为4。
2. 求四个点的坐标
将x=2代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{2}$，即$A(2,\frac{1}{2})$；
将x=4代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{4}$，即$B(4,\frac{1}{4})$；
将x=2代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{2}$，即$C(2,\frac{k}{2})$；
将x=4代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{4}$，即$D(4,\frac{k}{4})$。
3. 计算竖直线段长度
$AC=\frac{k}{2}-\frac{1}{2}=\frac{k-1}{2}$，
$BD=\frac{k}{4}-\frac{1}{4}=\frac{k-1}{4}$。
4. 计算两个三角形的面积
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× AC × 2=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{2}×2=\frac{k-1}{2}$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × (4-2)=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{4}×2=\frac{k-1}{4}$。
5. 列方程求解k
由题意$S_{△ OAC}-S_{△ ABD}=1$，代入得：
$\frac{k-1}{2}-\frac{k-1}{4}=1$
化简得$\frac{k-1}{4}=1$，解得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数坐标性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题型，核心考察平行于坐标轴的线段的坐标特征，通过设点坐标、用含参数的代数式表示线段长度和面积，最终建立方程求解，解题过程不需要复杂辅助线，重点帮助学生理解竖直线段作为三角形底边时，对应的高是水平距离的特点，避免出现底高对应错误的问题。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路逐步推导：首先，根据AC//BD//y轴的条件，可知点C的横坐标和点A相同，点D的横坐标和点B相同，结合已知A、B的横坐标为2、4，就能直接得到C、D的横坐标。接下来，把各点的横坐标代入对应的反比例函数解析式，就可以用含k的代数式表示出四个点的完整坐标。随后，计算竖直方向线段AC、BD的长度，再结合两个三角形的几何特征：△OAC的竖直底边AC对应的水平高是原点到直线x=2的距离2，△ABD的竖直底边BD对应的水平高是A点到直线x=4的距离2，就能写出两个三角形的面积表达式。最后根据题目给出的“△OAC的面积比△ABD的面积大1”的条件，列出关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 确定各点横坐标
∵ AC//BD//y轴，点A、B的横坐标分别为2、4，
∴ 点C的横坐标为2，点D的横坐标为4。
2. 求四个点的坐标
将x=2代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{2}$，即$A(2,\frac{1}{2})$；
将x=4代入$y=\frac{1}{x}$，得$y=\frac{1}{4}$，即$B(4,\frac{1}{4})$；
将x=2代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{2}$，即$C(2,\frac{k}{2})$；
将x=4代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{4}$，即$D(4,\frac{k}{4})$。
3. 计算竖直线段长度
$AC=\frac{k}{2}-\frac{1}{2}=\frac{k-1}{2}$，
$BD=\frac{k}{4}-\frac{1}{4}=\frac{k-1}{4}$。
4. 计算两个三角形的面积
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× AC × 2=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{2}×2=\frac{k-1}{2}$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × (4-2)=\frac{1}{2}×\frac{k-1}{4}×2=\frac{k-1}{4}$。
5. 列方程求解k
由题意$S_{△ OAC}-S_{△ ABD}=1$，代入得：
$\frac{k-1}{2}-\frac{k-1}{4}=1$
化简得$\frac{k-1}{4}=1$，解得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数坐标性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题型，核心考察平行于坐标轴的线段的坐标特征，通过设点坐标、用含参数的代数式表示线段长度和面积，最终建立方程求解，解题过程不需要复杂辅助线，重点帮助学生理解竖直线段作为三角形底边时，对应的高是水平距离的特点，避免出现底高对应错误的问题。
【难度系数】
0.6
9. ⭐ 如图,点A在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$AB⊥ y$轴于点B,点C在x轴的正半轴上,且$OC=$$2AB$,点E在线段AC上,且$AE=3EC$,D为OB的中点.若$△ ADE$的面积为3,则k的值为
$\frac{16}{3}$
.答案
连接$DC$.$\because AE=3EC$,$△ ADE$的面积为$3$,$\therefore △ CDE$的面积为$1$.$\therefore △ ADC$的面积为$4$.设点$A$的坐标为$(a,b)$.$\because AB⊥ y$轴于点$B$,$\therefore AB=a$,$OB=b$.$\therefore OC=2AB=2a$.$\because D$为$OB$的中点,$\therefore BD=OD=\frac{1}{2}b$.$\because S_{\mathrm{梯形}OBAC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}+S_{△ ODC}$,$\therefore \frac{1}{2}(a+2a)× b=\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}b+4+\frac{1}{2}×2a×\frac{1}{2}b$.$\therefore ab=\frac{16}{3}$.把$A(a,b)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=ab=\frac{16}{3}.$
解析
【分析】
解题思路：1. 首先利用线段关系AE=3EC，△ADE和△CDE共享从D向AC作的高，同高三角形面积比等于底边长之比，结合已知△ADE面积为3，可快速算出△CDE面积为1，进而得到△ADC的总面积为4。2. 设点A的坐标为(a,b)，由于A在反比例函数y=k/x上，因此k=ab，我们不需要单独求出a、b的具体值，只需要得到ab的整体结果即可。3. 结合已知条件：AB⊥y轴，可得AB长度等于点A的横坐标a，OB长度等于点A的纵坐标b，由OC=2AB得OC=2a，D是OB中点可得OD=BD=b/2。4. 用割补法，直角梯形OBAC的面积可以拆分为△ABD、△ADC、△ODC三个部分的面积之和，代入各部分面积公式列方程，即可直接解出ab的值，也就是k的取值。
【解析】
解：连接DC，
∵ AE=3EC，△ADE与△CDE同高，且$S_{△ ADE}=3$，
∴ $S_{△ CDE} = \frac{1}{3}S_{△ ADE} = 1$，
∴ $S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ CDE} = 3+1=4$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵ $AB⊥ y$轴，
∴ $AB = a$，$OB = b$，
由$OC=2AB$，得$OC=2a$，
∵ D为OB的中点，
∴ $OD=BD = \frac{1}{2}OB = \frac{b}{2}$。
直角梯形OBAC的上底为AB=a，下底为OC=2a，高为OB=b，因此：
$S_{\mathrm{梯形}OBAC} = \frac{1}{2} × (AB + OC) × OB = \frac{1}{2} (a + 2a) × b = \frac{3ab}{2}$
同时梯形OBAC的面积也可拆分为三个三角形面积之和：
$S_{\mathrm{梯形}OBAC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC} + S_{△ ODC}$
代入各部分面积：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × BD = \frac{1}{2} × a × \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$
$S_{△ ODC} = \frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × 2a × \frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$
已知$S_{△ ADC}=4$，代入得：
$\frac{3ab}{2} = \frac{ab}{4} + 4 + \frac{ab}{2}$
整理方程：
两边同乘4消去分母：$6ab = ab + 16 + 2ab$
化简得$3ab=16$，即$ab=\frac{16}{3}$
∵ 点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$k=ab=\frac{16}{3}$。
【答案】$\dfrac{16}{3}$
【知识点】反比例函数性质，三角形面积计算，坐标与图形
【点评】本题运用整体代换的核心思想，不需要单独求解点A的横纵坐标，通过面积转化关系直接求出ab的整体值，大幅简化了计算过程，重点考察了同高三角形面积比的性质和割补法求图形面积的技巧，是反比例函数结合面积计算的典型中档题型。
【难度系数】0.4
解题思路：1. 首先利用线段关系AE=3EC，△ADE和△CDE共享从D向AC作的高，同高三角形面积比等于底边长之比，结合已知△ADE面积为3，可快速算出△CDE面积为1，进而得到△ADC的总面积为4。2. 设点A的坐标为(a,b)，由于A在反比例函数y=k/x上，因此k=ab，我们不需要单独求出a、b的具体值，只需要得到ab的整体结果即可。3. 结合已知条件：AB⊥y轴，可得AB长度等于点A的横坐标a，OB长度等于点A的纵坐标b，由OC=2AB得OC=2a，D是OB中点可得OD=BD=b/2。4. 用割补法，直角梯形OBAC的面积可以拆分为△ABD、△ADC、△ODC三个部分的面积之和，代入各部分面积公式列方程，即可直接解出ab的值，也就是k的取值。
【解析】
解：连接DC，
∵ AE=3EC，△ADE与△CDE同高，且$S_{△ ADE}=3$，
∴ $S_{△ CDE} = \frac{1}{3}S_{△ ADE} = 1$，
∴ $S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ CDE} = 3+1=4$。
设点A的坐标为$(a,b)$，
∵ $AB⊥ y$轴，
∴ $AB = a$，$OB = b$，
由$OC=2AB$，得$OC=2a$，
∵ D为OB的中点，
∴ $OD=BD = \frac{1}{2}OB = \frac{b}{2}$。
直角梯形OBAC的上底为AB=a，下底为OC=2a，高为OB=b，因此：
$S_{\mathrm{梯形}OBAC} = \frac{1}{2} × (AB + OC) × OB = \frac{1}{2} (a + 2a) × b = \frac{3ab}{2}$
同时梯形OBAC的面积也可拆分为三个三角形面积之和：
$S_{\mathrm{梯形}OBAC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC} + S_{△ ODC}$
代入各部分面积：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × BD = \frac{1}{2} × a × \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$
$S_{△ ODC} = \frac{1}{2} × OC × OD = \frac{1}{2} × 2a × \frac{b}{2} = \frac{ab}{2}$
已知$S_{△ ADC}=4$，代入得：
$\frac{3ab}{2} = \frac{ab}{4} + 4 + \frac{ab}{2}$
整理方程：
两边同乘4消去分母：$6ab = ab + 16 + 2ab$
化简得$3ab=16$，即$ab=\frac{16}{3}$
∵ 点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$k=ab=\frac{16}{3}$。
【答案】$\dfrac{16}{3}$
【知识点】反比例函数性质，三角形面积计算，坐标与图形
【点评】本题运用整体代换的核心思想，不需要单独求解点A的横纵坐标，通过面积转化关系直接求出ab的整体值，大幅简化了计算过程，重点考察了同高三角形面积比的性质和割补法求图形面积的技巧，是反比例函数结合面积计算的典型中档题型。
【难度系数】0.4
10. 如图, A, B 是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上的两点, A, B 两点的横坐标分别为 1,2, 线段 AB 的延长线交$x$轴于点$C$, 连接$OA$. 若$△ AOC$的面积为 6, 求$k$的值.
答案
过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$,取$CD$的中点$E$,连接$BE$.$\because A,B$是函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的两点,$A,B$两点的横坐标分别为$1,2$,$\therefore$ 在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$中,令$x=1$,则$y=k$;令$x=2$,则$y=\frac{k}{2}$.$\therefore$ 点$A$的坐标为$(1,k)$,点$B$的坐标为$(2,\frac{k}{2})$.$\therefore OD=1$,$AD=k$.$\because$ 点$C$在$x$轴上,即点$C$的纵坐标为$0$,$\therefore$ 易得$B$为$AC$的中点.$\because E$为$CD$的中点,$\therefore BE$为$△ ADC$的中位线,$CE=DE$.$\therefore BE// AD$.$\because AD⊥ x$轴,$\therefore BE⊥ x$轴.$\therefore OE=2$.$\therefore CE=DE=OE-OD=1$.$\therefore OC=3$.$\because △ AOC$的面积为$6$,$\therefore \frac{1}{2}×3k=6$,解得$k=4.$
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，根据反比例函数图像上点的坐标特征，将A、B两点的已知横坐标代入解析式，直接用参数k表示出A、B的坐标；第二步，观察两点纵坐标的数值关系：A的纵坐标为k，B的纵坐标为k/2，恰好是A纵坐标的一半，结合点C在x轴上、纵坐标为0的特点，可以直接判断B是线段AC的中点，无需额外计算直线方程；第三步，过A作x轴的垂线，利用三角形中位线的性质，结合B点的横坐标，推导出OC的总长度；第四步，将OC的长度和A点的纵坐标代入△AOC的面积公式，列出关于k的一元一次方程，解方程即可得到k的值。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$，取$CD$的中点$E$，连接$BE$。
$\because A,B$是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上的两点，且$A,B$两点的横坐标分别为$1,2$，
$\therefore$ 把$x=1$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=k$，即点$A$的坐标为$(1,k)$；
把$x=2$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=\dfrac{k}{2}$，即点$B$的坐标为$(2,\dfrac{k}{2})$。
可得$OD=1$，$AD=k$。
$\because$ 点$C$在$x$轴上，纵坐标为$0$，$A$点纵坐标为$k$，$B$点纵坐标为$\dfrac{k}{2}$，
$\therefore B$恰好是线段$AC$的中点。
又$\because E$为$CD$的中点，
$\therefore BE$是$△ ADC$的中位线，可得$BE// AD$，结合$AD⊥ x$轴，得$BE⊥ x$轴。
$\because B$点横坐标为$2$，即$OE=2$，
$\therefore DE=OE-OD=2-1=1$，则$CD=2DE=2$，
$\therefore OC=OD+CD=1+2=3$。
已知$△ AOC$的面积为$6$，代入三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC× AD=\dfrac{1}{2}×3× k=6$，
解得$k=4$。
【答案】
$k=4$
【知识点】
反比例函数坐标特征，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的中档题型，没有要求通过求直线解析式推导点C坐标，而是引导学生观察坐标数值特征发现中点关系，利用中位线性质大幅简化运算，避免了复杂的代数推导，能够有效考察学生对反比例函数性质和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，根据反比例函数图像上点的坐标特征，将A、B两点的已知横坐标代入解析式，直接用参数k表示出A、B的坐标；第二步，观察两点纵坐标的数值关系：A的纵坐标为k，B的纵坐标为k/2，恰好是A纵坐标的一半，结合点C在x轴上、纵坐标为0的特点，可以直接判断B是线段AC的中点，无需额外计算直线方程；第三步，过A作x轴的垂线，利用三角形中位线的性质，结合B点的横坐标，推导出OC的总长度；第四步，将OC的长度和A点的纵坐标代入△AOC的面积公式，列出关于k的一元一次方程，解方程即可得到k的值。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$，取$CD$的中点$E$，连接$BE$。
$\because A,B$是函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上的两点，且$A,B$两点的横坐标分别为$1,2$，
$\therefore$ 把$x=1$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=k$，即点$A$的坐标为$(1,k)$；
把$x=2$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=\dfrac{k}{2}$，即点$B$的坐标为$(2,\dfrac{k}{2})$。
可得$OD=1$，$AD=k$。
$\because$ 点$C$在$x$轴上，纵坐标为$0$，$A$点纵坐标为$k$，$B$点纵坐标为$\dfrac{k}{2}$，
$\therefore B$恰好是线段$AC$的中点。
又$\because E$为$CD$的中点，
$\therefore BE$是$△ ADC$的中位线，可得$BE// AD$，结合$AD⊥ x$轴，得$BE⊥ x$轴。
$\because B$点横坐标为$2$，即$OE=2$，
$\therefore DE=OE-OD=2-1=1$，则$CD=2DE=2$，
$\therefore OC=OD+CD=1+2=3$。
已知$△ AOC$的面积为$6$，代入三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OC× AD=\dfrac{1}{2}×3× k=6$，
解得$k=4$。
【答案】
$k=4$
【知识点】
反比例函数坐标特征，三角形中位线定理，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的中档题型，没有要求通过求直线解析式推导点C坐标，而是引导学生观察坐标数值特征发现中点关系，利用中位线性质大幅简化运算，避免了复杂的代数推导，能够有效考察学生对反比例函数性质和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
11. 如图,在$□ ABCD$中,点$A$的坐标为$(0,2),AD// x$轴,$BC$交$y$轴于点$E$,顶点$C$的纵坐标为$-4$,$□ ABCD$的面积是$24$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B$,$D$.求:
(1) 反比例函数的表达式.
(2)$AB$所在直线对应的函数表达式.
(1) 反比例函数的表达式.
(2)$AB$所在直线对应的函数表达式.
答案
(1) $\because AD// x$轴,$\therefore AD⊥ y$轴,即$AD⊥ AE$.$\because$ 点$A$的坐标为$(0,2)$,点$C$的纵坐标为$-4$,$\therefore$ 在$□ ABCD$中,对边$AD$与$BC$之间的距离$AE=2-(-4)=6$.$\because S_{□ ABCD}=AD· AE=24$,$\therefore AD=4$.$\therefore$ 易知点$D$的坐标为$(4,2)$.又$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$D$,$\therefore k=4×2=8$.$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2) $\because$ 点$B$在该反比例函数的图象上,且当$y=-4$时,$-4=\frac{8}{x}$,解得$x=-2$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-2,-4)$.设$AB$所在直线对应的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$.把$A(0,2)$,$B(-2,-4)$代入,得$\begin{cases}n=2,\\-2m+n=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=3,\\n=2.\end{cases}$ $\therefore AB$所在直线对应的函数表达式为$y=3x+2.$
(2) $\because$ 点$B$在该反比例函数的图象上,且当$y=-4$时,$-4=\frac{8}{x}$,解得$x=-2$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-2,-4)$.设$AB$所在直线对应的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$.把$A(0,2)$,$B(-2,-4)$代入,得$\begin{cases}n=2,\\-2m+n=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=3,\\n=2.\end{cases}$ $\therefore AB$所在直线对应的函数表达式为$y=3x+2.$
解析
【分析】
我们可以按照从几何性质到函数求解的思路逐步推导：
1. 解第一问时，首先利用平行四边形对边平行的性质，由AD//x轴推出BC也平行x轴，结合点A纵坐标为2、点C纵坐标为-4，直接算出平行四边形AD边上的高为2 - (-4)=6。已知平行四边形面积为24，根据平行四边形面积=底×高，就能算出底边长AD=24÷6=4。再结合AD//x轴、A点坐标(0,2)，得到D点纵坐标和A相同为2，横坐标为0+4=4，得到D点坐标后代入反比例函数通式即可求出k值，得到反比例函数表达式。
2. 解第二问时，点B在BC边上，因此B点纵坐标为-4，代入已求出的反比例函数就能算出B点的横坐标，得到B点完整坐标后，使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数通式，解方程组即可得到AB对应的函数表达式。
【解析】
(1) 已知AD//x轴，因此AD⊥y轴，即AD⊥AE。
由点A坐标为(0,2)，点C的纵坐标为-4，可得平行四边形ABCD中AD与BC两条对边的距离为：
$AE=2 - (-4)=6$
根据平行四边形面积公式$S_{□ ABCD}=AD· AE=24$，代入AE=6得：
$AD=\frac{24}{6}=4$
因为AD//x轴，A点坐标为(0,2)，所以D点纵坐标为2，横坐标为0+4=4，即D(4,2)。
将D(4,2)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 点B在BC边上，因此B点纵坐标为-4，将y=-4代入$y=\frac{8}{x}$得：
$-4=\frac{8}{x}$，解得x=-2，即点B坐标为(-2,-4)。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将A(0,2)、B(-2,-4)代入得方程组：
$\begin{cases}n=2\\-2m+n=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$，因此AB所在直线的函数表达式为$y=3x+2$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$；(2) AB所在直线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+2}$。
【知识点】
平行四边形面积，反比例函数解析式，待定系数法求一次函数
【点评】
本题是平行四边形与函数结合的基础综合题型，核心考察几何性质与坐标特征的转化，先通过平行四边形的面积公式快速得到关键点D的坐标，后续依次用待定系数法求解两类函数解析式，整体解题逻辑连贯，属于反比例函数章节的常规考察题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
我们可以按照从几何性质到函数求解的思路逐步推导：
1. 解第一问时，首先利用平行四边形对边平行的性质，由AD//x轴推出BC也平行x轴，结合点A纵坐标为2、点C纵坐标为-4，直接算出平行四边形AD边上的高为2 - (-4)=6。已知平行四边形面积为24，根据平行四边形面积=底×高，就能算出底边长AD=24÷6=4。再结合AD//x轴、A点坐标(0,2)，得到D点纵坐标和A相同为2，横坐标为0+4=4，得到D点坐标后代入反比例函数通式即可求出k值，得到反比例函数表达式。
2. 解第二问时，点B在BC边上，因此B点纵坐标为-4，代入已求出的反比例函数就能算出B点的横坐标，得到B点完整坐标后，使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数通式，解方程组即可得到AB对应的函数表达式。
【解析】
(1) 已知AD//x轴，因此AD⊥y轴，即AD⊥AE。
由点A坐标为(0,2)，点C的纵坐标为-4，可得平行四边形ABCD中AD与BC两条对边的距离为：
$AE=2 - (-4)=6$
根据平行四边形面积公式$S_{□ ABCD}=AD· AE=24$，代入AE=6得：
$AD=\frac{24}{6}=4$
因为AD//x轴，A点坐标为(0,2)，所以D点纵坐标为2，横坐标为0+4=4，即D(4,2)。
将D(4,2)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 点B在BC边上，因此B点纵坐标为-4，将y=-4代入$y=\frac{8}{x}$得：
$-4=\frac{8}{x}$，解得x=-2，即点B坐标为(-2,-4)。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将A(0,2)、B(-2,-4)代入得方程组：
$\begin{cases}n=2\\-2m+n=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$，因此AB所在直线的函数表达式为$y=3x+2$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$；(2) AB所在直线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x+2}$。
【知识点】
平行四边形面积，反比例函数解析式，待定系数法求一次函数
【点评】
本题是平行四边形与函数结合的基础综合题型，核心考察几何性质与坐标特征的转化，先通过平行四边形的面积公式快速得到关键点D的坐标，后续依次用待定系数法求解两类函数解析式，整体解题逻辑连贯，属于反比例函数章节的常规考察题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
