9. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, BC=4, AC=3$, 将 $△ ABC$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转得 $△ A'BC'$, 若点 $C'$ 在 $AB$ 上, 则 $AA'$ 的长为（）

A.$\sqrt{10}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$

A 【解析】因为将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转得$△ A'BC'$,所以$∠ A'C'B=∠ C=90°,A'C'=AC=3,BC'=BC=4$。根据勾股定理,得$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=5$,所以$AC'=AB-BC'=1$。在$\mathrm{Rt}△ AA'C'$中,由勾股定理,得$AA'=\sqrt{AC'^2+A'C'^2}=\sqrt{10}$。故选A。

10. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF=2,点P在边AD上运动(不与点A,D重合),连结点P与AC的中点O并延长交BC于点Q,连结PE,PF,QE,QF。在点P从点D运动到点A的整个过程中,四边形PEQF的形状变化依次是 ()

A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

C

11.若一个多边形的内角和为$360°$,则这个多边形的边数为。

4

12.若$x=2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4x + a = 0$的一个解，则$a$的值为________。

-12

13.观察下列各式:① $\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；② $\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
③ $\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})}=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；④ $\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$；…,则第7个等式为________。

$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$

14. 两组数据$m,6,n$与$1,m,2n,7$的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的上四分位数为________。

8

15. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$AB=4$,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$边的中点,点$F$在$BC$的延长线上,$CF=\frac{1}{2}BC$,若$CF=3$,则$EF$的长为________。

$4\sqrt{2}$ 【解析】如图,连结$DE,CD$。因为$D,E$分别是$AB,AC$边的中点,$AB=4$,所以$DE$是$△ ABC$的中位线,$BD=2$。所以$DE=\dfrac{1}{2}BC,DE// BC$。因为$CF=\dfrac{1}{2}BC,CF=3$,所以$DE=CF,BC=6$。所以四边形$DCFE$为平行四边形。所以$EF=CD$。因为$CA=CB,D$是$AB$的中点,所以$CD⊥ AB$。所以$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。所以$EF=4\sqrt{2}$。

16. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$D$是边$BC$上一点,将$△ ABD$沿直线$AD$折叠,点$B$的对应点为点$B'$,当$B'D$平行于$△ ABC$的一条边时,$BD$的长为$\underline{\hspace{5em}}$。

1或3 【解析】如图1,当$B'D// AC$时,设$AB'$交$BC$于点$E$,则$∠ CAE=∠ B'$。因为$∠ BAC=90°,AB=3,AC=4$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,∠ B+∠ C=90°$。由折叠的性质得$△ ABD≌△ AB'D$,所以$∠ B=∠ B',B'D=BD,AB'=AB=3$。所以$∠ CAE=∠ B$。所以$∠ AEB=∠ CAE+∠ C=∠ B+∠ C=90°$。所以$∠ B'ED=90°,AE⊥ BC$。所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×5× AE=\dfrac{1}{2}×3×4$,解得$AE=\dfrac{12}{5}$。所以$B'E=AB'-AE=3-\dfrac{12}{5}=\dfrac{3}{5},BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{3^2-(\dfrac{12}{5})^2}=\dfrac{9}{5}$。所以$DE=\dfrac{9}{5}-BD$。因为$DE^2+B'E^2=B'D^2$,所以$(\dfrac{9}{5}-BD)^2+(\dfrac{3}{5})^2=BD^2$,解得$BD=1$。如图2,当$B'D// AB$时,$∠ BAD=∠ B'DA$。由折叠的性质得$∠ BDA=∠ B'DA$,所以$∠ BAD=∠ BDA$。所以$BD=AB=3$。因为点$D$在$BC$上,所以不存在$B'D// BC$的情况。综上所述,$BD$的长为1或3。