10.一个两位数，将其个位数字与十位数字对调，所得的新数与原数的差一定 （）

A.能被2整除
B.能被6整除
C.能被9整除
D.能被11整除

10.C

【分析】
解决这类数位对调的问题，首先要明确两位数的表示方法：十位数字×10 + 个位数字。我们可以先分别设出原数的十位和个位数字，根据数位的计数意义写出原数和对调后的新数，再计算两个数的差，最后根据差的表达式判断整除特性即可。
【解析】
设原两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$（$a$为1~9的整数，$b$为0~9的整数），
则原数为$10a + b$，对调后的新数为$10b + a$。
计算两数的差：
若新数减原数：$(10b + a) - (10a + b) = 10b + a - 10a - b = 9b - 9a = 9(b - a)$；
若原数减新数：$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$。
两种情况的差都是9的整数倍，因此所得的新数与原数的差一定能被9整除。
【答案】
C
【知识点】
两位数的表示；整式的加减；整除判定
【点评】
本题是数位相关的典型基础题，解题核心是掌握数位的计数意义，用字母正确表示出原数和对调后的新数，通过整式的去括号、合并同类项运算得到差的形式，即可快速判断整除特性。
【难度系数】
0.8

11.(数形结合法)已知$a,b,c$是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，化简$|a-b|+|c-a|-|b+c|$的结果为（）


A.$2c-2b$
B.$-2a$
C.$2a$
D.$-2b$

11.C

【分析】
解决这类数轴结合绝对值化简的问题，首先要通过数轴确定各有理数的大小关系和正负性，其次判断每个绝对值内部代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后通过去括号、合并同类项得出化简结果。
第一步：观察数轴可知$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$；第二步：判断各绝对值内式子的正负：$a$是正数，$b$是负数，所以$a - b ＞ 0$；$c$是负数，$a$是正数，所以$c - a ＜ 0$；$b$和$c$都是负数，所以$b + c ＜ 0$；第三步：根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值，再合并同类项即可。
【解析】
由数轴可得：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$
因此：
$a - b ＞ 0$，$c - a ＜ 0$，$b + c ＜ 0$
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{aligned}|a-b|+|c-a|-|b+c|&=(a-b)+[-(c-a)] - [-(b+c)]\\&=a - b - c + a + b + c\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数形结合类的典型题型，解题核心是利用数轴准确判断绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质完成化简，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是计算正确的保障。
【难度系数】
0.7

12.(新定义)对于任意有理数$a,b,c,d$,我们规定：$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad - bc$,则$\begin{vmatrix} x-1&-1 \\ x+2&3 \end{vmatrix}=$ ______ .

12.$4x-1$

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解题目给出的二阶行列式的运算规则，即$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$等于左上元素a和右下元素d的乘积，减去右上元素b和左下元素c的乘积；第二步将题目中行列式的四个元素对应到规则里的a、b、c、d，即$a=x-1$，$b=-1$，$c=x+2$，$d=3$，代入运算公式；第三步按照整式去括号、合并同类项的法则计算出最终结果，计算时要注意去括号的符号变化。
【解析】
根据题中规定的运算规则可得：
$\begin{vmatrix} x-1&-1 \\ x+2&3 \end{vmatrix}=(x-1)×3 - (-1)×(x+2)$
先计算乘法：
$=3(x-1)+1×(x+2)$
再去括号：
$=3x - 3 + x + 2$
最后合并同类项：
$=4x - 1$
【答案】
$4x-1$
【知识点】
新定义运算、去括号、合并同类项
【点评】
本题核心考查对新定义运算的理解能力和整式的化简计算能力，解题的关键是准确匹配新定义中的对应参数，去括号时要注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

13.先化简，再求值：
(1)$2(x^2 - xy) - x^2y + 2xy$，其中$x=-1$，$y=1$；
(2)$5x^2 - [2xy - 3(\frac{1}{3}xy + 2) + 5x^2]$，其中$x=4$，$y=-\frac{1}{2}$。

13.(1)解:原式$=2x^2-2xy-x^2y+2xy=2x^2-x^2y$.当$x=-1,y=1$时,原式$=2×(-1)^2-(-1)^2×1=1.$
(2)解:原式$=5x^2-(2xy-xy-6+5x^2)=-xy+6$.当$x=4,y=-\frac{1}{2}$时,原式$=-4×(-\frac{1}{2})+6=8.$

【分析】
这两道题属于整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，后代值”的思路，可降低计算错误率：
1. 第(1)题先利用乘法分配律去掉小括号，再识别合并同类项，得到最简整式后代入x、y的数值计算即可；
2. 第(2)题含有多层括号，按照“先去小括号，再去中括号”的顺序去括号，去括号时注意括号前若为负号，括号内每一项都要变号，合并同类项得到最简整式后，再代入数值计算。
【解析】
(1) 去括号得：
原式$=2x^2 - 2xy - x^2y + 2xy$
合并同类项，$-2xy$与$+2xy$抵消，得最简式：
原式$=2x^2 - x^2y$
将$x=-1$，$y=1$代入最简式：
原式$=2×(-1)^2 - (-1)^2×1 = 2×1 - 1×1 = 1$
(2) 先去小括号，计算括号内乘法：
原式$=5x^2 - [2xy - xy - 6 + 5x^2]$
再去中括号，括号前为负号，括号内各项变号：
原式$=5x^2 - 2xy + xy + 6 - 5x^2$
合并同类项，$5x^2$与$-5x^2$抵消，$-2xy+xy=-xy$，得最简式：
原式$=-xy + 6$
将$x=4$，$y=-\frac{1}{2}$代入最简式：
原式$=-4×(-\frac{1}{2}) + 6 = 2 + 6 = 8$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考察去括号的符号处理规则和同类项合并方法，先化简再代值的思路能大幅减少计算量，降低出错概率，是整式运算的基础技能。
【难度系数】
0.7

14.两种长方形塑钢窗框如图所示,已知窗框的高都是x m,窗框的宽都是y m,若一用户装修房屋,需要甲型窗框3个,乙型窗框2个.
(1)该用户共需要m塑钢;(用含x,y的式子表示)
(2)若1m塑钢的平均费用为120元,求当x=1.8,y=1.5时,该用户所需塑钢的总费用为多少元?

14.(1)$(10x+13y)$
(2)解:当$x=1.8,y=1.5$时,$120(10x+13y)=120×(10×1.8+13×1.5)=4500$.答:该用户所需塑钢的总费用为4500元.

【分析】
(1) 求解总塑钢长度时，先分别计算单个甲型、乙型窗框的塑钢长度：观察甲型窗框，竖边共2条，每条长x m，横边共3条（外框2条+中间分隔的1条），每条长y m，可得单个甲型窗框长度为$2x+3y$；观察乙型窗框，竖边共2条，每条长x m，横边共2条，每条长y m，可得单个乙型窗框长度为$2x+2y$。再分别乘以对应数量3和2，展开后合并同类项即可得到总长度的代数式。
(2) 计算总费用时，先将$x=1.8$、$y=1.5$代入(1)得到的代数式算出塑钢总长度，再乘以每米的费用120元，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 单个甲型窗框所需塑钢长度：$2x+3y$（m）
单个乙型窗框所需塑钢长度：$2x+2y$（m）
3个甲型和2个乙型的总塑钢长度：
$\begin{aligned}&3(2x+3y)+2(2x+2y)\\=&6x+9y+4x+4y\\=&10x+13y\end{aligned}$
(2) 当$x=1.8$，$y=1.5$时，总费用为：
$\begin{aligned}&120×(10x+13y)\\=&120×(10×1.8+13×1.5)\\=&120×(18+19.5)\\=&120×37.5\\=&4500\end{aligned}$
答：该用户所需塑钢的总费用为4500元。
【答案】
(1) $(10x+13y)$
(2) 4500元
【知识点】
列代数式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查整式的应用，解题核心是准确计数单个窗框的总边长，再根据数量关系列代数式、代入数值计算，计算时注意运算顺序，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8

15.(新考法)阅读下列材料:
为了简化计算,提高计算速度,我们在日常的加减运算中,通常会利用运算律来计算较长且繁杂的式子.例如计算$1+2+3+4+5+\dots+99+100$时,我们可以运用加法的运算律来简化计算,即$1+2+3+4+5+\dots+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\dots+(50+51)=101×50=5050$.
请你根据阅读材料给出的方法计算:
(1)$a+(a+m)+(a+2m)+(a+3m)+\dots+(a+100m)$;
(2)$(m+3m+5m+\dots+2023m)-(2m+4m+6m+\dots+2024m)$.

15.(1)解:原式$=101a+(m+2m+3m+\dots+100m)=101a+(m+100m)+(2m+99m)+(3m+98m)+\dots+(50m+51m)=101a+101m×50=101a+5050m.$
(2)原式$=(m-2m)+(3m-4m)+(5m-6m)+\dots+(2023m-2024m)=-m×1012=-1012m.$

【分析】
本题是材料类简便计算题，解题思路如下：
（1）先观察式子结构，先提取所有的a，数出a的总个数，再将剩余含m的项按照材料给出的首尾配对法分组求和，每组和相等，算出组数即可求出m部分的总和，最后合并两部分结果即可。
（2）可先去括号，再将相邻的奇系数m和偶系数m两两分组，每组计算结果相同，算出总组数后即可快速求出结果，避免分别计算两个括号的和，大幅简化计算。
【解析】
(1) 先合并所有含a的项：观察式子，从第一个项$a$到最后一个项$(a+100m)$，共有101个$a$，因此$a$的总和为$101a$，剩余含$m$的项为$m+2m+3m+\dots+100m$。
按照材料的配对方法：将首项和末项配对，第二项和倒数第二项配对，即$(m+100m)+(2m+99m)+(3m+98m)+\dots+(50m+51m)$，每对的和为$101m$，共50组，因此$m$部分的总和为$101m × 50 = 5050m$。
因此原式$=101a + 5050m$。
(2) 先去括号，再将相邻两项分组：
原式$=m+3m+5m+\dots+2023m - 2m - 4m - 6m - \dots - 2024m$
分组得：$(m-2m)+(3m-4m)+(5m-6m)+\dots+(2023m-2024m)$
每组的结果为$-m$，从1到2024共有2024个数，每两个数为一组，总组数为$2024 ÷ 2 = 1012$组，因此原式$=-m × 1012 = -1012m$。
【答案】
(1) $101a+5050m$
(2) $-1012m$
【知识点】
整式加减运算、分组简便计算、加法运算律应用
【点评】
本题属于阅读迁移类题目，重点考查对材料中简便计算方法的理解和迁移运用能力，解题核心是通过合理分组简化计算，需注意准确计数项数和分组数量，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.7