1. (教材例题变式)【新情境】(2024·贵州) 如图,在扇形纸扇中,若$∠ AOB=150°$,$OA=24$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为（）

A.$30π$
B.$25π$
C.$20π$
D.$10π$

1. C 解析:
∵∠AOB=150°, OA=24,
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{150×π×24}{180}=20π$.

【分析】
要求扇形$\overset{\frown}{AB}$的长，需运用弧长计算公式：弧长$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是扇形的圆心角度数，$r$是扇形的半径。题目已给出圆心角$∠ AOB=150°$，半径$OA=24$，将对应数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{nπ r}{180}=\frac{150×π×24}{180}=20π$
【答案】
C
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题考查弧长公式的直接应用，属于基础题型，只需牢记弧长公式，代入对应数值计算即可，难度较低，主要考查学生对基础公式的掌握情况。
【难度系数】
0.6

2. 【新情境】(2025·湖南) 如图,北京市某处 $A$ 位于北纬 $40°$(即 $∠ AOC=40°$), 东经 $116°$, 三沙市海域某处 $B$ 位于北纬 $15°$(即 $∠ BOC=15°$), 东经 $116°$. 设地球的半径约为 $R\ \mathrm{km}$, 则在东经$116°$所在经线圈上的点 $A$ 和点 $B$ 之间的劣弧长约为
（）

A.$\dfrac{5}{72}π R\ \mathrm{km}$
B.$\dfrac{1}{12}π R\ \mathrm{km}$
C.$\dfrac{5}{36}π R\ \mathrm{km}$
D.$\dfrac{2}{9}π R\ \mathrm{km}$

2. C 解析:
∵∠AOC=40°,∠BOC=15°,
∴∠AOB=∠AOC−∠BOC=40°−15°=25°,
∴$\overset{\frown}{AB}$的长约为$\frac{25}{360}×2πR=\frac{5}{36}πR$(km).

【分析】
要计算A、B两点间的劣弧长，首先明确A、B在同一经线上，它们对应的圆心角是北纬度数的差值；再利用弧长公式，结合圆心角计算劣弧长度即可。
【解析】
1. 计算A、B两点对应的圆心角：已知∠AOC=40°，∠BOC=15°，则∠AOB=∠AOC−∠BOC=40°−15°=25°；
2. 利用弧长公式计算劣弧长：圆的周长为2πR，劣弧长等于圆心角度数占360°的比例乘以周长，即$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{25}{360}×2πR=\frac{5}{36}πR\ \mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式、经纬度与圆心角
【点评】
本题结合地理经纬度考查弧长计算，核心是确定两点间的圆心角，属于跨学科基础题，需掌握弧长公式的应用。
【难度系数】
0.3

3. (1)已知扇形的圆心角为$80^{\circ }$,半径为3 cm,则这个扇形的面积是$\mathrm{cm}^{2}.$

3. (1)2π 解析:扇形的面积为$\frac{80π×3^2}{360}=2π$(cm²).

【分析】首先回忆扇形面积的计算公式，当圆心角为角度制时，扇形面积公式为$ S = \frac{nπ r^2}{360} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）；接下来将题目中给出的圆心角$ n=80° $、半径$ r=3\ \mathrm{cm} $代入公式，进行计算即可得到结果。
【解析】根据扇形面积公式，代入$ n=80° $，$ r=3\ \mathrm{cm} $，可得：
$ S = \frac{80π × 3^2}{360} = \frac{80π × 9}{360} = \frac{720π}{360} = 2π\ (\mathrm{cm}^2) $
【答案】$ 2π $
【知识点】扇形面积计算
【点评】本题直接考查扇形面积公式的应用，属于基础题型，只需牢记公式并准确代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7

(2)已知扇形的圆心角是$120^{\circ }$,扇形弧长是$20π$,则扇形的半径为.

3. (2)30 解析:设扇形的半径为r, $20π=\frac{120πr}{180}$,解得r=30.

【分析】要计算扇形的半径，需利用扇形弧长公式。已知扇形的圆心角度数和弧长，设半径为$ r $，将已知的圆心角、弧长代入弧长公式，通过解方程即可求出半径。
【解析】设扇形的半径为$ r $，根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数），代入已知条件$ l=20π $，$ n=120° $，可得：
$ 20π=\frac{120π r}{180} $
两边同时除以$ π $，化简得：$ 20=\frac{2r}{3} $
两边同乘3得：$ 60=2r $
解得：$ r=30 $
【答案】30
【知识点】扇形弧长公式
【点评】本题考查扇形弧长公式的基本应用，属于基础题型，直接代入公式解方程即可，主要检验对弧长公式的掌握情况。
【难度系数】0.8

4. (1)已知扇形的半径为4,面积为4,则该扇形的弧长为.
(2)若扇形的圆心角为$30°$,面积为$\dfrac{π}{3}\ \mathrm{cm}^{2}$,则它的半径为cm.
(3)一个扇形的弧长是$10π\ \mathrm{cm}$,面积是$60π\ \mathrm{cm}^{2}$,则此扇形的圆心角的度数是.

4. (1)2 解析:
∵$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$,即$4=\frac{1}{2}l×4$,
∴l=2.
(2)2 解析:设扇形的半径为r cm.
∵扇形的圆心角为30°,面积为$\frac{π}{3}$ cm²,
∴$\frac{30π×r^2}{360}=\frac{π}{3}$,解得$r_1=2,r_2=-2$(负值舍去).
(3)150° 解析:
∵一个扇形的弧长是10π cm,面积是60π cm²,
∴$S=\frac{1}{2}Rl$,即$60π=\frac{1}{2}×R×10π$,解得R=12,
∴$S=60π=\frac{nπ×12^2}{360}$,解得n=150.

【分析】本题围绕扇形的相关计算展开，核心是运用扇形的面积公式和弧长公式解题。对于每个小问，需先明确已知条件，再选择合适的公式代入计算，注意半径、弧长等量为正数，需舍去不合理的负值，逐步推导即可得到结果。
【解析】
(1) 已知扇形半径$ R=4 $，面积$ S=4 $，根据扇形面积公式$ S_{扇形}=\frac{1}{2}lR $，代入得：$ 4=\frac{1}{2} × l × 4 $，解得弧长$ l=2 $。
(2) 设扇形半径为$ r \, \mathrm{cm} $，已知圆心角$ n=30° $，面积$ S=\frac{π}{3} \, \mathrm{cm}^2 $，根据扇形面积公式$ S=\frac{nπ r^2}{360} $，代入得：$ \frac{30π r^2}{360}=\frac{π}{3} $，化简得$ \frac{π r^2}{12}=\frac{π}{3} $，两边同除以$ π $得$ r^2=4 $，舍去负值，得$ r=2 \, \mathrm{cm} $。
(3) 已知弧长$ l=10π \, \mathrm{cm} $，面积$ S=60π \, \mathrm{cm}^2 $，先用公式$ S=\frac{1}{2}Rl $求半径$ R $，代入得：$ 60π=\frac{1}{2} × R × 10π $，解得$ R=12 \, \mathrm{cm} $；再用公式$ S=\frac{nπ R^2}{360} $求圆心角度数$ n $，代入得：$ 60π=\frac{nπ × 12^2}{360} $，化简得$ 60=\frac{144n}{360} $，解得$ n=150° $。
【答案】(1)2；(2)2；(3)150°
【知识点】扇形面积公式、弧长公式
【点评】本题是扇形相关计算的基础题，主要考查对扇形面积公式和弧长公式的掌握与灵活运用，解题时需根据已知条件选择对应公式，注意实际意义（如半径为正），难度不大，属于基础题型。
【难度系数】0.5

5. (2025·成都)如图，$\odot O$的半径为1，A、B、C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为.

5. $\frac{π}{6}$
解析:如图,连接OB.
∵四边形OABC为平行四边形,OA=OC,
∴□OABC是菱形,$S_{△ABC}=S_{△OAB}$,
∴OA=OB=AB,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形AOB}=\frac{60}{360}π×1^2=\frac{π}{6}$.

【分析】要计算阴影部分面积，需结合圆的性质、平行四边形与菱形的关系，通过等积转换将不规则阴影面积转化为规则图形的面积。首先，由圆的半径相等和平行四边形邻边相等推出四边形OABC是菱形；连接OB后，利用菱形性质和半径相等得到等边三角形，求出圆心角，再将阴影面积转化为扇形面积，最后用扇形公式计算。
【解析】连接OB。
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OC=1。
又
∵四边形OABC为平行四边形，且OA=OC，
∴平行四边形OABC是菱形，故AB=OA=OB=1，且S△ABC=S△OAB，
∴△AOB是等边三角形，因此∠AOB=60°，
则S阴影部分=S扇形AOB=$\frac{60}{360}×π×1^2=\frac{π}{6}$。
【答案】$\frac{π}{6}$
【知识点】扇形面积计算，菱形的判定，等边三角形的判定
【点评】本题通过等积转换简化阴影面积计算，核心是利用平行四边形与菱形的关系，结合圆的半径性质求出圆心角，考查几何图形的转化能力和扇形面积公式的应用。
【难度系数】0.5

6. (2025·青海) 如图,线段 AB 经过圆心 O,交$\odot O$于点 A、C,AD 为$\odot O$的弦,连接 BD,$∠ A=∠ B=30°.$
(1)求证:直线 BD 是$\odot O$的切线.
(2)已知 $BC=2$,求$\overset{\frown}{DC}$的长.(结果保留$π$)

6. (1)证明:如图,连接OD.
∵∠A=∠B=30°,
∴∠BOD=2∠A=60°,
∴∠ODB=180°−∠B−∠BOD=90°,
∴BD⊥OD.
∵OD是⊙O的半径,
∴直线BD是⊙O的切线.
(2)
∵∠ODB=90°,∠B=30°,OD=OC,
∴OB=2OD=2OC.
∵BC=OB−OC=2OC−OC=OC,且BC=2,
∴OC=2.
∵∠COD=60°,
∴$\overset{\frown}{DC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$.

【分析】
(1) 要证明直线BD是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明BD垂直于过切点的半径，因此连接OD，利用圆周角定理和三角形内角和，推导OD与BD垂直即可；
(2) 求弧DC的长，需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，需先确定圆心角∠COD和半径r，结合直角三角形中30°角的性质，结合已知BC=2求出半径，再代入弧长公式计算。
【解析】
(1) 证明：连接OD。
∵ OA=OD（⊙O的半径相等），
∴ ∠A=∠ADO=30°，
∴ ∠BOD=∠A + ∠ADO=60°（三角形外角性质）。
在△ODB中，∠B=30°，∠BOD=60°，
∴ ∠ODB=180°−∠B−∠BOD=90°，即OD⊥BD。
∵ OD是⊙O的半径，
∴ 直线BD是⊙O的切线。
(2) 解：由(1)知∠ODB=90°，在Rt△ODB中，∠B=30°，
∴ OB=2OD（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半）。
∵ OD=OC（⊙O的半径相等），
∴ OB=2OC。
又
∵ OB=OC + BC，BC=2，
∴ 2OC = OC + 2，解得OC=2，即⊙O的半径r=2。
由(1)知∠COD=60°，根据弧长公式，
$\overset{\frown}{DC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 直线BD是⊙O的切线；(2) $\frac{2π}{3}$

【知识点】
切线的判定、弧长的计算、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查切线判定和弧长计算，解题关键是连接半径构造直角三角形，利用圆周角定理和直角三角形性质推导，难度适中，需掌握圆的相关性质和公式。
【难度系数】
0.5