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11.在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{12}$
答案
11.A
解析
【分析】
首先要明确缩印前后的两个三角形是相似图形，相似图形的对应边成比例，这个比例就是相似比。而相似三角形的周长之比等于相似比，所以我们先计算两个三角形的相似比，就能直接得到周长的比值关系。
【解析】
解：
∵ 缩印前后的两个三角形是相似三角形，
∴ 两个三角形的相似比 $ k = \frac{\mathrm{缩印后对应边长度}}{\mathrm{原图对应边长度}} = \frac{2\mathrm{cm}}{6\mathrm{cm}} = \frac{1}{3} $。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 缩印出的三角形的周长与原三角形周长的比为 $ \frac{1}{3} $，即缩印出的三角形周长是原图周长的 $ \frac{1}{3} $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似图形的判定，相似三角形周长性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是判断出缩印前后图形为相似图形，再结合周长比等于相似比的性质快速得出答案，掌握相似基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先要明确缩印前后的两个三角形是相似图形，相似图形的对应边成比例，这个比例就是相似比。而相似三角形的周长之比等于相似比，所以我们先计算两个三角形的相似比，就能直接得到周长的比值关系。
【解析】
解：
∵ 缩印前后的两个三角形是相似三角形，
∴ 两个三角形的相似比 $ k = \frac{\mathrm{缩印后对应边长度}}{\mathrm{原图对应边长度}} = \frac{2\mathrm{cm}}{6\mathrm{cm}} = \frac{1}{3} $。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 缩印出的三角形的周长与原三角形周长的比为 $ \frac{1}{3} $，即缩印出的三角形周长是原图周长的 $ \frac{1}{3} $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似图形的判定，相似三角形周长性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是判断出缩印前后图形为相似图形，再结合周长比等于相似比的性质快速得出答案，掌握相似基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
第12题图 第13题图
$\frac{1}{4}$
。第12题图 第13题图
答案
12.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先利用相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，结合已知M、N是对应边的中点，可知AM、AN是两个相似三角形的对应中线，由此可先求出两个三角形的相似比；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应中线性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别对应中线，牢记相似比和面积比的关系，熟练掌握性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，结合已知M、N是对应边的中点，可知AM、AN是两个相似三角形的对应中线，由此可先求出两个三角形的相似比；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应中线性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别对应中线，牢记相似比和面积比的关系，熟练掌握性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
13.(内蒙古自治区中考)如图,在菱形ABCD中,$AB=4\sqrt{5}$,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连结EF.若$BF=3$,则EF的长为
$\sqrt{85}$
.答案
13.$\sqrt{85}$
解析
【分析】
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接对角线AC、BD交于点O，构造直角三角形用勾股定理求出对角线AC一半的长度。我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：将对角线交点O作为原点，BD放在x轴、AC放在y轴上，先确定各顶点坐标，再根据中点性质求出E点坐标，结合BF的长度得到F点坐标，最后用两点间距离公式即可算出EF的长度。
【解析】
连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=8$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$OB=8$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
则$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵$BF=3$，F在BD上，
∴F点坐标为$(-8+3,0)$，即$F(-5,0)$。
根据两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(4-(-5))^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查菱形性质和勾股定理的应用，通过建立平面直角坐标系可简化线段长度的计算，解题核心是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，准确确定各点坐标。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，连接对角线AC、BD交于点O，构造直角三角形用勾股定理求出对角线AC一半的长度。我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：将对角线交点O作为原点，BD放在x轴、AC放在y轴上，先确定各顶点坐标，再根据中点性质求出E点坐标，结合BF的长度得到F点坐标，最后用两点间距离公式即可算出EF的长度。
【解析】
连接AC，交BD于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=8$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=4\sqrt{5}$，$OB=8$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4$。
以O为原点，BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
则$B(-8,0)$，$D(8,0)$，$A(0,4)$。
∵E是AD的中点，
∴E点坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{4+0}{2})$，即$E(4,2)$。
∵$BF=3$，F在BD上，
∴F点坐标为$(-8+3,0)$，即$F(-5,0)$。
根据两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(4-(-5))^2+(2-0)^2}=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\sqrt{85}$。
【答案】
$\sqrt{85}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题综合考查菱形性质和勾股定理的应用，通过建立平面直角坐标系可简化线段长度的计算，解题核心是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，准确确定各点坐标。
【难度系数】
0.65
14. 如图，在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ A=∠ D$，$∠ BCE=∠ ACD$。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEC$；
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，求$CE$的长。
(1)求证：$△ ABC ∽ △ DEC$；
(2)若$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=4:9$，$BC=6$，求$CE$的长。
答案
14. (1)证明: $\because ∠ BCE=∠ ACD, \therefore ∠ BCE + ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ ACE, \therefore ∠ ACB=∠ DCE,$ 又$\because ∠ A=∠ D, \therefore △ ABC ∽ △ DEC.$
(2)解: $\because △ ABC ∽ △ DEC, \therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}}=(\frac{CB}{CE})^2=\frac{4}{9}.$ 又$\because BC=6, \therefore CE=9.$
(2)解: $\because △ ABC ∽ △ DEC, \therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}}=(\frac{CB}{CE})^2=\frac{4}{9}.$ 又$\because BC=6, \therefore CE=9.$
解析
【分析】
(1)要证明两个三角形相似，已知一组对应角∠A=∠D，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。已知∠BCE=∠ACD，两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到∠ACB=∠DCE，满足两角对应相等的相似判定条件，即可证明两三角形相似。
(2)已知相似三角形的面积比，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可先求出两个三角形的相似比，再代入已知BC的长度，列比例式即可求出CE的长。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE$，即$∠ACB=∠DCE$，
又$\because ∠A=∠D$，
$\therefore △ABC ∽ △DEC$。
(2)解：
$\because △ABC ∽ △DEC$，
$\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{CB}{CE})^2=\frac{4}{9}$，
又$\because BC=6$，代入得$(\frac{6}{CE})^2=\frac{4}{9}$，
开方得$\frac{6}{CE}=\frac{2}{3}$（边长为正数，取正根），
解得$CE=9$。
【答案】
(1)△ABC∽△DEC得证；
(2)CE的长为9。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过角的和差推导相等的对应角，再结合相似三角形面积比和相似比的关系求解，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明两个三角形相似，已知一组对应角∠A=∠D，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。已知∠BCE=∠ACD，两个角同时加上公共角∠ACE，即可得到∠ACB=∠DCE，满足两角对应相等的相似判定条件，即可证明两三角形相似。
(2)已知相似三角形的面积比，结合相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可先求出两个三角形的相似比，再代入已知BC的长度，列比例式即可求出CE的长。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠BCE=∠ACD$，
$\therefore ∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE$，即$∠ACB=∠DCE$，
又$\because ∠A=∠D$，
$\therefore △ABC ∽ △DEC$。
(2)解：
$\because △ABC ∽ △DEC$，
$\therefore \frac{S_{△ABC}}{S_{△DEC}}=(\frac{CB}{CE})^2=\frac{4}{9}$，
又$\because BC=6$，代入得$(\frac{6}{CE})^2=\frac{4}{9}$，
开方得$\frac{6}{CE}=\frac{2}{3}$（边长为正数，取正根），
解得$CE=9$。
【答案】
(1)△ABC∽△DEC得证；
(2)CE的长为9。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过角的和差推导相等的对应角，再结合相似三角形面积比和相似比的关系求解，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
15.(核心素养·应用意识)如图1,有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的,如图2,此时,这个矩形零件的长、宽分别为多少?
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成的,如图2,此时,这个矩形零件的长、宽分别为多少?
答案
15. (1)解:设正方形的边长为$x$ mm, 则$PN=PQ=ED=x$ mm, $\therefore AE=AD-ED=(80-x)$ mm. $\because PN // BC, \therefore △ APN ∽ △ ABC, \therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$, 即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$, 解得$x=48$. 故加工成的正方形零件的边长是48mm.
(2)设$PQ=y$ mm,则$PN=2y$ mm,$AE=(80-y)$mm, $\because PN // BC, \therefore △ APN ∽ △ ABC, \therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$, 即$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$, 解得$y=\frac{240}{7}, \therefore 2y=2 × \frac{240}{7}=\frac{480}{7}$. 故这个矩形零件的长、宽分别为$\frac{480}{7}$ mm, $\frac{240}{7}$ mm.
(2)设$PQ=y$ mm,则$PN=2y$ mm,$AE=(80-y)$mm, $\because PN // BC, \therefore △ APN ∽ △ ABC, \therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$, 即$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$, 解得$y=\frac{240}{7}, \therefore 2y=2 × \frac{240}{7}=\frac{480}{7}$. 故这个矩形零件的长、宽分别为$\frac{480}{7}$ mm, $\frac{240}{7}$ mm.
解析
【分析】
两问均利用相似三角形的性质求解：由于正方形/矩形的边PN平行于BC，可推出△APN与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合已知的BC、AD长度，设出未知边长列方程即可求解。第(1)问设正方形边长为x，△APN的高为原高AD减去正方形边长，代入相似比公式计算；第(2)问矩形由两个正方形拼成，长是宽的2倍，设宽为y，则长为2y，△APN的高为AD减去矩形的宽，再代入相似比公式计算。
【解析】
(1)设正方形的边长为$x$ mm， 则$PN=PQ=ED=x$ mm，$\therefore AE=AD-ED=(80-x)$ mm。
$\because PN // BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
代入数据得$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2)设矩形的宽$PQ=y$ mm，则矩形的长$PN=2y$ mm，$AE=(80-y)$mm，
$\because PN // BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
同理可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
代入数据得$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得$y=\frac{240}{7}$，则长$2y=2×\frac{240}{7}=\frac{480}{7}$。
【答案】
(1)加工成的正方形零件的边长是$\boxed{48\ \mathrm{mm}}$；
(2)这个矩形零件的长为$\boxed{\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}}$，宽为$\boxed{\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形的实际应用类题目，解题关键是通过平行关系判定相似三角形，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，体现了方程思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
两问均利用相似三角形的性质求解：由于正方形/矩形的边PN平行于BC，可推出△APN与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合已知的BC、AD长度，设出未知边长列方程即可求解。第(1)问设正方形边长为x，△APN的高为原高AD减去正方形边长，代入相似比公式计算；第(2)问矩形由两个正方形拼成，长是宽的2倍，设宽为y，则长为2y，△APN的高为AD减去矩形的宽，再代入相似比公式计算。
【解析】
(1)设正方形的边长为$x$ mm， 则$PN=PQ=ED=x$ mm，$\therefore AE=AD-ED=(80-x)$ mm。
$\because PN // BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
代入数据得$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2)设矩形的宽$PQ=y$ mm，则矩形的长$PN=2y$ mm，$AE=(80-y)$mm，
$\because PN // BC$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$，
同理可得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
代入数据得$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得$y=\frac{240}{7}$，则长$2y=2×\frac{240}{7}=\frac{480}{7}$。
【答案】
(1)加工成的正方形零件的边长是$\boxed{48\ \mathrm{mm}}$；
(2)这个矩形零件的长为$\boxed{\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}}$，宽为$\boxed{\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形的实际应用类题目，解题关键是通过平行关系判定相似三角形，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，体现了方程思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
